книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

Допустим, что проверяется гипотеза о равенстве двух выбо­ рочных средних, т. е. гипотеза о том, что средние различаются случайно. Эта проверка производится при помощи £кр критерия Стыодента. Если выборки берутся из нормальной совокупности, то величина

, ] *1 — x81

S {*)

подчинена распределению Стыодента и может быть оценена при помощи таблицы приложения 2. Величина s)x[ вычисляется по формуле

нии между выборочными средними должна быть забракована. Рассмотренный метод сравнения и оценки расхождения выбо­ рочных средних пригоден для малых выборок (я < 20). Приме­ нение критерия связано с предположением о равенстве диспер­ сий выборок, что должно быть предварительно проверено. Если

Проверим существенность различия средних значений стой­ кости двух партий сверл по предыдущему примеру (см. табл. 1)

20

вычисленного. Следовательно, различие в значениях средней стойкости существенно.

Критерий Стыодента применим к нормальным или близким к ним распределениям. В случаях, когда оценка по критерию Стьюдента вызывает сомнение, следует применять критерий Вилкоксона или критерий Ван дер Вардена, которые являются непараметрическими, т. е. не зависящими от закона распреде­ ления.

U-критерий Вилкоксона. U-критерий относится к ,непараметри­ ческим критериям проверки гипотез. Пусть даны две независимые

для которых предполагается непрерывность неизвестных функций распределения F (х) и G (х').

Проверим нулевую гипотезу о том, что оба распределения совпадают для всех х, т. е. F (х) = G (х'). Так как критерий

Вилкоксона принадлежит к категории ранговых критериев, для его применения пг + п 2 измерений обеих выборок совместно

упорядочиваются, их располагают в порядке возрастания. Пусть при этом получена последовательность

об инверсии. Например, последовательность (26) содержит 15 ин­

них х' — по пять инверсий (см. цифры над х'). Значением крите­ рия служит общее число инверсий и.

Для пользования односторонним критерием Вилкоксона надо подсчитать фактическое общее число инверсий и в данной после­ довательности. Затем необходимо найти величину р (и) = Р [U

^ и), т. е. вероятность того, что общее число инверсий может быть меньше или равно найденному значению и. Вероятность р (и)

вычисляется в предположении справедливости нулевой гипо­ тезы. Эта величина может быть вычислена путем непосредствен­ ного образования последовательностей величин х, х ', число инверсий в которых не превосходит данной величины и. Вероят­ ность р (и) равна отношению найденного числа таких последова­

тельностей к общему возможному числу различных последова­ тельностей, которые могут быть сформированы из выборок объ­ емом и п 2. При больших значениях пг и п2 этот метод является мало приемлемым, вероятности Р (и) подсчитывают с помощью

рые не превосходят 5%. Вероятности выражены в процентах, объемы обеих выборок предполагаются равными.. Проверка ну­

21

левой гипотезы о том, что величины х и х' независимы и имеют

одинаковое распределение, состоит в сравнении найденного зна­

уровне 5%.

Вместо подсчета инверсий для каждого числа в отдельности, что трудно при большом числе членов, можно xt и х'к перенуме­

ровать в порядке возрастания их величины. Если при этом наи­ меньший ху имеет порядковый номер rlt а следующий за ним имеет порядковый номер г2 и т. д., то число инверсий

Имеются результаты испытаний на стойкость двух партий сверл диаметром 6 мм с нормальной х' и увеличенной х толщиной серд­

цевины. Расположим значения стойкости в порядке их возра­ стания (табл. 1). Теперь расположим значения стойкости (т. е.

(при этом будем рассматривать только первые десять значений из таблицы, так как рассматривается метод, пригодный для коли­

22

Ф (—0,674) = 0,0001, т. е. р [U с 1) = 0,0001. Так как эта

вероятность менее заданного уровня значимости 0,05, то нулевая гипотеза отвергается, различие существенно.

Применение'двустороннего критерия Вилкоксона при /гх —> оо, п 2—>оо. Если пх и /г2 стремятся к бесконечности, то величина U

распределена асимптотически нормально со средним значением

Двусторонняя критическая область определяется неравен­ ствами

U sg ых = и — 2su; U ^ u 2 — и + 2s„.

значений, лежащих в интервале их\ и2, то нулевая гипотеза должна

быть отвергнута, а следовательно, различие сравниваемых зна­ чений средней величины существенно.

Определим критерий Вилкоксона для нашего примера (табл. 1). Располагая данные по стойкости х и х' в порядке их возрастания, найдем, что значения х будут иметь при этом следующие ранго­

Среднее значение

Критическая область для 5%-иого уровня значимости опре­ деляется неравенствами

U < £+ = и — 2su = 112 — 2 • 24 = 64,

U ^ u2 = u -\-2su= 112 + 2 - 2 4 = 160.

23

в среднем значении стойкости, существенно. Рассмотрим на этом же примере применение Х-критерия Ван дер Вардена. Распо­ ложим все значения х и х' в порядке возрастания их величины и установим ранговые числа rit которые примут значения хг.

Для оценки существенности различия коэффициентов вариации используется 7-критерий Стьюдента, который подсчитывается по формуле:

При t >■ 3 различие коэффициентов вариации полагают значимым.

Для предыдущего примера получаем

Так как получили £ <С 3, то различие в значениях коэффи­ циентов вариации не является статистически значимым.

Оценка резко выделяющихся опытных данных

При проведении экспериментов и различных измерений отдель­ ные данные могут вызвать сомнение из-за большого отличия от значений остального ряда. Это могут быть ошибочные результаты,

Функция, обратная функции нормального распределения, ф = Ф -1-

24

вызванные случайными помехами или ошибками эксперимента или измерения. Особенно важна объективная оценка ошибочных результатов при стойкостных производственных испытаниях, отличающихся большим разбросом значений. Нулевой или исход­ ной гипотезой в данном случае является предположение о том, что

П р и м е р . Испытанысверладиаметром9,5ммизбыстрорежущейсталиР18. Обрабатываемый материал — сталь 45; НВ 207—217; скорость резания 42 м/мин, подача 0,18 мм/об. Получены следующие значения стойкости в минчтах, распо­ ложенные в порядке возрастания: 18,6; 19,0; i9,6; 20,7; 21,5; 24,0; 32,4; 32,8;

Проверим нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что первое и последнее значения стойкости вариационного'ряда принадлежат той же генеральной сово­ купности, как и все остальные.

~15,10

25

Г л а в а II. Основы статистической теории стойкости режущего инструмента

Выше были рассмотрены основные статистические характе­ ристики стойкости как случайной величины и показано их при­ менение для решения некоторых задач в области инструмента. Продолжим рассмотрение статистических методов и их исполь­ зование для исследования и решения научных и практических проблем стойкости режущего инструмента.

. Исчерпывающей характеристикой случайной величины яв­ ляется закон распределения, устанавливающий связь между возможными ее значениями и соответствующими им вероятно­ стями. Будем рассматривать в качестве случайной величины время Т безотказной работы инструмента, т. е. стойкость инстру­

мента. Закон распределения может быть задан в виде функции распределения F (t), называемой также интегральным законом

распределения, представляющей вероятность того, что время безотказной работы не превзойдет некоторого значения t:

Другими словами, если задаемся последовательно любыми значениями t, то событие Т < t означает отказ в течение вре­ мени t, а вероятность Р [Т < t\ — вероятность отказа за время t.

Чем больше время работы, тем больше вероятность наступления отказа инструмента, т. е. функция распределения есть неубы­ вающая функция своего аргумента. При t = 0 величина F (t) равна нулю, а при t —>оо величина F (t) стремится к единице.

Статистически значение F (t) оценивается отношением коли­ чества инструментов m (t), отказавших за время t, к общему числу инструментов N, исправных в момент t = 0:

(35)

При оценке параметров теоретического распределения по опыт­ ным данным используется приближенное равенство

F(t)^F{t). (36)

Для режущего инструмента практический интерес представ­ ляет вероятность того, что время безотказной работы, или период

27

стойкости Т будет равно или больше некоторого значения t.

Тогда вероятность безотказной работы

Статистически значение Р (t) оценивается отношением числа инструментов, проработавших время больше t, к общему числу N инструментов из выборки, исправных в момент времени t = 0.

Плотность распределения вероятности величины Т обозна­ чается f (t)\ если существует производная функция F (t), то

Плотностью распределения может служить любая интегрируе­ мая функция / (х), удовлетворяющая двум условиям:

+f°

0; | f ( x ) d x = 1.

Основные направления и исходные предпосылки исследования закона распределения стойкости инструмента

Для определения закона распределения случайной величины существуют два подхода. Первый подход основан на подборе наиболее подходящей функции для описания эмпирического распределения. Для определения того, насколько близка эта функция к описанию закона, используются различные критерии согласия. Такой подход возможен, но он обладает существенным недостатком, а именно: он не отражает физической сущности закона распределения. По результатам эксперимента каждый раз подбирается наиболее подходящая кривая распределения. Если учесть, что для ограниченного числа испытаний имеет место боль­ шая неопределенность в выборе закона, станет очевидным, что первый подход не может быть признан оптимальным.

Второй подход при определении законов распределения осно­ ван на установлении их связи с механизмом процесса. Вероят­ ностные методы исследования в основном развиваются по пути использования теоретических законов распределения. В качестве теоретических распределений времени безотказной работы могут быть использованы любые .применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. В принципе можно взять любую

28

Существующие теоретические распределения имеют своим источником реальные процессы, основанные на определенных физических характеристиках этих процессов, и получаются логи­ ческим путем, исходя из простых идеализированных положений и допущений. Однако реальный процесс оказывается гораздо сложнее его схемы и поэтому найти аналитическим путем законы распределения, например стойкости инструмента, невозможно. Поэтому законы распределения стойкости инструмента надо (по крайней мере на первой стадии) устанавливать на основе обра­ ботки большого объема эмпирических данных.

Важнейший в теории надежности вопрос о выборе теоретиче­ ского распределения времени безотказной работы исследован в настоящее время недостаточно. В ряде работ [53] указывается, что в настоящее время нет понятного физического толкования происхождения применяемых распределений времени безотказ­ ной работы элементов. Тем не менее, имеются некоторые основы для выбора того или иного закона распределения.

При исследовании закона распределения времени безотказной работы новых объектов, каким является режущий инструмент, можно найти несколько теоретических распределений, которые не противоречат результатам эксперимента. Для исследования закона распределения стойкости проведен анализ результатов большого объема промышленных и лабораторных испытаний различных видов режущего инструмента (сверл, резцов, плашек, метчиков, зенкеров, концевых фрез, протяжек). Объем партий инструмента составлял от 50 до 150 шт. Всего рассчитано и проана­ лизировано свыше 200 распределений стойкости.

Описание стойкости инструмента теоретическими распределениями

Нормальное распределение. Плотность вероятности нормаль­ ного распределения находится по уравнению

где Ф ( )— функция нормированного нормального распределения. Нормальное распределение стойкости инструмента может быть обусловлено однородностью качества инструмента, изготовлен­ ного при устойчивом технологическом процессе, постоянной сред­ ней скорости износа, при постепенном изменении в процессе работы характеристик инструментов, когда доля внезапных

29