книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

В этих формулах приняты следующие сокращенные обозна­ чения сумм:

где г/g — наблюдаемое значение отклика в g -м опыте; у0 — сред­

нее значение отклика по результатам наблюдения в и-й серии

Эти формулы могут быть полезными при необходимости про­ верить правильность вычислений коэффициентов а, Ь, с и d.

2) Оценка математического ожидания отклика находится по уравнению

191

Контроль правильности вычислений оценок коэффициентов регрессии может быть выполнен с помощью формулы

где s2 {y\ — выборочная дисперсия отклика, связанная с ошибкой

эксперимента.

4) Дисперсия предсказываемого значения отклика может бы найдена, исходя из формул (202) и (204), при помощи правила накопления ошибок

5) Дисперсия s2 {г/}, характеризующая ошибку эксперимент может быть вычислена двумя способами по результатам повторных наблюдений в разных точках плана. Первый, прямой способ, со­ стоит в объединении дисперсий, соответствующих отдельным точкам плана:

Ш

11=1

Точно такая же формула используется при анализе результа­ тов полного факторного эксперимента (см. с. 143).

192

В формуле (206) s2 — дисперсия отклика, вычисляемая по опытам в v-и точке плана:

(уо/ — ihf

где /„ — число степеней свободы для дисперсии (207), т. е.

где г0 — число повторных опытов в v-й точке плана.

Второй способ основан на вычислении дисперсии s2 {г/} с по­ мощью суммы квадратов отклонений, связанной «с чистой ошибкой»:

Формулы (207) и (209) приводят к одинаковым результатам. Однако они корректны лишь только в том случае, если выбороч­ ные дисперсии отклика по точкам однородны. Поскольку в пла­ нах второго порядка опыты распределяются по точкам неравно­ мерно, для проверки гипотезы об однородности дисперсий необ­ ходимо использовать критерий Бартлета [52].

6) Для статистического анализа полученной модели необхо димо иметь остаточную дисперсию s% и дисперсию неадекват­ ности slR. Обе эти дисперсии можно вычислить с помощью соот­ ветствующих сумм квадратов отклонений SS# и SSan. Первая

сумма может быть вычислена по формуле

g=i g=i

1 Вторая определяется из соотношения

Для вычисления дисперсий надо каждую сумму поделить на соответствующее ей число степеней свободы. Число степеней свободы для остаточной дисперсии

где т — число коэффициентов в модели; в случае квадратичной

модели

Число степеней свободы для дисперсии неадекватности

Очень важно иметь в виду, что суммы SSR, 5 5 ад и SSE и соответствующие им числа степеней свободы fR, / ад и fE связаны

линейными соотношениями

7) При статистическом анализе полученных результатов обычн проверяют ряд гипотез. Помимо гипотезы об однородности дис­ персий, по точкам плана проверяют, например, гипотезы о не­ значимое™ отдельных коэффициентов регрессии и гипотезу об адекватности модели. Необходимо отметить, что проверки различных статистических гипотез опираются на определенные предположения о характере распределения отклика (до этого момента такие предположения не требовались). Обычно исходят из того, что отклик есть нормальная случайная величина. Только при этом предположении будут оправданы излагаемые далее методы.

а) Гипотеза о незначимости некоторого коэффициента ре­ грессии bt проверяется так же как и при анализе результатов

полного факторного эксперимента путем сопоставления отношения

/ _ IM

1s{&(}

скритическим значением критерия Стьюдента /кр. Последнее вы­

бирают по таблицам в зависимости от fE— числа степеней свободы, с которым вычисляют дисперсию s2 {г/}, и уровня значимости а. Уровень значимости принимают обычно равным 5%. Если tt <" <1 tKP, то гипотеза подтверждается и коэффициент bt принимается

равным нулю. В противном случае гипотеза отклоняется и коэф­ фициент признается значимым.

б) Гипотезу о согласии экспериментальных данных прове­ ряют с помощью отношения дисперсий. Для этого составляют

194

Формула (154) вытекает из равенства (219) как частный слу­ чай при г„ = г. Укажем еще, что сумму 5 5 ад можно подсчитать

по формуле (217)

Для проверки гипотезы об адекватности модели составляют отношение

р _ ад

S ' [V]

исравнивают его с критическим значением FKP, взятым из таб­

лиц. FKр находят в зависимости от числа степеней свободы /ад для дисперсии, стоящей в числителе, и числа степеней свободы fB для дисперсии, стоящей в знаменателе, и уровня значимости а. При F <; FKP гипотеза принимается. В противном случае ■счи­

тается, что мрдель не согласуется с экспериментальными данными

инуждается в преобразовании.

Регрессионный анализ при разбиении опытов на ортогональ­ ные блоки. Рассмотрим теперь специфические особенности регрес­ сионного анализа в случае планирования второго порядка с раз­ биением всей совокупности опытов на ортогональные блоки.

Положим, что совокупность опытов, входящих в план второго порядка, разбита на I блоков. Примем теперь дополнительное

блоке). В этом случае регрессионная модель для условий <7-го

где ify — математическое ожидание отклика в q-м опыте t-vo блока; yw — эффект w-го блока, отражающий приращение отклика за счет влияния блочных условий; zwlq — значение фиктивной блочной переменной гш в q-м опыте /-го блока:

Если теперь записать матрицу независимых переменных для модели (221), то такаяматрица будет состоять из двух подма-

Вторая подматрица содержит ровно столько столбцов, сколько блоков.

Блоки, на которые разбито планирование, называют ортого­ нальными, если вектор-столбцы матриц х и z взаимно ортого­ нальны. Укажем, каким образом и когда можно план второго порядка разбить на ортогональные блоки. Здесь же рассмотрим лишь особенности регрессионного анализа. Будем исходить из того, что планирование разбито на ортогональные блоки и реали­ зованы все опыты.

Разбиение плана на ортогональные блоки совершенно не отра­ жается на вычислении оценок параметров, определении диспер­ сий и ковариаций оценок параметров, нахождении дисперсии предсказываемого значения отклика и вычислении дисперсии s2 {г/}. Если план разбит на ортогональные блоки, то точечные оценки определяются так, как будто никакого дрейфа не суще­ ствует. Подобное разбиение позволяет элиминировать дрейф. Таким образом, формулы (198)—(211) полностью сохраняют свою силу.

Блочные эффекты (оценки коэффициентов уш) при необходи­ мости то же можно найти, причем они определяются независимо от коэффициентов регрессии.

Специфика ортогонального блочного разбиения проявляет себя при проверке различных гипотез. Это определяется тем, что при составлении сумм квадратов отклонений необходимо учиты­ вать дополнительные вариации, обусловленные блочными пере­ менными. Прежде всего отметим, что вместо формулы (217) в дан­

можно найти, используя полную модель, включающую блочные переменные:

сказываемое с помощью полной модели, учитывающей блочные переменные.

196

Вторая сумма 55аД связана с адекватностью полной модели, содержащей блочные переменные

где yv — значение отклика в и-й точке (v — 1, 2, . . п), пред­

сказываемое с помощью полной модели, включающей блочные переменные.

Сумме S S afl отвечает число степеней свободы

могут быть вычислены не по формулам (225) и (227), а непосред­ ственно, без вычисления оценок коэффициентов yw. Эти суммы

можно подсчитать, используя соотношения

SSR = SSR — SSr,

(229)

SSaд = SSaA— SSi,

где SSR — остаточная сумма квадратов, вычисляемая по фор­

муле (212) на основе расчетных значений отклика yg, найденных по усеченной модели (без блочных переменных); SSaA— сумма

квадратов отклонений средних экспериментальных значений от­ клика по точкам от расчетных значений отклика, определяемых также по усеченной - модели с учетом весов га. Эта сумма, как

и ранее, может подсчитываться по формуле (213).

Сумма SSlt входящая в формулы (229), отражает разброс

экспериментальных данных, обусловленный блоками. Эту ве­ личину можно подсчитать по формуле

В соответствии с уравнениями (229) можно записать ана­ логичные соотношения между числами степеней свободы:

причем fR и /ад выражаются формулами (214)—(216).

Рассмотрим теперь, как проверяются наиболее важные ста­ тистические гипотезы в этом случае.

197

1. Проверка гипотез об однородности дисперсий проводится в точности так же, как и без разбиения планирования на орто­ гональные блоки.

об отсутствии межблокового дрейфа. Проверка такой гипотезы может быть выполнена с помощью дисперсионного отношения Фишера. Для этого необходимо составить отношение

и сравнить его с табличным значением FKP при числе степеней свободы h для дисперсии, стоящей в числителе, числе степеней

свободы f'R — для дисперсии, стоящей в знаменателе, и принятом уровне значимости а. В случае F < FKP гипотеза принимается,

вальтернативном случае межблоковым дрейфом пренебречь нельзя.

4.Гипотезу об адекватности полной модели проверяют с по­ мощью отношения

Гипотеза об адекватности полной модели принимается, если

в результате предыдущей проверки межблоковый дрейф признан незначимым, то можно воспользоваться обычной проверкой адек­ ватности усеченной модели (без блоковых переменных).

Ортогональные симметричные планы второго порядка. Орто­ гональные планы второго порядка это наиболее простые планы, которые широко применялись в первых, работах, где планирование использовалось для построения квадратичных моделей [58]. Эти планы отличаются тем, что коэффициенты регрессии могут быть рассчитаны независимо друг от друга и являются некоррели­ рованными.

Прежде всего уточним только что сказанное. Под ортогональ­ ным планом понимают план, которому соответствует диагональная матрица моментов. Построить ортогональный план второго по­ рядка, имея в виду модель (190), невозможно. Это обусловлено тем, что вектор-столбцы матрицы независимых переменных, отве­ чающие квадратичным переменным такой модели, содержат только неотрицательные составляющие. Следовательно, такие вектор-столбцы никогда не могут быть ортогональными к вектор­

198

столбцу, составленному из (+1) и отвечающему фиктивной пере­ менной х 0. Выход из положения — в преобразовании модели.

Приведем модель к следующему виду:

(*ig)2> ё — 2, . . ., N, будет ортогонален к вектору-столбцу, соответствующему фиктивной переменной х 0.

Матрица моментов, отвечающая симметричному плану второго порядка и соответствующая преобразованной модели (237), будет иметь вид

Из структуры этой матрицы совершенно отчетливо видно, что достаточно положить

199

или

(240)

как матрица моментов станет диагональной. Следовательно, соот­ ношение (239) является необходимым и достаточным условием ортогональности симметричного плана второго порядка по отно­ шению к преобразованной квадратичной модели (237).

Вследствие ортогональности плана оценки коэффициентов регрессии модели (237) определяются независимо друг от друга по формулам:

I N п

i =£ /•

Выборочные дисперсии оценок параметров находятся по фор­ мулам

200