книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

на две половины. В первую объединим факторы х ъ х г, х3,

и образуем из нее полуреплику 24-1 с определяющим контрастом 1 = х гх 2х 3х^ В этой полуреплике эффекты факторов и эффекты

взаимодействий не смешаны. Также образуем полуреплику и для второй половины факторов. Первую полуреплику запишем систе­ матической и к каждой строке добавим случайно выбранную строку полуреплики второй половины факторов. При случайном смешивании строк двух полуреплик следует пользоваться табли­ цей случайных чисел. В развернутом виде матрица отсеивающего эксперимента представлена в табл. 66. Три последние строки добавлены в матрицу для более удобного смешивания и получены

Таблица 66

Матрица отсеивающего эксперимента

181

путем случайного выбора из обеих полуреплик. В столбец у х

матрицы вписываются результаты эксперимента.

После построения матрицы проверяют ее пригодность. Матрица пригодна, если в ней нет двух однотипных столбцов (с одинако­ выми или неодинаковыми знаками). В матрице так же не должно быть столбцов, скалярные произведения которых на любой дру­ гой столбец дают столбцы из одинаковых знаков, т. е. из (-{-)

или (—).

Для анализа результатов отсеивающего эксперимента строим диаграммы рассеяния (рис. 32). Для этого по оси абсцисс наносят все факторы с их уровнями, а по оси ординат — значение крите­ рия оптимизации у, полученные в результате эксперимента.

Каждый фактор рассматривается независимо от других. Значимые линейные эффекты можно выделить прежде всего визуально, сравнивая между собой медианы, нанесенные на диаграммах рассеяния горизонтальными черточками. Можно также принимать во внимание количество точек, выделяющихся в верхней и ниж­ ней частях диаграммы рассеяния *. На рис. 32 большие группы

* Так, например, для фактора ,v4 (рис. 32) на уровне (4-) имеются три точки, для которых значение выхода у больше, чем самое большее значение выхода на уровне (—). Аналогично на уровне (—•) имеются четыре точки, для которых выход меньше, чем самый низкий выход на уровне (+ ). Суммарное количество выде­ ляющихся точек для фактора х4 равно семи.

182

выделяющихся точек отмечены фигурными скобками. Для ве­ роятностной оценки числа выделяющихся точек может быть использован непараметрический критерий

где п — число наблюдений в каждой подгруппе (в нашем случае 2 п = АО; R — число точек, выделяющихся в верхней и нижней частях диаграммы рассеяния; р — вероятность того, что случай­

ным образом в верхней и нижней частях диаграммы рассеяния в сумме окажется R выделяющихся точек; г — число точек, вы­

делившихся для рассчитываемого фактора.

Чем больше выделившихся точек, тем сильнее эффект данного фактора. В нашем примере на первом этапе исследования значи­ мыми были признаны линейные эффекты х г и х4. Эффекты факто­

ров количественно оцениваются с помощью таблиц с несколькими входами. Построим таблицу с двумя входами (табл. 67).

Таблица 67

Вспом огат ельная т аблица с двум я входами д л я оценки вы деленны х эф ф ект ов Х г и Х 4

В клетках этой таблицы записаны результаты экспериментов по различным комбинациям уровней факторов. Величины эффекта подсчитываются по формуле

где т — число значений у в табл. 67 для данного фактора одного

знака ( + или —).

183

Оценим эффекты факторов в нашем примере:

по /-критерию, который для какого-либо фактора определяется по формуле

f __ (ffi + Уз + Уз + • ~1+ Уп) — (Уз + У* + ' ’ • Н~ Уп+1) j

где s — среднеквадратичная ошибка, характеризующая рассея­ ние относительно средних в клетках таблицы с несколькими входами и определяется

где nt — число наблюдений в i-клетке таблицы с несколькими

входами.

Значение t-критерия для нашего примера

Вычисление t-критерия удобно производить по табл. 68.

Таблица 68

Вычисление t-критерия

184

=1,895.

Таким образом, оба выделенных эффекта значимы с вероят­

ностью 95%.

После оценивания эффектов нескольких факторов произво­ дится корректировка результатов экспериментов для более чет­ кого выделения менее сильных факторов и парных взаимодействий. Корректировка производится путем прибавления с обратным знаком эффектов выделенных факторов к результатам отсеива­ ющих экспериментов: +6,0 ко всем результатам на уровне Х х + ;

— 13,7 ко всем результатам на уровне Х 4 + .

«Снимаем» действие выделенных эффектов Х 4 и Х 4. Корректи­ рованные результаты приведены в табл. 66 в графе у г. По скоррек­

тированным результатам вновь строим диаграммы рассеяния (рис. 33), где помимо линейных эффектов приведены и эффекты парных взаимодействий. Оценивание эффектов и корректировка результатов производится до тех пор, пока эффекты факторов окажутся незначимыми для 10% уровня значимости. В нашем примере отсеивание факторов прекратили на третьем этапе (зна­ чения у 3 в табл. 66). После выделения факторов Х 7, Х 8 и оценки

их значимости по критерию Стьюдента убедились, что оба эффекта этих факторов незначимы (/8 = 0,87 и t7 = 0,79, критическое

значение ^0il = 1,865).

185

После серии корректировок результатов экспериментов строим точечную диаграмму распределения значений критерия оптими­ зации на различных стадиях выделения, значимых эффектов (рис. 34). После снятия значимых эффектов разброс точек значи­

w

с углом при вершине х3. Знак минус при эффекте этого взаимодей­ ствия показывает, что одновременное увеличение или уменьшение заднего угла и угла при вершине вызывает уменьшение стойкости и наоборот, — увеличение одного из факторов и уменьшение другого вызывает увеличение стойкости. Таким образом, для дальнейшего исследования надо включать пять факторов: длину рабочей части; задний угол; угол при вершине; длину поперечной кромки; толщину сердцевины.

Данная задача решалась и другим, более универсальным способом. Вместо построения таблиц с двумя входами пользова­ лись обычными приемами регрессионного анализа: строилась матрица X независимых переменных х1 по всем тем эффектам,

которые признаны значимыми на первом этапе по диаграммам

186

* хз выделен по двойному взаимодействию х2х, с эффектом - 7,645 (t23 =

= 1,97).

рассеяния. Затем с помощью ЭВМ находили коэффициенты нор­ мальных уравнений Х *Х и обратную матрицу {Х*Х)~1. При

этом на этапе «узнавания» по диаграммам рассеяния выделено 10 эффектов и по ним строилась матрица X. Эффекты, признанные

значимыми, снимались с использованием ветвящейся стратегии. Результаты обработки эксперимента по методу ветвящейся стра­ тегии оказались аналогичными с результатами ручного счета.

В более сложной задаче метод ветвящейся стратегии следует предпочесть как более эффективный. Это объясняется тем, что применение ЭВМ не только ускоряет расчеты, но и повышает разрешающую способность метода, так как позволяет одновре­ менно оценивать гораздо большее число эффектов. После расщеп­ ления модели можно использовать обычные методы факторного эксперимента, так как план из сверхнасыщенного по отношению ко всем эффектам становится ненасыщенным по отношению к зна­ чимым эффектам. В ряде случаев можно использовать уже вы­ полненный факторный эксперимент для движения к области оптимума по градиенту.

Планирование второго порядка*

[24—27, 43]

После достижения области оптимума исследователя обычно интересует более детальное описание поверхности отклика. По­ добное описание может быть использовано для локализации точки оптимума, а также для установления типа поверхности, что

* Раздел написан совместно с В. Г. Горским.

187

представляет большой интерес при интерпретации полученных результатов. Для выполнения этой задачи описания поверхности отклика полиномом первого порядка уже недостаточно. Во мно­ гих случаях вполне удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго по­ рядка.

Математическая модель второго порядка имеет вид

Задача состоит в определении оценок коэффициентов этой модели по результатам спланированного эксперимента.

Основное требование, предъявляемое к плану второго порядка, состоит в том, что план должен допускать получение раздельных, не смешанных оценок коэффициентов регрессии. Для этого необ­ ходимо, чтобы число разных опытов было не меньше числа коэф­ фициентов в модели, равного числу сочетаний из /г + 2 по два, т. е.

тельное число работ, посвященных теории планов второго порядка. Предложено много разных типов планов. Планы различаются между собой по числу точек; в факторном пространстве — числу опытов и т. д. Размещение точек плана влияет на статистичес­ кие свойства получаемой модели.

Симметричные планы второго порядка. Наиболее широкое рас­ пространение на практике находят симметричные планы второго порядка. Под симметричным планом второго порядка понимают план, отличающийся тем, что все нечетные моменты плана равны нулю:

188

N — общее число опытов, выполняемых по плану; g — порядко­

виям проведения опытов от других точек плана. Если обозначить число одинаковых опытов, проводимых в каждой такой точке,

v — это порядковый номер серии, содержащей rv «параллельных»

опытов.

Матрица моментов, отвечающая симметричному плану второго порядка, в соответствии с уравнением (190) имеет вид

вается информационной матрицей. Детерминант этой матрицы (точнее, обратная величина детерминанта) может служить мерой точности оценок коэффициентов регрессии:

189

Если план невырожденный, то

det N - m Ф О,

и при этом соблюдаются неравенства [46]

плексно-суммируемые планы и планы типа вращаемого эволю­ ционного планирования (РОВОП), используемые в эволюционном планировании.

условия выполнения всей совокупности намеченных опытов. В этой связи большой интерес представляют планы второго порядка с разбиением опытов на отдельные блоки, в которых однородность экспериментальных условий должна быть ограни­ чена лишь рамками блока. Группирование опытов в блоки позво­ ляет повысить точность получаемых оценок параметров (коэф­ фициентов) модели. При разбиении всех опытов на ортогональные блоки оценки параметров модели вычисляются независимо от различий между блоками в отношении однородности. К тому же и сами расчетные формулы для определения оценок не изменяются, небольшие коррективы приходится вносить лишь в формулы проверки гипотез.

Приведем (без вывода формул) общую последовательность регрессионного анализа результатов эксперимента, выполняемого по симметричному плану без разбиения на блоки и с разбиением

.на ортогональные блоки.

Регрессионный анализ без разбиения опытов на блоки. 1) Точеч­ ные оценки параметров модели (коэффициентов регрессии) при обычных предположениях о равноточности и некоррелирован­ ности отдельных наблюдений определяются по формулам:

k

190