книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

Как и в предыдущем примере, путем логарифмирования зави­ симости (168) получена линейная модель с взаимодействиями. Выбираем уровни переменных (табл. 55). Матрица планирования 22 и результаты испытаний приведены в табл. 56. Уравнение модели

вметрах пути фрезерования

у— 1,36 + 0,45^! — 0,03x2 — 0,12х3.

После подстановки значений г,- из формулы преобразования и после потенцирования получаем

Лg2,63sl , 21-0,38 In о

т = ---------^ 5 5 -------- (метров пути).

В минутах работы

у == 3,32 — 0.067Х! — 0,56х2 — 0,

Крутое восхождение

Факторное планирование может успешно применяться только тогда, когда исследователь находится в «почти стационарной» области. Как найти эту область? До последнего времени для ре­ шения этой задачи поступали следующим образом.

Проводится исследование зависимости значения у от каждого из xt в отдельности путем постановки серии экспериментов при постоянных значениях всех переменных xit кроме исследуемого,

и на основе полученных частных зависимостей у = f (х,) уста­ навливают оптимальные значения xt. Серьезными недостатками

такого подхода является то, что полученные в отдельности опти­ мальные значения факторов, как правило, не дают оптимального результата при их совместном действии в реальном процессе, в связи с тем, что данная методика не позволяет учесть эффекты взаимодействия факторов. Сам поиск оптимума не только мало­

эффективен по результатам, но и весьма длителен.

А

При определенной форме зависимости у от факторов поочеред­

ное изменение аргументов может привести к ошибке в определении экстремума. На рис. 29 показан один из таких частных случаев, когда поочередное изменение каждого из двух аргументов в любую

сторону от точки А вызывает уменьшение у. Из-за этого создается ложное впечатление, что точка А соответствует максимуму, в то

время как в действительности максимум у лежит при больших значениях Xi и меньших значениях х 2.

Бокс и Уилсон в 1951 г. предложили новый подход к решению задачи оптимального планирования экспериментов [58]. Новым в методе Бокса — Уилсона явилось сочетание движения по гра­ диенту с методом факторного планирования. При этом движение к оптимуму совершается по кратчайшему пути. Наиболее короткий путь к вершине связан с движением в направлении градиента функ­ ции отклика. Области, далекие от оптимума, описываются линей­

ным уравнением, которое позволяет только определять направление движения, не описывая подробно поверх­ ность. В случае адекватности линейной модели можно при­ ступить к движению по гра­ диенту. Представим, что чело­ век с закрытыми глазами хочет пройти кратчайшим путем к вершине горы. Он будет делать шаги в разные стороны, чтобы определить направление движения. При этом, чем круче склон, тем меньше по размеру шаг надо сделать, чтобы оценить на­ правление движения. Достиг­ нув вершины, человек дол­

жен будет оценить ее крутизну, сделав поочередно по шагу во все четыре стороны. Этот пример иллюстрирует поиск оптимума методом крутого восхождения по поверхности отклика в направ­ лении градиента линейного приближения, который определяется реализацией плана полного или дробного факторного экспери­ мента.

Градиент непрерывной однозначной функции ф есть вектор

162

торы в направлении координатных осей факторного простран­ ства.

Следовательно, составляющие градиента есть частные произ­ водные функции отклика. В том случае, когда модель линейна по параметрам, частные производные равны коэффициентам ре­ грессии при факторах. Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально соответствующим коэффи­ циентам регрессии и в ту сторону, в которую указывает знак коэффициента. При этом будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому «крутому» пути. Поэтому движение к почти стационарной области называется крутым восхождением.

Рассмотрим простейший случай для одного фактора. Пусть

(171)

Градиент этой функции в некоторой точке х в соответ­

ствии с формулой (169) имеет вид

т. е. вектор-градиент функции у имеет длину, равную абсолютному значению коэффициента Ьг. Этот вектор направлен вдоль коорди­ натной оси х, и его направление согласуется со знаком коэффи­

циента Ьх. При Ьх > 0 вектор grad у имеет направление, совпа­

дающее с положительным направлением координатной оси. При Ьх < 0 он направлен в обратную сторону.

На рис. 30 представлена графическая иллюстрация вектора-

градиента для этого случая. Вектор ОА — градиент функции у

вточке х = 0, его длина равна абсолютному значению тангенса угла наклона а касательной к кривой по отношению к оси абсцисс.

Приведем краткий вывод основных соотношений для движения

внаправлении градиента функции отклика. Пусть функция от­ клика имеет вид полинома

Вектор-градиент этой функции в начале координат, т. е. при x i = 0; х 2 = 0, . . хк = 0

Заметим, что в выражения для компонентов этого вектора не входят переменные х г, х 2, . . ., хк. Такое положение имеет место

в данном случае только потому, что градиент определяется в точке, отвечающей началу координат. Уравнение прямой линии, про­ ходящей в факторном пространстве через начало координат, параллельно вектору-градиенту в этой же точке имеет вид

хх = ‘kb1\ '

х2 ■ ХЬ2\

с координатами х и х 2, . . ., хк, удовлетворяющие этому уравне­

нию, лежат на линии крутого восхождения. Меняя значения пара­ метра X, можно найти координаты нескольких точек, лежащих

на данной линии. В соответствии с методом крутого восхождения отыскивается такая точка на линии, выраженной уравнением (178),

которой отвечает максимальное значение величины у.

Практически поиск точки экстремума по методу крутого вос­ хождения сводится к следующему.

1. Проводится полный факторный или дробный факторны эксперимент с центром в точке (х£0, х 2о. • ■•, **,,)•

164

2. Выполняется статистический анализ полученных данных и, в частности, вычисляются оценки параметров, т. е. коэффи­ циенты регрессии bt, i — 1, 2, . . ., k, которые являются со­

ставляющими вектора-градиента.

3. Выбирается несколько значений параметра X, определяю­

щего положение точек на линии крутого восхождения. Выбор таких значений может выполняться по-разному.

Первый способ состоит в следующем: а) вычисляют произве­

дения Ь(Ах(-; б) находят фактор, для которого произведение btAxt

является наибольшим по абсолютной величине. Будем именовать

в направлении крутого восхождения. Это значение выбирают та­ ким образом, чтобы величина хб— хб0, т. е. сдвиг по базовому фак­

хождения. В соответствии с выражениями (178) и (180) их находят по уравнениям

дал наилучшие результаты.

Второй метод выбора длины шагов в направлении крутого восхождения основан на использовании линейной части уравне­

165

ния регрессии. Будем исходить из того, что за пределами области эксперимента можно пользоваться линейным уравнением регрессии

Если двигаться в факторном пространстве из начала координат

по линии крутого восхождения, то величина у будет меняться от

точки к точке. Подставляя (177) в уравнение (183), будем иметь

от параметра X, определяющего положение точки на линии кру­ того восхождения. Выбор значений к на основе формулы (184)

сводится к следующему: а) выбирают некоторое предельное желае­ мое значение отклика г/пред; б) по формуле (184) находят вели­ чину кпрел

bj

<=I

в) вычисляют рабочие значения к, которые составляют определен­

ную долю от А,пред, например

Ai пред! Я2 = пред>

А3 —

г) реализуют опыты при различных значениях kh.

Условия проведения таких опытов определяют в соответствии с формулой (181)

~x?) -~x\V = kh(bi Д*,).

Из реализованных на линии крутого восхождения опытов вы­ бирают наилучший.

4.Условия наилучшего опыта на линии крутого восхождения принимают за основной уровень факторов в следующей серии опытов. Цикл крутого восхождения повторяется.

5.Поскольку каждый цикл крутого восхождения приближает

изображаемую точку к области экстремума у {х), где крутизна

166

поверхности отклика ниже, то для каждого последующего цикла

Это свидетельствует о выходе в область экстремума целевой функции.

Выбор шага для движения по градиенту относится к этапам планирования эксперимента, которые не формализованы. Не­ большой шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, большой шаг увеличивает вероятность проскакивания области оптимума. Движение по градиенту наиболее эф­

(меньше чем на порядок). Удачным выбором интервалов варьиро­ вания можно сделать симметричной любую линейную функцию для значимых факторов.

Вопрос о постановке повторных опытов решается в зависи­ мости от величины ошибки эксперимента. При благоприятных условиях (малой ошибке, надежных результатах) повторные опыты ставятся только для проверки наилучшего результата. Разумеется, лучше по возможности ставить параллельные опыты во всех точках. Чтобы найти экстремум поверхности отклика, надо исследовать почти стационарную область, описав ее с по­ мощью модели высшего порядка (чаще всего второго).

Оптимизация параметров центровочных сверл методом крутого восхождения. Для повышения стойкости центровочных сверл было решено оптимизировать значения факторов: угол при вершине 2<р, задний угол а, толщина сердцевины К. Критерием оптимизации служил показатель стойкости — количество просверленных от­ верстий. Испытания проводились до момента поломки сверла. Для испытаний изготовлены центровочные сверла диаметром 4 мм, тип I по ГОСТ 14952—69 из стали Р6М5. Испытания^проводили на универсально-фрезерном станке 675 при сверлении стали Р18, скорость резания 20,7 м/мин, подача 0,063 мм/об.

На основе априорных данных выбраны основные уровни фак­ торов, интервалы варьирования и реализован план эксперимента 23 (табл. 57). Для оптимизации параметров сверл используем крутое восхождение, процесс которого представлен в той же таблице.

Рассчитаем произведение А х (строка 8 табл. 57). Наиболь­ шим является произведение Ь2к х 2 = 630, поэтому фактор х 2 при.

нимаем за базовый (хб). Выбираем значение параметра Я = Xj для первого шага, для чего принимаем ц = 0,8. Тогда по уравне­ нию (180) найдем (строка 9 табл. 57)

l = TCT = w = 0’00636-

167

Вычисляем шаги и координаты первой точки крутого восхо­

168

Таблица 58

К рут ое восхож дение д л я опт им изации парам ет ров резцов