книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

сводятся к приписыванию столбцу у знаков столбца соответствую­

щего фактора и алгебраическому сложению полученных значений. Деление результата на число точек в плане дает искомый коэф­ фициент.

х{ надо вместо xt подставить в уравнение (144) их значения со­

гласно формуле преобразования (141):

Обработка результатов эксперимента. Планирование экспери­ мента исходит из статистического характера зависимостей, поэтому полученные уравнения связи подвергаются тщательному стати­ стическому анализу. Цели такого анализа двоякие. С одной сто­ роны — извлечь из результатов эксперимента максимум инфор­ мации, с другой — убедиться в достоверности полученной зави­ симости, ее точности.

Дисперсия, характеризующая ошибку опыта. Каждый экспе­ римент несет в себе какую-то ошибку, для уменьшения ее

140

производят повторения опытов при тех же условиях, т. е. в каж­ дой строке таблицы планирования. Построчные дисперсии под­ считываются по формуле

Е (yoj —yv)2

(усредненная дисперсия). При подсчете дисперсии параметра опти­ мизации квадрат разности между значениями yvj в каждом опыте

Если число повторных опытов различно (вследствие отброса грубых результатов, нехватки материалов и т. п.), то при усред­ нении дисперсий следует пользоваться средним взвешенным зна­ чением дисперсий, взятым с учетом числа степеней свободы:

ПП

ней свободы для объединенной дисперсии s2 \у\. Поэтому здесь

нельзя использовать расчетные формулы для коэффициентов, приведенных выше. Прежде чем производить объединение дис­ персий, надо убедиться в их однородности.

Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев: Фишера, Кохрена, Бартлета. Выше (см. гл. II) рассмотрено применение критериев Фи-

141

шера и Бартлета. Использование F-критерия Фишера при числе дисперсий более двух неэффективно, так как при этом в оценке участвуют только наибольшая и наименьшая дисперсии. Крите­ рий Кохрена пригоден для случаев, когда число повторных опы­ тов во всех точках плана одинаково. Из всех дисперсий sj нахо­ дится наибольшая s?, таХ) которая делится на сумму всех диспер­ сий по точкам. Критерий Кохрена — это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий. В нашем случае, пользуясь табл. 45, найдем

тическое значение GKP = 0,61. Гипотеза об однородности диспер­ сий принимается, если, как в нашем случае, экспериментальное значение критерия Кохрена не превышает табличного значения.

Регрессионный анализ. На основе метода наименьших квадра­ тов найдено уравнение связи или математическая модель. Метод наименьших квадратов использован как вычислительный прием. Теперь предстоит выполнить статистические оценки полученной модели.

Обычный регрессионный анализ основан на следующих пред­ посылках.

1. Результаты наблюдений у ъ у 2, . . ., уп параметра опти­ мизации в и точках факторного пространства представляют собой

независимые, нормально распределенные случайные величины. О том, что означает это условие и как оно проверяется, подробно сказано в гл. II.

2.Дисперсия величины у не зависит от абсолютной величины у

изначений факторов, т. е. дисперсии в разных точках плана одинаковы. Проверка выполнения этого условия была показана выше.

3.Значения факторов суть неслучайные величины. Практи­

чески это означает, что независимые переменные л^, а 2 , .. ., хк

измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошиб­ кой воспроизводимости для этих факторов. Нарушение этого условия приводит к трудностям при реализации матрицы плани­ рования и поэтому легко обнаруживается в процессе выполнения эксперимента.

Проверка значимости коэффициентов модели. Проверка значи­ мости каждого коэффициента проводится независимо. Для этого можно использовать проверку по ^-критерию Стыодента. При использовании полного факторного эксперимента или регуляр­ ных реплик (о них ниже) доверительные интервалы для всех коэф­ фициентов равны друг другу. Прежде всего находим дисперсию коэффициента регрессии s2 {!?,•}. При равномерном дублировании

142

опытов по точкам с числом повторных опытов г она определяется

по формуле

сfE = п (/•— 1) степенями свободы.

Внашем случае

s2{M = - % r = 1-296; s{M = V T 2 9 6 = l,1 3 .

Из формулы видно, что дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят только от ошибкиопыта и числа опытов. Теперь рассчитаем значения ^-критерия по формуле

Критическое значение tKP находится по таблице работы [11]- при п (г — 1) = 16 степенях свободы и заданном уровне значи­ мости а — 5%. В нашем случае 4 р — 1,74. Если tL> fKP, то гипотеза отвергается и коэффициент bt признается значимым.

Впротивном случае bt считается статистически незначимым, т. е.

=0. В нашем случае такими незначимыми коэффициентами являются b12, b13, bад, Ь123. Теперь можно построить довери­

тельный интервал длиной 2А bh где

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше половины длины доверительного интервала. Ортогональное пла­ нирование позволяет определять доверительные границы для каждого из коэффициентов регрессии в отдельности, если какойлибо из коэффициентов окажется незначимым, он может быть отброшен без пересчета всех остальных. После этого математи- . ческая модель объекта составляется в виде уравнения связи вы­

ходного параметра у и переменных х(, включающего только зна­

чимые коэффициенты. Для нашего примера получаем

143

Чтобы получить модель в натуральных переменных, надо в уравнение (152) подставить выражения х( из формулы преобра­

зования (141).

Статистическая незначимость коэффициента /?£ может быть

функциональной связи с выходным параметром у;

4) велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправ­ ляемых и неконтролируемых переменных.

Если имеет место первая или третья причина, значение фак­ тора стабилизируется на определенном уровне, во втором случае увеличивают интервал варьирования. Если имеет место четвертая

ствием этих эффектов. В качестве величины, характеризующей вклад коэффициентов регрессии в уравнение, иногда используют

Таким образом, уравнение регрессии практически полностью описывает результаты эксперимента. Чем больше по абсолютному значению величина коэффициента регрессии bt, тем сильнее

влияние его на критерий оптимизации в заданном интервале варь­ ирования факторов. Если Ь{ > 0, то увеличение х£ вызывает

увеличение критерия оптимизации. В противном случае, т. е. при Ь£ < 0, увеличение х{ приводит к уменьшению критерия опти­

мизации. Подобные рассуждения справедливы для модели линейной по факторам. Если же некоторый коэффициент при сме­ шанном произведении факторов, например, Ьц является значимым,

то это свидетельствует о том, что Действие одного из этих фак­ торов, скажем xt, зависит от уровня, на котором находится другой

фактор, Xj. Вклад слагаемого bijxixj в величину критерия опти­ мизации при bti > 0 будет положительным, если оба фактора

находятся на верхних или нижних уровнях. И наоборот, вклад этого слагаемого будет отрицательным, если факторы находятся

Дисперсия адекватности определяется с числом степеней сво­ боды *

/ад = П — т-

Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения между дисперсией адекватности s|fl и дисперсией воспроизводи­ мости s2 {г/}. Проверка гипотезы об адекватности модели про­ водится с использованием F-критерия Фишера.

* Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), которые уже вычислены по резуль­ татам этих опытов независимо друг от друга.

вычисленное значение критерия меньше критического FKP, опре­ деляемого по таблице работы [11] для соответствующих степе­ ней свободы

нимается. В противном случае гипотеза отвергается, и описание признается неадекватным объекту. Если выборочная дисперсия неадекватности s;^ не превосходит оценки дисперсии воспроизво­

речит выборочным данным и математическая модель адекватно представляет объект.

Проверка адекватности возможна лишь при /ад > 0. Если число точек в плане равно числу оцениваемых коэффициентов регрессии уравнения связи (я = т), то, следовательно, не остается

степеней свободы (/ад = 0) для проверки нуль-гипотезы об аде­ кватности представления экспериментальных данных выбранной формой аппроксимирующего полинома. В этом случае можно

чески значимой, то это будет указывать на неадекватность линей­ ной модели, а также модели, содержащей взаимодействия, т. е. на то, что хотя бы часть коэффициентов |3l7 не равна нулю. Если некоторые коэффициенты регрессии оказались незначимыми или ими можно пренебречь ввиду их малости или требуется доказать правомерность линейной аппроксимации в заданном интервале варьирования, то число членов проверяемого уравнения в этом случае будет, как правило, меньше числа точек в плане и одна или несколько степеней свободы останутся для проверки гипотезы адекватности.

Проведем оценку адекватности в нашем примере, пользуясь

Так как в нашем случае я|д < s2 \у\ (29,2 < 31,12), то аде­

кватность модели очевидна без расчета критерия Фишера. Если бы

146

Таблица 47

М ат рица план и рован ия 2 3-1

кратить число опытов, нужно новому фактору поставить в соот­ ветствие вектор-столбец матрицы, отвечающий взаимодействию, которым можно пренебречь. Обратим внимание на следующее. Если в полном факторном эксперименте, когда п — 2к, имеем

раздельные оценки всех коэффициентов модели, то теперь сокра­ щение числа опытов вызывает смешивание оценок. В данном случае стали неразличимыми оценки двух коэффициентов: (J3 и Р1а. Это очевидно, так как их оценки получаются на основе одного и того же вектор-столбца. Но в этой матрице имеются и другие смешанные оценки, которые легко обнаружить, сравнивая между собой вектор-столбцы и обнаруживая одинаковые. Итак, оценки смешиваются следующим образом:

* P i ~Ь РгЗ> ^2 * Рг “Ь P is! Ь3 ♦ Р 3 ~Н Р 12-

Однако это смешивание в данном случае не должно беспокоить, так как постулирована линейная модель и, следовательно, все парные взаимодействия предполагаются незначимыми. Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, воспользуемся половиной полного факторного эксперимента 23, представленного в табл. 47. Если приравнять х 3 к (—х хх 2), то получим вторую

половину матрицы 23 (табл. 48). В этом случае получается другая система смешивания оценок:

При реализации обеих половин матриц (или полуреплик) можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эф­ фектов взаимодействия, как и в полном факторном эксперименте 23. Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 23. При этом первая полуреплика состоит из нечет­ ных строк с, a, b, abc, а вторая из четных строк (1), ab, ас, Ьс.

Полуреплика от ПФЭ 23 обозначается как 23-1.

В общем случае дробные реплики, в которых р линейных эф­ фектов приравнены к р эффектам взаимодействия, обозначаются как 2к~р .

148

Таблица 48

М ат рица планирования 2 3" 1

Найдем коэффициенты модели для нашего примера, пользуясь последовательно первой и второй полурепликами. Расчеты по

уравнения, полученные на основе этих коэффициентов, аде­ кватно описывают результаты опытов. Приняв среднее из сумм и разностей для первой и второй системы совместных оценок, получим коэффициенты регрессии:

Генерирующие соотношения и определяющие контрасты. При построении полуреплики 23-1 существуют всего две возможности:

= —х хх 2 называют генерирующими соотношениями.

149