книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

между ними. При высокой значимости коэффициента парной корре­ ляции любой из двух анализируемых параметров можно исклю­ чить из рассмотрения. Исключить лучше тот параметр, который труднее измерять как в смысле техническом, так и в отношении точности измерения. Правильный выбор параметров оптимиза­ ции весьма важен для успешного решения задачи.

Входные переменные, отвечающие разным способам воздей­ ствия на объект, называются факторами. Необходимо включить в рассмотрение все существенные факторы. Неучтенные факторы могут произвольно изменяться и значительно увеличивать ошибку опыта.

При фиксировании фактора на определенном уровне может быть получено ложное представление об оптимуме, так как нет гарантии, что фиксированный уровень является оптимальным. Возможно, более полный учет факторов, участвующих в процессе, необходим для того, чтобы в дальнейшем исследовании не упу­ стить факторы, существенно влияющие на ход процесса, и исклю­ чить из рассмотрения факторы, не оказывающие на него влияния.

Факторы могут быть количественными и качественными, но и те и другие должны быть управляемыми. Это значит, что экспе­ риментатор может назначить нужный ему уровень фактора и под­ держивать его во время опыта. В этом особенность «активного» эксперимента. Точность измерения фактора должна быть, возможно, более высокой. Факторы должны непосредственно воздействовать на объект исследования, а не быть функцией других переменных. Температура процесса резания не может быть выбрана, например, как фактор, так как она является неуправляемой и зависит от ряда других факторов (режимы резания, свойства материала, геометрия инструмента и т. д.). Совокупность факторов должна быть совместима, т. е. все требуемые комбинации факторов должны быть осуществимы. Например, нельзя осуществить при резании легковоспламеняющихся материалов такой верхний уровень ре­ жимов резания, при котором температура процесса резания пре­ вышает температуру воспламенения обрабатываемого материала.

Выбор модели

Задача планирования эксперимента формулируется математи­ чески следующим образом: нужно получить некоторое представ­ ление о поверхности отклика факторов, которую в общем случае можно аналитически представить в виде функции или математи­ ческой модели

где у — параметр оптимизации (выход процесса), подлежащий

изучению (например, показатель стойкости инструмента, точность операции, производительность и т. д.); х{ — переменные факторы,

от которых зависит отклик и которые можно варьировать при

130

постановке эксперимента (например, конструктивные, геометри­ ческие и физико-механические параметры инструмента, режимы ре­ зания, свойства обрабатываемого материала и т. д.). Следовательно, задача заключается в нахождении какой-то приближенной зави­ симости математического ожидания результата (выхода) процесса от параметров (факторов).

Математическая модель требуется для предсказания направле­ ния градиента, т. е. направления, при движении по которому па­ раметр оптимизации увеличивается быстрее, чем в любом другом направлении. Предполагается, что функция отклика непрерывна, дифференцируема дважды и имеет не более одного экстремума. При этих условиях можно использовать процедуру поиска опти­ мума, основанную на шаговом принципе: на основе кратких испы­ таний строится математическая модель, последняя используется для оценки градиента, далее ставятся новые опыты только в этом направлении. Так попадают в «почти стационарную область».

В общем случае исследование процесса ведется при неполном знании механизма изучаемых явлений. Естественно, что вид функции в этом случае неизвестен, но для решения экстремальных задач можно найти ее аппроксимацию. Точность, с которой сте­ пенной ряд описывает тот или иной процесс, зависит от порядка (степени) ряда, т. е. от того, с каким показателем степени пред­ ставлены последние члены ряда. Представление неизвестной нам функции отклика полиномом является наиболее удобным. Для сокращения числа опытов на первой стадии исследования при­ нимают полином первой степени или линейную модель. Такая модель хорошо предсказывает направление наискорейшего улуч­ шения параметра оптимизации. Кроме того, она вполне пригодна для описания какого-либо процесса в узком интервале переменных.

Только для описания почти стационарной (оптимальной) области необходимо пользоваться рядом, содержащим члены вто­ рого, иногда третьего порядка. Модель должна быть адекватна, т. е. способна предсказывать результаты эксперимента в некото­ рой области с требуемой точностью. Очень часто при описании процесса ограничиваются моделью, содержащей линейные члены

Коэффициенты регрессии этой функции необходимо определить из эксперимента. Пользуясь результатами эксперимента, можно определить лишь выборочные коэффициенты регрессии b0, bit Ьи,

которые являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии р0, р., pt7, т. е.

bi-> Ро ьи-> Р//>

bo—"Ро + S Рп + 2Рш + ■•■

Таким образом, уравнение регрессии, получаемое на осно­ вании результатов эксперимента, в отличие от приведенного выше теоретического, имеет вид

где у — оценка математического ожидания отклика М {(/) = rj.

Определив коэффициенты регрессии этого уравнения, получим представление о влиянии изучаемых факторов на процесс, о взаи­ модействии, факторов и о направлении движения к оптимальной области. При движении к почти стационарной области исследова­ теля не интересует подробное изучение зависимости параметра оптимизации от факторов вдали от экстремальной точки и потому поверхность отклика на небольшом участке аппроксимируется гиперплоскостью. После попадания в область, близкую к опти­ муму, с помощью линейной модели, задача считается решенной, или надо переходить к полиномам более высоких степеней, чтобы адекватно описать область оптимума.

Принятие решений перед планированием эксперимента

Выбор интервала варьирования факторов. Каждый фактор, участвующий в процессе, имеет определенные пределы изменения своей величины, внутри которых он может принимать или любое значение, или ряд дискретных значений. Совокупность всех зна­ чений, которые может принимать данный фактор, называется областью определения фактора. Но в области определения надо найти локальную подобласть для планирования эксперимента, т. е. для каждого фактора надо указать тот интервал изменений па­ раметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются ориентиро­ вочные значения факторов, комбинации которых дают наилучший результат. Этой комбинации (набору) значений факторов соответ­ ствует многомерная точка в факторном пространстве, которая и принимается за исходную точку при построении плана экспери­ мента. Координаты этой точки называются основными (нулевыми) уровнями факторов.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основ­ ному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровни фак­ тора. Величина этого интервала принимается за единицу нового масштаба измерения фактора. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний — 1, а основной соответствовал 0. Для факторов с непре-

132

рывной областью определения это достигается с помощью формулы преобразования

где xt — кодированное значение фактора; х£ — значение фактора в именованных (натуральных) единицах; xi0 — значение основ­

ного уровня в именованных (натуральных) единицах; Дх£ — еди­ ница масштаба в именованных (натуральных) единицах; i — номер

фактора. Другими словами, с помощью указанного преобразова­ ния начало координат переносится в точку, соответствующую зна­ чениям основных (нулевых) уровней факторов, а сами значения факторов измеряются в новом масштабе.

Выбор интервалов варьирования является неформализованным этапом планирования эксперимента и производится на основе опыта и интуиции исследователя. При этом следует учитывать точность фиксирования факторов, оценить силу влияния фактора на величину параметра оптимизации, величину ошибки измерения параметра оптимизации. Все это поможет избежать ситуации, при которой интервал варьирования окажется недостаточным для того, чтобы уловить изменение параметра оптимизации.

Полезно иметь хотя бы ориентировочные'сведения о кривизне поверхности отклика. Когда поверхность отклика нелинейна, появляется противоречие между низкой точностью фиксирования факторов (требует увеличения единицы масштаба) и кривизной (требует сужения единицы масштаба).

Важно учитывать характер решаемой задачи. При решении задачи оптимизации стремятся выбрать для первой серии экспе­ риментов такую единицу масштаба, которая давала бы возмож­ ность для шагового движения к оптимуму. В задачах описания процесса единица масштаба должна охватывать всю область, под­ лежащую описанию интерполяционным полиномом.

Длина интервала варьирования фактора составляет некоторую долю от размера области определения по данному фактору. Ориен­ тировочно можно принять, что если интервал составляет не более

мально необходимое число уровней факторов определяется мак­ симальным порядком интерполяционного полинома по дан­ ному фактору.' Оно должно быть на единицу больше этого по­ рядка.

Наиболее широко применяется планирование на двух уровнях, которое позволяет описать процесс полиноминальной линейной моделью, включающей также и взаимодействия факторов, или

133

Они называются соответственно верхним и нижним уровнями и обозначаются + 1 и — 1 (или просто + и —). Экспериментальные планы, в которых все факторы варьируются на двух уровнях, называются планами типа 2й, где k — число факторов.

Полный факторный эксперимент

Математическое описание объекта в окрестности точки, отве­ чающей основным значениям факторов, может быть получено варьированием каждого из факторов на двух уровнях, отличаю­ щихся от основного (нулевого) уровня на величину шага варьи­ рования.

Полным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уров­ ней независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций N = 2й. Для трехфактор­

ной задачи выборочное уравнение регрессии имеет вид

з

Полный факторный эксперимент дает возможность найти раз­ дельные оценки коэффициентов Ь.

Нахождение модели методом полного факторного эксперимента состоит из: а) планирования эксперимента; б) собственно экспе­ римента; в) проверки воспроизводимости (однородности выбороч­ ных дисперсий); г) получения математический модели объекта с проверкой статистической значимости выборочных коэффициен­ тов регрессии; д) проверки адекватности математического опи­ сания. Используя кодированные значения факторов (+ 1 , — 1), условия эксперимента можно записать в виде таблицы или ма­ трицы планирования эксперимента, где строки соответствуют раз­ личным опытам, а столбцы —значениям факторов.

Матрица планирования для трех факторов приведена в табл. 43. В табл. 43 стобцы х х, х 2, х 3 образуют матрицу плана. Эти столбцы

задают планирование — по ним непосредственно определяются

строчках и равно + 1 .

Таблицу, содержащую такие столбцы, называют расширенной матрицей планирования. Часто к ней добавляют столбец с значе­ ниями параметра оптимизации, т. е. результатами опытов. Ма­ трицу плана можно представить геометрически (рис. 28). Новые оси координат хь х2, х3 проведены параллельно осям натураль­ ных значений факторов через точку О, соответствующую основному

134

уровню факторов х ъ х 2, х 3. Масштабы по новым осям выбраны

так, чтобы интервал варьирования для каждого фактора был ра­ вен единице. Условия проведения опытов соответствуют коорди­ натам вершин куба, центром которого является основной уровень, а ребра соответственно параллельны координатным осям, их длина равна двум интервалам.

Номера вершин куба соот­ ветствуют номерам точек

вматрице планирования. План эксперимента в

Опыты будем нумеровать двояко, используя двойные номера или одинарные. В первом случае будет указываться номер точки, в которой проводится опыт, и второе число — порядковый номер опыта в данной точке. Так, скажем, yvj означает отклик, получен­

ный в /-м опыте, выполненном в ц-й точке.

Без ограничения общности можно считать, что число парал­ лельных опытов в точке с номером v равно rvl(r0 ^ 1). Второй

способ предполагает сплошную нумерацию опытов (без указания точек, в которых они проводятся), для этого будем использовать

135

Запись матрицы планирования удобнее производить с помощью буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фак­ тора ставится в соответствие со строчной буквой латинского алфа­ вита: А'г —>а, х 2—>Ь и т. д. Каждая строка матрицы планирова­

ния обозначается буквами только для факторов, находящихся на верхних уровнях. Опыт со всеми факторами на нижних уров­ нях условились обозначать (1). Матрица планирования согласно

метрически полный факторный эксперимент. Но фигура, задаю­ щая область эксперимента в многомерном пространстве, является некоторым аналогом куба и называется гиперкубом.

Свойства полного факторного эксперимента типа 2*. Для удоб­ ства построения планов типа 2 к существуют три приема, один из

которых основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки меняют поочередно, во втором столбце их чередуют через два, в третьем — через 4, в четвертом — через 8 и т. д. по степеням двойки.

Матрицы полного факторного эксперимента обладают рядом свойств, делающих их оптимальным средством получения матема­ тической модели по результатам эксперимента.. Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы.»' Первое — сим­ метричность относительно центра эксперимента — формули­ руется так: алгебраическая сумма элементов каждого векторстолбца, кроме столбца, отвечающего свободному члену, равна нулю или

£ * to = 0; * = 1 ,2 , . . . . 2* — 1, 0—1

где п — число различных точек в плане; v — номер точки.

^Второе условие формулируется следующим образом: сумма

квадратов элементов каждого столбца равна числу точек

0 =1

Еще одно важное свойство состоит в равенстве нулю суммы произведений элементов любых двух вектор-столбцов матрицы или

0=1

136

Это свойство называется ортогональностью вектор-столбцов

матрицы.

Столбцы матрицы плана (см. табл. 43) являются ортогональ­ ными (линейно независимыми вектор-столбцами), откуда следует диагональность матрицы нормальной системы уравнений и взаим­ ная независимость оценок коэффициентов уравнения регрессии, не говоря уже о простоте расчета этих коэффициентов, как будет показано ниже.

Выше шла речь о модели линейной только по параметрам, но нелинейной по факторам. Если Ьц = 0 и Ь123 = 0, то такая мо­

дель будет линейна и по параметрам, и по факторам. Но если модель нелинейна, как оценить нелинейность на основе полного факторного эксперимента? Нелинейность поверхности проявляется в том, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор, т. е. имеет место взаимодействие двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количе­ ственно оценивать эффекты взаимодействия.

План 23 позволяет оценить восемь коэффициентов регрессии Ь0, I) 1, b2, bs, b12, b13, b23 и b123. Однако, если попытаться исполь­

зовать ПФЭ для получения квадратичных коэффициентов ре­

столбцы неразличимы, то нельзя сказать, что оценивает в подоб­ ном случае величина Ь0. Она включает значение свободного члена

и вклады квадратичных членов, т. е. имеет место смешанная оценка. Это символически записывается так:

^о- 1"Ро + S jPh-

По отношению к квадратической модели для двух факторов получается такая система смешивания:

2

Следовательно, оценки всех коэффициентов, кроме Ь0, не сме­ шаны.

Проведение эксперимента. Планирование эксперимента предъ­ являет повышенные требования к тщательности проведения экс­ перимента. Статистические оценки результатов реализации плана эксперимента (которые будут рассмотрены ниже) неизбежно отра­ зят недостатки в экспериментировании. Традиционные методы исследования, применяемые в области обработки резанием (одно­ факторный эксперимент), не предусматривают нахождения ошибки эксперимента, а также проверки достоверности (адекватности) полученных зависимостей. Относительно высокие значения ва­ риации показателя стойкости, которые обычно имеют место в’ ис­ пытаниях режущего инструмента, создают дополнительные труд­

1 3 7 .

ности в планировании эксперимента, увеличивают объем необхо­ димых испытаний. Поэтому уменьшение вариации параметра

эксперимента. Если нет возможности обеспечить однородный обрабатываемый материал на весь объем испытаний, то следует заранее определить количество различных партий материала и соответственно разбить матрицу планирования на ортогональные блоки. Чтобы исключить влияние изменчивости условий экспе­ римента, которые могут происходить с течением времени его про­ ведения, рекомендуется случайная последовательность при по­ становке опытов в пределах каждого блока, т. е. опыты необхо­ димо рандомизировать во времени. Рандомизация выполняется с помощью таблицы случайных чисел.

Планирование эксперимента для описания зависимости пока­ зателя стойкости концевых фрез от геометрических параметров. Рассмотрим пример применения планирования эксперимента. Поставим задачу описания зависимости показателя стойкости концевых фрез от заднего угла x lt переднего угла лг2, ширины

ленточки х3. В качестве математической модели принимаем не­ полную кубическую функцию

Для получения оценок коэффициентов этого уравнения можно использовать полный факторный эксперимент типа 23. Выберем основные уровни факторов, близкие к применяемым в практике, а интервалы варьирования — исходя из реальных пределов ко­ лебаний значений факторов (табл. 44). Эксперименты выпол­ няем в соответствии с матрицей планирования (см. табл. 43).

Условия испытаний. Испытывали концевые фрезы диаметром 22 мм, изготовленные из стали Р18. Фрезы были заточены так,

Таблица 44

Уровни факторов и интервалы варьирования

138