книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

висимость между теми же переменными. В случае линейной за­ висимости эти две характеристики связи совпадают. Это позволяет использовать величину разности (ii„ — г) в качестве меры отклоне­

ния регрессионной зависимости от линейного вида.

Найдем корреляционное отношение для зависимости (102) стойкости сверл диаметром 28 мм от заднего угла (см. табл. 25).

Для расчета составим табл. 29. Получаем

Следует заметить, что выборочное корреляционное отношение удовлетворительно отвечает своему назначению только тогда, когда число наблюдений в каждой группе _(серии) достаточно ве­

лико для образования групповых средних yt. В противном случае

следует вычислять выравненное * корреляционное отношение г), которое представляет собой отношение среднего квадратического отклонения предсказанных групповых средних от общей средней к общему среднему квадратическому отклонению, т. е.

s2 (yi) _ £ (Л —У)2

( 1 1 7 )

Л 52 £ ( * - * ) ’

В литературе укоренился неточный термин «теоретическое».

100

Вычислим ii для нашего примера с помощью табл. 30

Таблица 30

К расчету дисперсии предсказанных групповых средних

Проверка гипотезы о статистической значимости связи

Какую величину выборочного коэффициента корреляции сле­ дует считать достаточной для статистически обоснованного вывода о наличии корреляционной связи между исследуемыми перемен­ ными? Ответить на этот вопрос помогает знание закона вероят­ ностного распределения /'. В случае совместной нормальной рас­ пределенности исследуемых переменных и при достаточно боль­ шом объеме выборки п распределение г можно считать прибли­

женно нормальным со средним, равным своему теоретическому значению р, и дисперсией

В этом случае для оценки значимости г надо вычислить нор­

мированное отклонение

При значении t, большем, чем tHр при заданной вероятности

и числе испытаний, можно считать нулевую гипотезу отвергну­ той, т. е. признать данное значение г значимым.

101

Очевидно, что коэффициент корреляции обладает высокой до­ стоверностью, уровень значимости ниже, чем 0,01. Нулевая ги­ потеза, что р = 0, опровергается.

Однако следует учитывать, что при малых значениях п и при малых или близких к ± 1 значениях г это приближение оказы­

вается очень грубым. Поэтому используется тот факт, что величина

определения ошибки коэффициента корреляции может оказаться недостаточным в связи со значительным отклонением распределе­ ния г от нормального (особенно при высоких значениях г).

Р. А. Фишер [60] предложил преобразование случайной вели­ чины г в величину 2, распределение которой значительно ближе к нормальному, чем распределение г. Преобразование г в 2 за­

102

Оценка значимости г может производиться с помощью /, при

этом

Для нашего примера г = 0,35; п = 95. Определяем z по фор­ муле (123), находим г = 0,37. Ошибка для г

ного коэффициента корреляции г доказана, то с помощью средней

ошибки можно установить доверительные границы для коэффи­ циента корреляции р той генеральной совокупности, из которой

Однако, учитывая, что распределение величины z более близко к нормальному, чем распределение г, лучше определять довери­ тельные границы с помощью z по формуле

0,162 < z0 < 0,578.

Теперь в обратном порядке определяем по формуле (123) гра­ ничные значения г по z и получаем доверительные границы для р:

0,16 <С р <С 0,66. Границы для р очень велики. Кроме того, мини­ мальное значение не подтверждает наличия корреляции.

С р а в н е н и е з н а ч и м о с т и р а з л и ч и я д в у х к о э ф ф и ц и е н т о в к о р р е л я ­ ции . С помощью числа z можно определить значимость различия

между двумя коэффициентами корреляции или между фактически полученным коэффициентом корреляции и теоретически ожидае­ мым, а также провести объединение данных по нескольким корреля­

103

циям, вычисленным на основе малых выборок. Для этой дели используется выборочная статистика

данном уровне вероятности Р, можно принять или отвергнуть

нулевую гипотезу.

Установление зависимости стойкости от ряда параметров на основе множественной корреляции

Если исследуется связь между несколькими признаками, то применяется метод математической статистики, называемый мно­ жественной корреляцией. Теоретически можно построить уравне­ ние множественной корреляции для любого числа факторов. Но практически трудоемкость вычислений резко возрастает по мере увеличения числа факторов. Поэтому при составлении корреля­ ционных уравнений необходима механизация вычислительных работ. Простота и однообразие вычислительных операций (сумми­ рование, умножение, возведение в степень) упрощает составление алгоритма для расчета корреляционных уравнений на электронновычислительных машинах. Разработаны схемы расчета корреля­ ционных уравнений для различного числа факторов, а также схемы использования для этих целей электронно-вычислительных машин.

Расчет уравнения множественной корреляции для трех пере­ менных. При изучении корреляции трех переменных одна из них рассматривается как функция, две другие — как аргументы. В простейшем случае связь эта линейная

104

О т с ю д а

Разделим первое уравнение системы нормальных уравнений

Расчет коэффициента множественной корреляции. Для опре­ деления совместного влияния на результативный признак факто­ ров, которые выделены в качестве главных, вычисляют совокуп­ ный коэффициент множественной корреляции по формуле

Второй определитель равен первому без первой строки и послед­ ней колонки. Здесь индекс 1 соответствует результативному приз­ наку, а индексы 234. . .р — факториальному признаку. На основе формулы (130) находим, что для двух аргументов х х и х 2 коэффи­ циент множественной корреляции R рассчитывается по формуле

Применим формулу (130) для расчета коэффициента множе­ ственной корреляции при трех факторах. На основе обработки результатов измерений величин биения по наружному диаметру плашек на отдельных операциях была получена корреляцион­ ная зависимость

ственно после операций: автоматная обработка, шлифование на­ ружного диаметра, нарезание резьбы.

Определим коэффициент множественной корреляции для за­ висимости (133) с помощью формулы (130)

Отсюда

0,7.

Таким образом, зависимость (133) имеет высокую тесноту связи, это означает, что, пользуясь этим уравнением, можно установить допустимые значения * 2, *3, х4, обеспечивающие нахождение * х в допустимых пределах.

Рассмотрим расчет уравнения множественной корреляции на примере обработки результатов испытаний партии сверл диа­ метром 6 мм в количестве 95 шт. Обработка результатов испытаний сверл в работе позволила получить зависимости стойкости от каж­ дого параметра (всего 13 уравнений), в том числе уравнения, ко­ торые имеют достаточно высокую тесноту зависимости (табл. 31). Также установлено уравнение зависимости между величинами толщины сердцевины К и ширины ленточки /:

К = 0,77 + 0,15/; г = 0,30.

J36

Таблица 31

Уравнения парной корреляции стойкости с параметрами сверл диаметром 6 мм

Угол при вершине сверла 2ср оказался независимым от К и /.

Найдем коэффициенты и свободный член уравнения на основе

Это значение свидетельствует о высокой тесноте зависимости. Включим в полученное уравнение множественной корреляции третий параметр — угол в плане 2ср. Так как этот параметр яв­ ляется независимым по отношению к параметрам К и /, то для его включения достаточно сложить уравнение Т — / х (К, /) с уравне­

нием 7\»= / 2 (2ср) (табл. 31)

Коэффициент множественной корреляции для трех параметров

R = V ^ + Г2фт = V 0,582 + 0,482 = 0,75.

107

Значение R свидетельствует о высокой тесноте связи. Под­

ставив в уравнение средние значения параметров, получим рас­ четное среднее значение стойкости Трасч = 58,04 мин против фак­ тической Тф = 58,0 мни.

Корреляция качественных признаков

икорреляция рангов

Вряде случаев исследуемые признаки не могут быть оценены количественно, а только качественно, или им могут быть присвоены условные порядковые оценки — ранги. В этих случаях теснота связи определяется методами корреляции качественных призна­ ков и рангов. Рассмотрим эти методы на примере решения конкрет­ ной задачи.

Установление критерия технологической пластичности быстро­ режущей стали [33]. Применение методов пластической деформа­ ции при изготовлении заготовок режущих инструментов (прокат сверл, штамповка фрез, долбяков и т. д.) выдвинуло новые тре­ бования к инструментальным сталям, в частности к их пластич­ ности в горячем состоянии. Практика показала, что при изготовле­ нии заготовок инструмента из быстрорежущей стали методами пластической деформации может появляться брак в виде трещин. Возникла необходимость в создании метода оперативного кон­ троля быстрорежущей стали по пластичности для определения возможности проката сверл. Для этого надо было найти такой показатель свойств стали, который можно было бы легко опреде­ лять и который был бы тесно связан с поведением стали при про­ кате.

Инструментальным заводом был выбран и рекомендован ме­ тод испытания образцов на кручение в нагретом состоянии (го­ рячее кручение). За показатель пластичности при кручении при­ нимают величину относительного сдвига

сительно другой при его деформации до разрушения.

При постоянных размерах образца угол сдвига пропорционален числу оборотов со, которое можно принять поэтому за показатель пластичности при сравнисельной оценке сталей различных ма­ рок и плавок.

Для испытаний образцов на горячее кручение во ВНИИ соз­ даны специальные установки, которые были направлены четырем инструментальным заводам. Исследования проводили следующим образом. Поступающую на заводы быстрорежущую сталь подвер­ гали испытанию на кручение при различных температурах 700,

108

800,900,1000, 1100,1150 и 1200° С. Фиксировали химический состав плавки, величину зерна, карбидную неоднородность, центральную рыхлость, диаметр проката, а также результаты проката сверл из данной плавки стали (наличие или отсутствие брака по трещинам при прокате). Всего с четырех заводов получены результаты по 45 плавкам.

Задача заключалась в определении тесноты связи между каж­ дой характеристикой плавок и результатами проката — наличие или отсутствие брака. Характеристика плавки, имеющая наибо­ лее тесную связь с результатами проката, и может быть выбрана как критерий для оценки пригодности плавки для проката. Учи­ тывая, что результат проката (брак или годный) имеет качествен­ ный характер, для определения тесноты связи применена корре­ ляция качественных признаков.

Таблица 32

Количество случаев брака при прокатке сверл в зависимости от пластичности материала

Зависимость результатов проката от каждого из свойств стали (теснота связи между ними) характеризуется коэффициентом ассо­ циации А, который вычисляют следующим образом. Определяют

среднее значение данного факториального признака. Затем ча­ стные значения этого признака разбивают на две группы, в пер­ вую включают значения признака меньшие и равные среднему, а во вторую— больше среднего. Для каждой группы подсчиты­ вают количество плавок с различными результативными приз­ наками (наличие или отсутствие брака при прокате сверл). По по­ лученным данным (табл. 32) рассчитывают коэффициент ассоциа­ ции

(а + с) iP + б) (a -J- b) (с -|- d)

где а и с — количество плавок, прокатанных с браком при числе оборотов образца до разрушения соответственно при со < со и

оборотов образца до его разрушения, рассчитанное из всех испы­ таний; п — общее количество испытанных образцов.

109