книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

Таблица 26

Расчет зависимости стойкости сверл диаметром 8 мм от обратной конусности

для нахождения оценок параметров которой необходимо решить следующую систему из двух нормальных уравнений:

1

"6» + 2 l T = I \ tJ'

(104)

Подставляя в уравнение (104) данные из табл. 26, получим

ПО&о + 2 7954»! = 1447,00;

2795&0 + 85 414Ьг = 40 153.

£ = 7 ,0 5 + 0,24 -1-.

Подставив в последнее уравнение значения х = 0,01-т-0,06,

получим ряд значений, по которым построим гиперболу — вы­ борочную линию регрессии (рис. 26).

Измерение тесноты связи на основе корреляции

Понятие о тесноте связи. Выше излагались примеры решения первой основной проблемы теории корреляции — установление формы связи. При корреляционном анализе возникает вторая проблема — измерения тесноты связи. Существуют показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи. Из них важнейшим является коэффициент корреляции, рассматриваемый ниже.

91

Как указывалось в выражении (8), дисперсия суммы двух не­ зависимых случайных величин равна сумме дисперсий этих вели­ чин. Поэтому, если для двух случайных величин х и у окажется, что

D [х -f- у\ 4= D {х} -f- D \у),

то это служит верным признаком наличия зависимости между х и у. Из свойств дисперсии и математического ожидания можно вывести, что зависимость между х и у вытекает из неравенства

Обратное утверждение несправедливо и из равенства (105) независимость х и у не вытекает.

Та часть стохастической связи между х и у, которая сказы­ вается на отличии D {х + у\ от D jx} ~\-D {у), называется

корреляцией. Необходимым и достаточным условием корреляции служит неравенство (105), левая часть которого носит название корреляционного момента. Корреляционный момент зависит от единиц измерения величин х и у. Поэтому на практике чаще исполь­

зуется безразмерная величина

которая называется коэффициентом корреляции.

Коэффициент корреляции есть показатель того, насколько связь между случайными величинами близка к строгой линейной зависимости. Он одинаково отмечает и слишком большую долю случайности, и слишком большую криволинейность этой связи. Выборочный коэффициент корреляции вычисляется по такой же формуле, что и генеральный коэффициент, только здесь берутся выборочные математические ожидания (средние) и дисперсии

Подставив в уравнение (96) правую часть этого равенства получим выборочное уравнение прямой линии регрессии у на х

вида

Существует довольно много различных рабочих формул для вычисления г прямым способом, т. е. при непосредственном исполь­ зовании отдельных значений х( и соответствующих yt. Так, если

92

в формулу (107) вместо s {jc} и s jу) подставить их значения, то

получим наиболее часто применяемую формулу

Yi (xi —x) (У1 —У)

(П О )

V Е (* -* )* 2

Коэффициент корреляции в данном случае выражен только с помощью отклонений от средних, так что все вычисления стано­ вятся однотипными. Когда производится расчет корреляционного уравнения, коэффициент корреляции удобно рассчитывать по следующей формуле:

При вычислении коэффициента корреляции находят следующие суммы квадратов:

( 112)

£ (х „ -хН д^ ) = £ х^ Щ Ы .

При вычислениях можно произвольным образом смещать на­ чало отсчетов для обеих переменных.

Рассмотрим порядок расчета коэффициента корреляции для уравнения (99) связи стойкости сверл диаметром 6 мм с различной толщиной сердцевины (см. табл. 24 и рис. 24). По формуле (111),

в которую подставляем данные из табл. 24, а значение Уг —

= 672101 подсчитываем отдельно, коэффициент корреляции будет:

1^95-78,04 — 85,821^95-672 101 — 5509,94а

Рассмотрим еще один пример расчета корреляционной зави­ симости и коэффициента корреляции. В табл. 27 приведены дан­ ные по величинам угла наклона поперечной кромки ф (у) и заднего угла а (х) для партии сверл диаметром 4,2 мм в количестве 49 шт.

Определим коэффициент корреляции между этими параметрами. Для облегчения расчетов каждое значение х уменьшим на 14, а каждое значение у уменьшим на 40; полученные новые значения х' и у' запишем в графах.

93

По полученным в таблице данным имеем

J ^ ( x - x ) 2 = 2]*2-Ц^=49°-

_ = 490 — 39,51 = 450,49;

2] (* - х) to- 5= 2j'ху ~swisв)

У ^ ( х - х Г - ^ ( у - у ^

V 450,49-2996

Графы х' -+- у ' и ^ (•*' + У')2 служат для проверки правиль­

ности вычислений. Должно выполняться равенство

Измерение связи между переменными обычно начинают с вы­ числения коэффициента корреляции, так как даже в случае криво­ линейной зависимости он характеризует степень приближения кор­ реляционной зависимости к функциональной зависимости и Дает ориентировочное представление о тесноте корреляционной зави­ симости.

Используя коэффициент корреляции, кроме того, легко рас­

95

Выполним расчет для нашей задачи. Необходимо для этого иметь следующие основные показатели:

Для расчета Ь0 надо подставить в уравнение (114) натуральные значения х и г/, а именно

Итак, зависимость имеет вид

r/j. = 59,5 — 1,63х.

Заметим, что углы я|э и а равноправны в отношении того, что

принять за функцию и что за аргумент. Поэтому одинаково пра­ вомерно рассчитать вторую линию регрессии х по у, т. е.

Ху== boxy хуУ

с тем же коэффициентом корреляции.

Величина коэффициента корреляции связана с угловыми коэффициентами двух линий регрессии так:

Гух == ^ b l y x ^ l x y *

96

Прямолинейная зависимость при группировке данных. При не­ обходимости получения более надежных результатов следует обра­ батывать массовые наблюдения, которые обычно подвергают группировке и сводят в корреляционную таблицу. Расчет выбо­ рочной линии регрессии и коэффициента корреляции производится на основе корреляционной таблицы. По ней можно вести расчеты как параметров уравнения прямой, так и уравнений параболы и гиперболы. Корреляционная таблица даже при поверхностном знакомстве дает общее представление о форме связи. Если частоты расположены по диагонали вниз направо, то связь между призна­ ками прямая (при увеличивающихся значениях признака в стро­ ках и графах). Если же частоты расположены по диагонали вверх направо, то связь обратная.

В корреляционной таблице 28 представлены данные о зависи­ мости между радиальным биением после операции полирования х 2 и радиальным биением после авгомагной операции х х для загото­ вок плашек М10Х 1,5. Для упрощения расчетов за х х и х 2 считаем

середины интервалов значений биения. Крометого, для этой же цели используем способ моментов, заключающийся в замене значе­ ний признака числами натурального ряда. Замена переменных

После подстановки данных из табл. 28 получаем

lOOb'o — 15&1 = — 101,

156о -f- 77b[ = 86,

Таблица 28

К о р реляционная т аблица зависимост и меж ду радиальны м биением п ла ш ек М 1 0 x 1 ,5 после операции полирования х г и биения после авт омат ной операции

подставим в уравнение выражения х' через х. После преобразова­ ний получаем х 2 = 0,011 + 0,95;^.

98

Рассчитаем коэффициент корреляции по формуле (111)

Корреляционное отношение. Выше рассматривалась оценка тесноты линейной корреляционной связи. Как оценить тесноту любой корреляционной связи? Рассмотрим корреляционную таблицу 25 зависимости стойкости сверл диаметром 28 мм от заднего угла. Значения стойкости сверл у разбиты здесь на группы. К первой группе относятся значения у, которые соответствуют зна­ чениям заднего угла х, равным 6°, ко второй группе 5 значений у, для которых х = 7° и т. д. Для каждой группы может быть под­

считана групповая средняя г/(- (см. графу 5 табл. 25). Поскольку все значения признака у разбиты на группы, можно

представить общую дисперсию признака в виде суммы внутри­ групповой и межгрупповой дисперсий.

В качестве меры тесноты корреляционной зависимости целе­ сообразно рассматривать отношение межгрупповой дисперсии к общей или отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению, ко­ торое называется выборочным корреляционным отношением:

здесь

где у — общая средняя признака; г/г — групповая средняя приз­ нака; у — значения каждого признака в серии.

Значения г] заключены между 0 и 1.

Корреляционное отношение служит мерой тесноты связи лю­ бой, в том числе и линейной, формы. В этом преимущество корре­ ляционного отношения перед коэффициентом корреляции. Вместе с тем корреляционное отношение обладает недостатком: оно не позволяет судить, насколько близко расположены точки, найден­ ные по данным наблюдений, к кривой определенного вида, напри­ мер к параболе, гиперболе и т. д. Это объясняется тем, что при определении корреляционного отношения форма связи во внима­ ние не принималась. Можно показать, что выборочное корреля­ ционное отношение ць не может быть меньше абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции г, характеризующего за-