книги из ГПНТБ / Кардашев, Г. А. Тепломассообменные акустические процессы и аппараты

довательно, должна существовать критическая темпера­ тура Ткр = Эп0//г, выше которой жидкость существо­ вать не может.

Таким образом', описанная элементарная модель ячейки вещества позволяет представить твердое, жидкое и газообразное состояния модельного вещества, а также общие черты динамики его изменения. В этом несомненные преиму­ щества модели, несмот­ ря на грубо прибли­ женный ее характер.

Тепловое движение любой частицы можно представить как ее ко­ лебательное движение вдоль прямой, с кото­ рой совмещены различ­ ные спрямленные траек­ тории движения части­ цы между соударения­ ми. Если бы частицы

, =

где m — масса частицы.

Важно отметить, что тепловые колебания частиц при больших температурах не гармонические. Только при низких температурах, когда L —>сг, колебания, воз­ можно, приближаются к гармоническим. Когда все ча­ стицы движутся, картина тепловых колебаний существенно

И

усложняется, так как величина L в каждой ячейке из трех частиц также изменяется. Периодические знако­ переменные импульсы простейшей модели будут промодулированы и по амплитуде, и по частоте.

ВРЕМЕННОЕ И СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

Примером линейной колебательной системы служит осциллятор — шарик известной массы т, растянутый двумя пружинами с постоянным коэффициентом упру­ гости Ку Смещение х из положения равновесия этого шарика выражают временным уравнением

X = X cos (сот + ср)

или действительной частью комплексного числа в виде х = Х ехр [у (сот + ф)],

где X — амплитуда;

Ф — начальная фаза колебаний; со — круговая частота;

т— время;

і= Ѵ = і .

Собственная круговая частота

сос = (КуІт)1/2.

Полная энергия колебания

Э = 1 піХ2а\

Амплитуда скорости

В реальных механических системах действуют дисси­ пативные силы, поглощающие кинетическую энергию. При малых амплитудах эти силы сопротивления движению можно считать пропорциональными скорости. Поэтому частное решение дифференциального уравнения движения для реального осциллятора принимает следующий вид:

X = X ехр ( — 8т) cos (со'т -+- ф)

или

X = X ехр [ — бт + / (Ö/T + ф)],

12

лее одного раза (кривая 3).

Энергию реального осциллятора в момент времени т можно выразить равенством

4 .

Э (т) = у птІХІ ехр ( —бт j .

13

Общее решение этого уравнения можно представить суммой слагаемых х = хх + х 2, где

хх — X exp [ — бтг — j (сот— cp)];

Слагаемое хх описывает переходные процессы, воз­ никающие с наложением возмущающей силы и затем затухающие. Слагаемое х 2соответствует установившемуся процессу колебаний. С прекращением действия возмуще­ ния слагаемое х2 исчезает.

Полным (или кажущимся) механическим сопротивле­ нием или импедансом системы называют величину

тогда слагаемое х2, соответствующее вынужденным коле­ баниям, можно представить уравнениями

Так как гы= 26т и Ку = aim, то амплитуду вынуж­ денных колебаний по формулам (7) можно выразить равенством

Х = ~ [(©с— оз2)2 -j- 462(Ö2]-1/2

Отсюда следует, что амплитуда вынужденных колеба­ ний установившегося процесса достигает наибольшего возможного значения

V _______ Fo_____

max ~ 2mV(CÜCÖ)2 — 6‘‘

при условии, что со" = Юс— 26 . Если 6 —>0, то Хтах — оо. Явление резкого увеличения амплитуды колебаний в системе под действием периодической вынуждающей

силы, частота которой близка к частоте собственных колебаний системы, называют резонансом системы на

14

периодическое воздействие. Энергия системы при резо­ нансе

Амплитуда скорости [см. уравнение (6) ] в зависимости от коэффициента затухания б может быть очень большой. Следовательно, в процессе перехода к резонансу система может поглощать от источника вынуждающей силы боль­ шую энергию. При установившихся колебаниях во время резонанса энергия вынуждающей силы расходуется на компенсацию потерь в системе, т. е. на работу по прео­ долению диссипативных сил.

При описании . колебательной системы со многими степенями свободы, а также процессов с ярко выраженной частотной зависимостью поглощения энергии элементами системы или их совокупностью целесообразно пользо­ ваться спектральным представлением функций [53, 64].

Если некоторый физический процесс отображает функ­ ция времени / (т), то разложением в ряд Фурье ее пред­ ставляют в виде суммы постоянной составляющей и бес­ конечного ряда слагаемых, характеризующих гармони­

— Г/2

+ 772

— 7’/2

15

В комплексной форме ряд Фурье записывают выра­ жением

где Ak — комплексная амплитуда /г-й гармоники, причем 2ЛК= ак — jbK= Акехр (— /срк);

+ т/2 .

Лс И = у J (т)/ ехр ( —jwkrc) d r.

— Т/2

Обе формы записи разложения в ряд Фурье [уравне­ ния (8) и (9) ] полностью определяют периодическую функ- -цию / (т), если заданы все амплитуды Ак [53, 63].

П/1

Лг /

1г 1г ѵ

и

Рис. 4. Временное х (т) и^спектралыюе S (ш) иліГМ (ш) представле

которой Т —>оо (рис. 4, а), представляют согласно выра­ жению (9) интегралом Фурье, т. е. сплошным спектром. Таким образом, любую периодическую функцию времени можно представить спектром амплитуд, соответствующих гармоническому ряду частот. Синусоидальному гармо­ ническому колебанию соответствует одна линия спектра. Непериодическая функция времени, например одиночный импульс, имеет сплошной спектр, периодические функ­ ции— линейчатый спектр (рис. 4, б, в).

Длительность любого одиночного импульса Ат свя­ зана с шириной его частотного спектра Дѵ простым при­ ближенным соотношением АѵАт 1.

16

Независимо от природы физического воздействия его спектр определяется только^ характером изменения вели­ чин во времени. Поэтому для исследований спектра соб­ ственных колебаний систем и спектров воздействий на систему, а также для анализа отклика системы на внешнее воздействие можно использовать электронные спектро­ скопы или спектрографы. При этом либо измерительные датчики должны преобразовывать неэлектрические'вели­ чины в электрические без искажений, либо -спектральные характеристики датчиков должны быть известны.

УЗКОПОЛОСНОЕ И ШИРОКОПОЛОСНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

Исследования и практика технического применения акустических воздействий показали необходимость раз­ личия их по спектральному составу на узко- и широко­ полосные. Терминология и критерии такой классифи­ кации заимствованы из радиотехники [19, 63].

Узкополосными принято называть воздействия ста­ ционарными колебаниями, спектр мощности которых

воздействия является условие

а » С © O B -

Второй критерий узкополосности воздействия опре­ деляется шириной полосы чувствительности системы к ре­ зонансу, т. е. интервалом частот £2р, в котором амплитуда вынужденных колебаний системы составляет не менее 0,707 максимальной амплитуды при резонансе. Оче­ видно, что

Qp = ©2р —©ір : ©pc/Q = 26,

где сорс — резонансная частота системы; Q— добротность;

б — коэффициент затухания системы.

Если £о0в = со 0р, то воздействие на систему наи­ более эффективно, причем оно является узкополосным при условии

библиотека С-Сс:Р ЭКЗЕМПЛЯР

ную систему будет узкополосным, если выполняются оба указанных условия.

Предположим, что скорость некоторого физического

находится в резонансе с воздействием и отбирает от внеш­ него источника наибольшее количество энергии.

Узкополосное воздействие на систему из несвязанных

буждать только некоторые из множества элементов си­ стемы. Наглядно это можно представить сопоставлением

18