книги из ГПНТБ / Караваев, Н. И. Электронные цифровые вычислительные машины и программирование учеб. пособие

- Р о ­

машин всегда применяется десятичная система счисления, то возникает необходимость двоичного кодирования десятичных цифр. Существует большое количество различных способов двоичного кодирования десятичных цифр, но в ЭЦВМ наиболее часто используется двоично-десятичная система счисления. Такое название получил способ кодирования десятичных чи­ сел путём прямого замещения каждой десятичной цифры че­ тырехразрядным двоичным числом /двоичной тетрадой/. На­ пример, десятичное число А * 759,23 в двоично-десятичной системе счисления запишется в виде

счисления и необходимо его представить в десятичной сис­ теме, то достаточно это число разбить на тетрады влево и вправо от запятой /при этом последние тетрады при необ­ ходимости дополняются нулями/ и каждую тетраду заменить десятичной цифрой.

Например:

А - 1010011001, 10001 дв.дес.-ООШ 1001 1001 , J000,

1QQQ дв.дес. - 299,88 дес.

Двоично-десятичное представление чисел используется в ЭЦВМ как промежуточное при переводе десятичных чисел в двоичные. С помощью устройств ввода данных десятичные чис­ ла преобразуются в двоично-десятичные, а затем двоичнодесятичные числа в самой машине по специальной программе переводятся в двоичные.

Следует заметить, что существуют машины, в которых все вычисления осуществляются в двоично-десятичной систе­ ме счисления.

- 21 -

S 1.2. 1ЕРЕВ0Д ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Перевод целых чисел

Общее правило перевода целых чисел из одной пози­ ционной системы счисления в другую может быть сформулиро­ вано следующим образом: если задано изображение числа в системе счисления с основанием , то для получения изоб­ ражения этого же числа в системе счисления с основанием hli необходимо провести последовательное деление исходно­ го числа и его частных на значение Nz , выраженное в системе с основанием JVi . Остатки от деления будут яв­ ляться цифрами числа в системе счисления с основанием Л/г ; самый последний остаток является цифрой старшего разряда.

Поясним это правило примерами.

1. Пусть дано десятичное число а дес.» 91 . Требуется найти изображение этого числа в двоичной и восьмеричной системах счисления. Для перевода числа в двоичную систе­

При проведении последовательных делений удобно использо­ вать следующую форму записи:

2. Пусть дано двоичное А дв - 1100001. Требуется найти десятичное изображение этого числа, т . е . А дес •= ? Для перевода числа из двоичной системы в десятичную необходи­ мо деление осуществлять в двоичной системе и полученные остатки записать десятичными цифрами

- 23 -

Перевод дробных чисел

Общее правило перевода правильное дроби из одной по­ зиционной системы счисления в другую заключается в следую­ щем: если задано изображение правильной дроби в системе счисления с основанием $\ , то для получения ее изображе­ ния в системе счисления с основанием Hz необходимо про­ извести последовательное умножение исходной дроби и дроб­ ных частей получающихся произведений на значение Л4 , вы­

х2

- 24 -

Если число представляет собой неправильную дробь, то перевод в требуемую систему счисления производится от­ дельно целой части и отдельно дробной части; второй ре­ зультат приписывается к первому.

Например, десятичное число 15,75 в двоичной системе будет иметь вид 1111,11, в восьмеричной системе - 17,6.

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот

Если при переводе чисел из одной системы счисления в другую окажется, что основание одной системы является

систему счисления достаточно каждую восьмеричную цифру за­ менить трехразрядным двоичным эквивалентом /триадой/.

Например:

Авосьы * 27,63;

Адн = 10111, 110011 .

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления необходимо, начиная вправо и влево от запятой, разбить его на триады и заменить каждую триаду соответ­ ствующей восьмеричной цифрой. Если крайние триады при разбиении окажутся неполными, то их необходимо дополнить нулями.

Например:

А дв - 1111,11 = ,001111,110.; А восьм = 17,6 .

S 1.3. ФОРМЫ riPt^CTAMiiHMH ЧИСЕЛ

В электронных цифровых вычислительных машинах исполь­ зуются две известные формы представления чисел:

- 25 -

-естественная форма, или представление чисел с фиксиро­ ванной запятой;

-нормальная форма, или представление чисел с плавающей запятой.

6 зависимости от принятой формы представления чисел

Естественная форма

При использовании естественной формы представления все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

В ЭЦВМ для хранения чисел используются ячейки памяти. В машинах с фиксированной запятой ячейка памяти включает знаковый разряд и цифровые/разряды. Некоторое постоянное число цифровых разрядов отведено для хранения целой части числа, а остальные разряды - для хранения дробной части.

При выполнении арифметических операций в машинах с фиксированной запятой могут получаться результаты, целая часть которых содержит больше цифр, чем отведено разрядов для хранения целой части числа. Происходит так называемое переполнение разрядной сетки, т . е . часть цифр теряется и результат вычислений искажается. Поэтому при использовании машин с фиксированной запятой необходимо все величины, вхо­ дящие в решаемую задачу, умножить на масштабные коэффициен­ ты, т . е . на множители, подобранные с таким расчетом, чтобы разрядная сетка не переполнялась.

Для облегчения подбора масштабных коэффициентов в боль­ шинстве машин запятая фиксирована перед первым цифровым разрядом. В ячейки памяти записываются только правильные дроби. Превращение всех величин, входящих в задачу, в пра­ вильные дроби достигается соответствующим выбором масштаб­ ных коэффициентов.

Знак числа в машине изображается с помощью двоичных

цифр:

В знаковом разряде ячейки памяти стоит нуль, если в ней записано положительное число, или единица, если ячей­ ка хранит отрицательное число.

Примером машины с фиксированной запятой является СЭЦВМ-1.

Машина СЭЦВМ-1 имеет 35 - разрядные ячейки памяти. 1-й разряд является знаковым разрядом. Запятая фиксирова­ на перед старшим цифровым разрядом. Разряды со 2-го по 34-й предназначены для записи цифровой части числа.

35-й разряд - контрольный. Распределение разрядов ячейки памяти СЭЦВМ-1 при хранении двоичного числа показано на рис. 1 . 1 .

А/амти с с а

Рис. 1 . 1 . Распределение разрядов ячейки памяти машины СЭЦВМ-1 при хранении числа

Основной недостаток естественной формы представления чисел - относительна малый диапазон изображаемых чисел.

- 27 -

Нормальная форма

При использовании нормальной формы любое число изоб­

ражается в следующем виде:

А - mJV ,

где А - изображаемое число; m - мантисса числа;

N - основание системы счисления; р - порядок числа.

Например, двоичное число 11,011, записанное в естест­ венной форме, в нормальной форме может быть записано в виде

11,011 * 10°, или 1, 1011* Ю 1 . или 0,11011 * 1 0 1 0 , или 110,11 * 1Q"1 , и т.д.

Рис. 1 . 2 . Распределение разрядов ячейки памяти машины БЭСМ при хранении двоичного числа

Таким образом, при изображении чисел в нормальной фор­

- 28 -

Например: 0,11001 * 1 0 м - нормализованное число; 0,0011001 х 10^* - ненормализованное число.

При записи чисел в машинах с плавающей запятой в каж­ дой ячейке памяти одна часть разрядов отводится для изоб­ ражения мантиссы и ее знака, а другая - для изображения

этом арифметическое устройство усложняется, так как необ­ ходимо проводить операции не только с мантиссами чисел, но и с их порядками.

Имеются машины /например, м Урал-2н /, в которых исполь­ зуется представление чисел как с фиксированной, так и с плавающей запятой. Это значительно расширяет возможности машин, так как при использовании естественной формы уве­ личивается быстродействие машины, а при использовании нормальной формы увеличивается диапазон и точность пред­ ставляемых чисел.

S 1.4. АРИШЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ДВОИЧНЫМИ

-представление чисел в обратном коде.

Все эти способы применяются при использовании как ее-

- 29 -

тественной, так и нормальной формы представления чисел. В памяти машины все числа хранятся в прямом коде. Прямой код используется также при умножении чисел в машинах с

фиксированной запятой и умножении мантисс в машинах с пла­ вающей запятой. Все другие арифметические операции выпол­

[X]доп и образуется по формуле

его в прямом коде. Правило образования дополнительного кода отрицательного числа может быть сформулировано сле­ дующим образом: чтобы представить отрицательное число в дополнительном коде, необходимо в знаковом разряде поста­ вить единицу, а в цифровых разрядах заменить нули едини-