книги из ГПНТБ / Ермолов, Л. С. Основы надежности сельскохозяйственной техники учебное пособие

средняя арифметическая и среднее квадратическое откло­ нение.

Средняя арифметическая есть частное от деления суммы измеренных значений на число слагаемых этой суммы, т. е. на количество испытаний (опытов):

ных величин имеются одинаковые, несколько раз повторяю­ щиеся, их среднее значение называется средней взвешенной.

Средняя взвешенная величина определяется по формуле

Из последней формулы следует, что средняя взвешенная подсчитывается как сумма произведений наблюденных зна­ чений случайной величины Xi на соответствующие им час-

тости т<

N

При достаточно большом числе испытаний частость при­ ближенно равна соответствующей вероятности.

Заменив в формуле (7) относительные частости соот­ ветствующими вероятностями, получим для дискретной случайной величины равенство

30

Математическим ожиданием случайной величины, под­ считанным по заданному теоретическому закону распреде­ ления, называется сумма произведений возможных значе­ ний случайной величины xt на соответствующие им вероят­ ности Pi.

Для непрерывных случайных величин

где А — произвольное число, которое подбирают так, чтобы разности (Xi — А) были возможно простыми и малыми числами.

Обычно Л выбирают приблизительно равным среднему значению случайной величины на глаз или равным значе­ нию, соответствующему наибольшей частоте наблюденных значений случайной величины в ряду распределения.

Среднее значение характеризует центр группирования

прерывной случайной величины xit соответствующее наи­ большей ординате полигона распределения (рис. 6, а). За моду прерывной случайной величины принимают значение, имеющее наибольшую вероятность.

Мода М00 теоретического распределения непрерывной случайной величины — это такое значение х-и которое соот­ ветствует максимальному значению дифференциаль­ ной функции распределе­ ния / {х) (рис. 6, б).

Модой также называет­ ся значение признака, встречающееся с наиболь­ шей частотой, т. е. значе­ ние признака, наиболее

31

Медиана Л4е, или срединное

значение эмпирической совокуп­ ности, — это такое наблюденное значение случайной величины х,-, которое является срединным членом (объектом) в ряде на­ блюденных значений, упорядо­ ченных по их возрастанию или убыванию.

Другими словами, медианой называется значение признака, относительно которого эмпири­

ческая совокупность делится на две равные по числу чле­ нов части.

Если число членов п эмпирической совокупности нечет­

ность появления величин х, меньших Мео, равна вероят­ ности появления величин х, больших Мео.

Ордината кривой распределения, соответствующая зна­ чению случайной величины х = Мео, делит площадь под кривой распределения на две равные части (рис. 7).

Если дифференциальная функция распределения f (х) симметрична относительно среднего арифметического зна­ чения X и имеет один максимум, то мода и медиана совпа­ дают с математическим ожиданием, т. е.

М00 = Мео = МХ.

Разброс случайных величин относительно центра рас­ пределения (среднеарифметической, математического ожи­ дания, моды или медианы) характеризуется мерами рассеи­ вания.

К мерам рассеивания относятся: размах, дисперсия и среднее квадратическое отклонение (стандарт).

32

Размах R распределения (диапазон рассеивания) в эмпи­ рической совокупности есть разность между максимальным и минимальным из значений случайной величины xh полу­ ченных в результате испытаний.

Размах определяется по формуле

Размахом пользуются в эмпирических распределениях как мерой рассеивания при малом числе испытаний (jV < 10).

Рассеивание (степень изменчивости) случайных величин наиболее часто измеряется дисперсией (рассеиванием) и сред­ ним квадратическим отклонением.

Дисперсия для дискретной случайной величины теорети­ ческого распределения будет выглядеть так:

t= i

а для непрерывной, заданной плотностью вероятности f (х)

i = 1

где

П

I ] x!mi t=i

Среднее квадратическое отклонение (стандарт) а и эмпи­ рическое среднее квадратическое отклонение S будут соот­ ветственно корень квадратный из дисперсии DX и из S2, взятые с положительным знаком.

П ри малом количестве наблю дений , т. е. при N < 25,

Размерность S и о совпадает с размерностью самой слу­ чайной величины х.

Если при вычислении исходит не из отклонений от сред­ ней арифметической, а из непосредственно измеренных ве­

Чтобы при вычислении не возводить в квадрат много­ значные числа, можно пользоваться отклонениями от ус­ ловно избранной любой постоянной величины А с после­ дующим расчетом по формуле

с различными а и одним и тем же X.

Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно корню квадратному из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

34

Таким образом, среднее квадратическое отклонение среднего арифметического N одинаково распределенных

взаимно независимых случайных величин в У~Ы раз меньше среднего квадратического отклонения а каждой из величин.

Совокупность не содержит грубых погрешностей со­ гласно критерию Райта в том случае, если

возникнуть необходимость сравнить рассеивание разно­ родных величин. Для такого сравнения дисперсия и стан­ дарт не могут быть использованы. В качестве отвлеченной меры рассеивания, не зависящей от единиц измерения сравни­ ваемых величин, принимается коэффициент вариации или изменчивости.

Коэффициент вариации v равен стандарту, деленному на среднее арифметическое значение.

Обычно коэффициент вариации выражается в процентах:

Тот из рядов распределения имеет большее рассеивание, у .которого больше коэффициент вариации.

§ 5. Некоторые законы распределения случайных величин

В теории надежности чаще всего встречаются со следую­ щими распределениями (законами распределения): нормаль­ ным и его разновидностями (усеченным нормальным, логарифмически нормальным); экспоненциальным (показа­ тельным); Релея, Вейбулла; гамма-распределением; Пуассона; биномиальным.

Закон нормального распределения получил наибольшее применение в технических приложениях. Этому закону подчиняются многие случайные величины массовых явле­ ний, на которые оказывает влияние большое число факторов, равнозначных по величине (например, износы, измеренные микрометражем большого количества деталей одного наи­ менования).

Дифференциальная функция нормального распределе­ ния непрерывных случайных величин выглядит так:

где о — среднее квадратическое отклонение случайной ве­ личины х\

е — основание натурального логарифма, равное 2,7183; х — случайная величина — оо <; х < + оо;

X — среднее арифметическое значение (математическое ожидание) случайной величины х.

Дифференциальная кривая, соответствующая нормаль­ ному закону, симметрична относительно ординаты, прове­ денной в точке х = X, называемой центром распределе­ ния, и имеет колоколообразный

вид (рис. 9).

Ветви этой кривой простирают­ ся в обе стороны в бесконечность, асимптотически приближаясь к оси абсцисс при л: оо.

Случайная величина, следую­ щая закону нормального распре­ деления, имеет три следующих

Рис. 9. Нормальный за­

свойства: одинаковые положитель­

кон распределения слу­ ные и отрицательные отклонения чайных величин. от средней арифметической X

36

равновозможны; меньшие отклонения более вероятны, чем большие; весьма большие отклонения от X крайне мало­ вероятны.

Характерной особенностью нормального распределения является то, что вероятность или частость значений х, заключенных в пределах от X — За до X + За составляет 0,9973, т. е. близка к единице.

И н т е г р а л ь н а я ф у н к ц и я н о р м а л ь н о г о

Для подсчета вероятности того, что случайная величина находится в тех или иных пределах, пользуются интегра­ лом Ф (t), значения которого приводятся в таблицах, имею­ щихся в литературе по математической статистике.

Втаблице 1 приложения приведены Значения Ф (х), а

втаблице 2 — значения функции f (х) для нормального распределения.

Выражение V2 л е 2 di — Zt представляет собой ве­

личину ординат (частостей) кривой нормального распреде­ ления.

Табличный интеграл Ф (f) соответствует площади под кривой, заключенной между осью симметрии кривой и ординатой, соответствующей значению t, и непосредственно дает вероятность того, что значение случайной величины находится в пределах от 0 до t.

Так, например, для х = За (t = 3) из таблицы значе­ ний Ф \t) находим, что Ф (3) = 0,49865, т. е. для 2Ф (3) =

= 0,9973 ~ 1.

Следовательно, как отмечалось выше, вероятность того, что случайная величина х лежит в пределах ± За, близка к 1 или к 100% (правило трех сигм).

37

Вероятность того, что случайная величина, подчиняю­ щаяся закону нормального распределения, при испытаниях примет значение в пределах от лу до х2, может быть записана следующим образом:

Р ( Х1< Х < Х 2) = ф ( * , ) - ф ( / 1) = ф ( ^ ) - ф ( ^ ) .

А с и м м е т р и я и э к с ц е с с . Кривые распреде­ ления, подчиняющиеся закону нормального распределения, могут характеризоваться также асимметрией А (рис. 10, а)

мального распределения будет кривой с нулевым эксцессом. Ее дифференциальная функция определяется из уравнения

В первом приближении о характере закона распределе­ ния можно судить по внешнему виду эмпирической кривой распределения.

Рис. 10. Кривые распределения:

а — с асимметрией; 6 — с эксцессом.

38

К р и т е р и и с о г л а с и я . Часто приходится опре­ делять, является ли результатом ограниченного числа на­ блюдений расхождение между эмпирическим законом рас­ пределения и предполагаемым, т. е. теоретическим. Воз­ можно это расхождение существенно и связано с тем, что действительное распределение случайной величины отли­ чается от предполагаемого. Чтобы ответить на эти вопросы, используют так называемые «критерии согласия».

Наиболее простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения служит критерий Я, предложенный академиком А. Н. Колмогоровым. При пользовании этим критерием делают предположение, что распределение ста­ тистических данных имеет, например, характер нормаль­ ного распределения. В качестве параметров распределения принимаются соответствующие характеристики выборки.

Приняв параметры теоретического распределения рав­

ность размеров внутри интервала.

Значения Zt, вычисленные для различных величин, берутся из соответствующих таблиц.

д .____

При определении t тоформуле t = ------ значения

принимаются равными середине интервала.

По вычисленным частотам строят теоретические кривые распределения в такой последовательности. Из середины интервалов, отложенных по оси абсцисс, проводят ординаты, равные вычисленным теоретическим частотам. Концы ор­ динат соединяют плавной сплошной линией.

Близость теоретических частот к эмпирическим позво­ ляет ориентировочно утверждать, что эмпирическая кривая распределения подчиняется закону нормального распре­ деления. . .

По эмпирическим и возможным теоретическим частотам распределения подсчитываются значения критерия согласия

39