книги из ГПНТБ / Ермолов, Л. С. Основы надежности сельскохозяйственной техники учебное пособие

Ниже рассмотрены краткие сведения из теории вероят­ ностей и математической статистики *.

В теории вероятностей и основанной на ней математиче­ ской статистике применяют ряд специфических понятий, основными из которых служат следующие: испытание (опыт), событие, случайная величина, вероятность, частота и частость.

Испытание (опыт) — это практическое осуществление некоторых условий, правил.

Все явления в, технике с точки зрения количественной характеристики их проявления разделяют на единичные и массовые.

Е д и н и ч н ы м называется явление, которое возникло однократно и при многократном воспроизведении того же испытания (опыта) практически не повторится.

М а с с о в ы м и называются явления, повторяющиеся при многократном воспроизведении испытаний (опытов).

Событие — это явление, происходящее в результате выполнения определенного комплекса условий, т. е. в ре­ зультате испытания.

Событие — это качественный результат испытания, про­ водимого при вполне определенных условиях, например результат эксплуатации сельскохозяйственной техники

вопределенных условиях с целью оценки ее надежности.

До с т о в е р н ы м называют такое событие, которое неизбежно произойдет при данном комплексе действующих условий.

Н е в о з м о ж н ы м называют событие, которое при тех же условиях заведомо произойти не может.

Сл у ч а й н ы м называют событие, которое при рас­ сматриваемом сочетании условий может произойти, а может

ине произойти.

Не с о в м е с т н ы м и называют два события, если при испытании появление одного из них исключает возмож­ ность появления другого. Например, отказ и работоспо­ собность — это события, которые не могут возникать одно­ временно.

Со в м е с т н ы м и называют два события, если при испытаниях появление одного из них не исключает возмож­ ности появления другого.

*При этом удобно пользоваться РТМ-44—62 или РТМ 44—70 «Методика статистической обработки эмпирических данных», раз­ работанными ВНИИМАШем, — Прим, автора.

20

■ Р а в н о в о з м о ж н ы м и называют несколько воз­ можных событий, появившихся в процессе испытания и при этом нет основания предполагать, что появление одних

врезультате опыта может принимать различные значения

в.определенных пределах.

Случайные величины обычно обозначаются прописной буквой латинского алфавита, например X. Значения случайной величины, которые она принимает в ре­ зультате . испытания, записываются строчными буквами

ваются такие, которые в некотором интервале могут при­ нимать любое значение (время безотказной работы изде­

ваются такие, которые могут принимать лишь определен­ ные значения (число отказов, возникающих в течение ка­ кого-либо интервала времени, число неисправных изделий в партии и т. д.).

Проводя какое-либо испытание или наблюдение в экс­ плуатации, мы не можем заранее точно сказать, какое значение примет в этом опыте та или иная случайная вели­ чина.

Ввиду этого для количественной оценки случайной вели­ чины используется вероятность того, что случайная вели­ чина окажется равна заданному значению или окажется в указанном интервале ее возможных значений.

Вероятность — это объективная математическая оценка возможностей реализации случайного события или случай­ ной величины.

Естественно, что закономерность случайных явлений на практике может быть выявлена при многократном повто­

21

рении эксперимента, выполняемого при неизменных усло­ виях.

Таким образом, теория вероятностей изучает массовые случайные события, имеющие к тому же устойчивую частоту появления. Если проведено N испытаний машин и полу­ чена частота (количество) отказов т, то относительная частота, или частость, отказов

Частота — это число (количество) одинаковых или близ­ ких (полученных по наблюдениям) появлений события или

выраженная в долях единицы или процентах от общего количества испытаний или объектов изучаемой совокуп­ ности.

Можно сказать, что при неограниченном увеличении N статистическое значение W приближается или сходится к некоторому числу Р, называемому вероятностью данного

или можно записать

т

Р(А) ~N’

где Р (Л) — вероятность события А;

т— число случаев, благоприятствующих наступле­ нию события;

N — число несовместных, единственно возможных и равновозможных событий.

В е р о я т н о с т ь ю с о б ы т и я А, таким образом, называется отношение числа случаев, благоприятствующих наступлению данного события ко всему числу несовмест­ ных, единственно возможных и равновозможных Событий.

Приближенное равенство позволяет опреде­

лить вероятность Р какого-либо события по эмпирической частости, и, наоборот, по известной вероятности можно определить ожидаемую частость этого события при N испы­ таниях, когда они еще не проведены.

22

Вероятность события принято выражать положительным числом, имеющим значение от нуля до единицы, т. е.

0< Р (Л )«=: 1.

Если т = N, то

Р(Л) = ^ = 1

и событие А — достоверное (обязательно произойдет); при Р (А) = 0 — событие невозможное (произойти не мо­ жет).

Обычно при решении технических задач приходится иметь дело не с достоверными или невозможными, а с так называемыми практически достоверными и практически невозможными событиями.

П р а к т и ч е с к и д о с т о в е р н ы м называется такое событие, вероятность которого весьма близка к еди­ нице.

П р а к т и ч е с к и н е в о з м о ж н ы м называется событие, вероятность которого весьма близка к нулю.

Практически достоверные и практически невозможные события в одном и том же испытании или опыте всегда сопутствуют одно другому. Если, например, в данном опыте событие А практически достоверно, то противоположное ему событие В практически невозможно.

Случайное событие имеет устойчивую частость при мас­ совых испытаниях, т. е. в каждой серии испытаний частость этого события изменяется незначительно и колеблется вблизи некоторого положительного числа. Это число и принимается за вероятность данного события. Вычислен­ ную этим способом вероятность называют с т а т и с т и ­ ч е с к о й , так как она получена в результате испытаний (опытов).

§ 2. Некоторые формулы теории вероятностей

Вероятности случайных событий или величин можно складывать и умножать.

Формула сложения вероятностей. Если при испытаниях может произойти только одно из рассматриваемых собы­ тий Аг, А2, ... , Ап, а вместе они появиться не могут, то такие события, как отмечалось выше, называют несов­ местными,

23

Если вероятности подчиняются таким же соотношениям, что и соответствующие им частости, то получают формулу сложения вероятностей, применяемую для несовместных событий, которая формулируется следующим образом.

Вероятность появления одного из нескольких независи­ мых и несовместных однородных (принадлежащих к одной группе) событий (или, иначе, вероятность суммы событий

Alt Аг, .. , Ап) равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А1 + А2 + ... + Ап) = Р(А1) + Р(А2) +

из них (например, при длительных испытаниях обязательно появится отказ изделия).

На практике в надежности чаще всего рассматривают два несовместных противоположных события: состояние работоспособности изделия и состояние отказа. Естественно, что эти два события несовместны, т. е. любое изделие в дан­ ный момент' времени может находиться только в одном со­ стоянии: или в рабочем, или в нерабочем.

В данном случае эти события образуют полную группу, для которой

/> + <7=1,

где Р — вероятность того, что изделие будет работоспо­ собным;

q — вероятность того, что наступит отказ, т. е. изде­ лие будет неработоспособным.

- Так как эти события противоположны, т. е. появление одного из них достоверно, а совместное появление обоих в одном опыте невозможно, то

q= 1 - Р .

Формула умножения вероятностей. Если два события

А и В независимы, т. е. появление одного из них не изменяет

24

Эта формула выражает теорему умножения вероятностей для независимых событий, утверждающую, что вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

При Р (А) = Р (В), Р (АВ) = Р (Л)2.

Если имеется, больше двух событий, то

Изделие никогда не может быть надежней самого ненадеж­ ного своего элемента.

Например, если машинно-тракторный агрегат состоит из двух машин с вероятностью безотказной работы каждой Рj = 0,8 и Р2 = 0,7, то вероятность его безотказной работы будет

где Р (АВ) — вероятность одновременного появления со­ бытий;

Рв (Л) — вероятность появления события Л при ус­ ловии, что произошло событие В (так назы­ ваемая условная вероятность).

§ 3. Распределение случайных величин

Основные характеристики надежности имеют значи­ тельный разброс, т. е. они являются случайными величи­ нами, а поэтому при многократном повторении они подчи­ няются определенным статистически устойчивым законо­ мерностям.

Совокупность значений случайных величин, располо­ женных в возрастающем порядке с указанием их вероятно­ стей, называется распределением случайных величин.

В теоретических распределениях возможные значения случайных величин оцениваются вероятностями.

25

из перечисленных значений прерывной случайной вели­ чины-как события, заметим, что эти события образуют полную группу несовместных событий, а следовательно, сумма вероятностей всех возможных значений прерывной случайной величины равна единице:

Распределение прерывной случайной величины может быть представлено в виде таблицы, называемой рядом распределения, или графически — многоугольником распре­ деления (рис. 1).

При графическом представлении по оси абсцисс откла­ дывают значения случайной величины х-п а по оси ординат— вероятности Pt, соответствующие этим значениям.

Р а с п р е д е л е н и е н е п р е р ы в н ы х с л у ч а й ­ н ы х в е л и ч и н . В случае непрерывной случайной величины, которая имеет бесчисленное множество значе­ ний, такая форма закона распределения, как показано на рисунке 1, непригодна. В данном случае пользуются не

примет значение, меньшее какого-либо наперед выбранного

кон) р а с п р е д е л е н и я случайной величины — наибо­ лее универсальная характеристика как прерывных, так и непрерывных случайных величин.

26

нат — значение F (х).

Для дискретной случайной величины график интеграль­ ной функции распределения будет иметь вид ступенчатой кривой (рис. 2). С увеличением числа значений х число сту­ пеней (скачков) будет увеличиваться, а их величина умень­ шаться.

В эмпирических распределениях возможные значения случайных величин оцениваются частотами или частостями, полученными в результате испытаний или опытов.

Следовательно, эмпирическим распределением случай­ ных величин называется совокупность зафиксированных их значений, расположенных в возрастающем порядке, с ука­ занием соответствующих частот или частостей.

Это распределение может быть использовано для на­ хождения закономерностей рассеивания случайных вели­ чин.

На практике при изучении непрерывных случайных ве­ личин их полученные значения делят на интервалы или разряды. После этого подсчитываются частоты не по дей­ ствительным значениям случайной величины, а по разрядам, т. е. мы будем иметь дело не с частотами зафиксированных (наблюденных) значений непрерывной случайной величины, а с частотами их значений, лежащих в границах установ­ ленного разряда или интервала.

В таблице эмпирического распределения непрерывной случайной величины указывают интервалы (разряды) зна­

27

Эмпирическое распределение может быть изображено в виде ступенчатого графика, называемого гистограммой распределения, или в виде ломаной линии (кривой), назы­ ваемой полигоном распределения (рис. 3). Реже пользуются кривой накопленных частостей (накопленной эмпирической кривой распределения), или кумулятой.

При этом в первых двух случаях по оси абсцисс откла­ дывают интервалы полученных по наблюдениям значений случайных величин, а по оси ординат — их частость или частоту.

Высота прямоугольника гистограммы равняется частоте mi (частости Wt) распределения, а основание •— интерва­ лам или разрядам, на которые разделены наблюденные зна­ чения Xi.

При построении гистограмм и эмпирических кривых распределения промежуток, внутри которого заключаются наблюденные значения х;, делят на равные по величине интервалы (разряды).

Функцию распределения непрерывной случайной вели­ чины изображают плавной кривой (рис. 4).

Таким образом, интегральная функция распределения вероятностей может характеризовать как прерывные, так

ления, или плотность распределения непрерывной вели­ чины, есть производная от интегральной функции распре­ деления непрерывной случайной величины:

(5)

28

Для этого необходимо сложить все элементы вероятно­ стей, заключенные в данной площади в интервале от — оо до х, т. е.

F(x)= \ f{x) dx.

1)она является неотрицательной функцией от х, вслед­ ствие того что F (— оо) = 0, так как значение х < — оо — невозможно и / (х) > 0;

2)площадь, ограниченная кривой f (х) и осью абсцисс (интеграл от плотности распределения в бесконечных пре­

делах), равна единице, т. е.

-f СО

^/ (х) dx = 1.

—ОО

При изучении случайных величин часто достаточно знать числовые характеристики распределения случайной вели­ чины, рассмотренные ниже.

§ 4. Характеристики распределения случайных величин

Числовые характеристики, подсчитанные по получен­ ным значениям случайной величины х;, называются стати­ стическими характеристиками. Характеристики, опреде­ ленные по теоретическим законам распределения, называют­ ся параметрами распределения.

Основными статистическими характеристиками случай­ ных величин, изучаемых в теории надежности, служат

29