книги из ГПНТБ / Будин, А. Я. Тонкие подпорные стенки

Решение для Uy можно искать в виде Uy= ^ n {x)e~ %пУ. После выполнения операций, аналогичных проведенным для

При учете зависимостей (127) можно найти окончательно:

оо—%пу

Для решения задачи о напряженно-деформированном со­ стоянии больверков на ползучих основаниях необходимо знать величины Ux и Uy на напорной поверхности полуполосы.

Полагая в выражении (128) у = 0, можно получить

ОО

Ux | . = (qx/Ht])^ [2Ях/(2п+ 1) л] [sin(rc/2#) (2п + 1)].

Уп = 0

121

ции вектора перемещения точек напорной плоскости соот­ ветственно на оси х я у, a t — время), из уравнений (130) и (131) следует, что

Наряду с формулой (133) далее удобно пользоваться упро­ щенным выражением для перемещения точек напорной поверх­ ности полуполосы

дающим близкое совпадение с точным решением.

Для вывода зависимостей, характеризующих общие законо­

мерности работы тонких подпорных стенок на ползучих основа­ ниях, ниже рассмотрен случай взаимодействия упругой кон­ сольной стенки жесткостью EI и высотой Н с грунтовой полупо-

ского расчета для начального момента времени, и внешняя, не­ изменная во времени, активная нагрузка N(x). Исходным усло­

122

вием для описания работы системы служит равенство, отражаю­ щее существование контакта между стенкой и грунтом:

где М * (х, t) — изгибающий момент, действующий в некотором сечении стенки в момент времени t; М*(х, 0) — то же, в началь­ ный момент времени.

Для защемленной консольной стенки при принятом начале координат (см. рис. 66) постоянные интегрирования Си С2, Z?i и D2 равны нулю. Подстановка в соотношение (135) выражений (134), (136) и (137) приводит к интегральному уравнению

*н t

(EI/Нц) JdxJ dx§p(x, t) dt = j dx j [M (x, 0)—M (x, t)\dx. (140)

оx о

Таким образом, в интегральное уравнение, описывающее процесс взаимодействия стенки с грунтом, входят составляющие изгибающих моментов лишь от реактивной нагрузки.

Дважды дифференцируя равенство (140) по х, можно найти

123

Выражения для М(х, i) и М(х, 0) удобно записать, введя

a2 = Hr\/EI.

Дифференцируя далее (144) по x, необходимо иметь в виду, что поскольку в интеграле J (z—x)[p(z, t)—p(z, 0)]6z, перемен­ ная x является параметром, указанная операция представляет собой дифференцирование по параметру.

В результате дифференцирования

-^-\р(х, t)dt= — а2 Г [p(z, t) — p(z, 0)]dz.

Выражение (146) представляет собой известное в математи­ ческой физике уравнение параболического типа, описывающее разнообразные неравновесные процессы, в том числе, например, одномерную теплопроводность. В механике грунтов уравнение

в последующих соотношениях величина Ь опущена.

124

дится к решению уравнения (146) при соответствующих гранич­ ных и начальном условиях. Наличие зависимости для р(х, t) позволяет далее найти распределение в стенке изгибающих мо­ ментов М(х, t), а при необходимости и всех их производных; (перерезывающие силы, прогибы).

В случае, если опорное защемление стенки не является жест­ ким, а обладает податливостью, постоянные интегрирования в (136) и (137), определяемые, как обычно, опорными усло­ виями стенки, не равны нулю. Вводя коэффициент податливо­ сти защемления К, можно записать следующие выражения для смещения у и угла поворота 0 сечения стенки с координатой

у(х, 0) = (1IEI)$dx$M*{x, 0)dx + (l/K){F[p(x, 0)]* +

Подстановка (153), (154) и (134) в (135) приводит к урав­ нению

хН t

(EI/Hvi) §dx J dx[p(x, t) dt = j dx j [M* (x, t) —M* (x, 0)]dx + 0 x 6

+ (l/K)[x{F[p(x, 0] —F [p (x, 0)}}+f[p(x, t)]— f[p(x, 0)]], (155)

заменяющему уравнение (146) в случае податливого опорного защемления стенки.

На основании уравнений (146) и (155) ниже получены зави­ симости для расчета тонких подпорных стенок на ползучих осно­ ваниях на длительную прочность.

125

§ 4. Расчет безанкерных стенок на ползучих основаниях на длительную прочность

Жесткая заделка стенки в подстилающем неползучем грунте.

Здесь первоначально рассмотрен случай, когда податливостью нижнего участка стенки, заглубленного в неползучий грунт, можно пренебречь (рис. 67). Анализ работы жесткозагцемленной стенки позволяет далее перейти к реальной схеме, когда нижний участок стенки, находящийся в подстилающем неползу­ чем грунте, обладает податливостью. Получение расчетных за­ висимостей для безанкерного защемленного больверка сводится к решению уравнения (146) при соответствующих начальных и граничных условиях. Наибольший практический интерес пред­ ставляет нахождение решений, отвечающих начальным эпюрам реактивного давления р(х, 0), используемым в современных ме­ тодах статического расчета больверков [51].

Как известно, в методе Блюма — Ломейера и в последую­ щих его модификациях эпюра р(х, 0) для связного грунта очер­ чивается по трапеции. Поэтому целесообразно получить реше­ ния уравнения (146) для тре­ угольной и прямоугольной на­ чальных эпюр р(х, о), что дает возможность вести расчет при трапецеидальной эпюре путем ее расчленения на прямоуголь­ ную и треугольную составляю­

щие.

При треугольной эпюре

р (х, 0) = рЯ (Я —х), (156)

12 6

ф" (х)/а2ф(х) = ф/ (^)/ф(/) = —р2 приводят к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

где М=АС и N = BC.

Произвольные постоянные М и N, а также коэффициент р определяются из имеющихся начального и граничных условий.

поскольку ИфО и ё~^н ф 0, то з т а р Я = 0, откуда а$Н = пя или $п= пл/аН.

Здесь индекс п при найденном коэффициенте р показывает его зависимость от значения п = ± 1, 2, 3 ... Каждому значению

п отвечает свое решение уравнения (146):

2

Р п (х, t) = N n s \ n a $ nx e ^ n t .

Вследствие линейности и однородности уравнения (146) сумма частных решений также является его решением, т. е.

X sin (пях/Н) dx,

127

из которой после интегрирования

Nn — 2рШ/пл.

Тогда окончательно после подстановки найденного значения Nn в формулу (162)

ОО

X sin (ппх/Н) dx = {2рШ/п) 2 (1/л) е_га2п^/а2на sin (ппх/Н) =

П=1

ОО

= (2рХН/п) 2 ( 1 /п) e -n^ B,t!W\ \ n {ппх/Н). (163)

п=1

Полученный ряд быстро сходится.

Для случая, когда начальная реактивная нагрузка распреде­ лена по закону прямоугольника, т. е. р{х, 0) =р(0) = const, гра­ ничные и начальные условия записываются следующим об­ разом:

Поскольку постоянная М в соотношении (160) по условию (164), как и ранее, равна нулю, остается без изменения и после­

Тогда, по аналогии с изложенным выше,

_о2 ^

Рп (х, t) = Nпе ” sinap„x;

ОООО

На основании условия (166)

ОО

р (0) = 2 Nn sin а$пх.

п—0

128

Поэтому коэффициент ряда Фурье равен

н

Nn = (2/Я) J р (0) sin [(2n + 1) пх!2Н] dx=4p (0)/[(2п + 1) я],

о

Подстановка найденного значения Nn в соотношение (167) дает окончательно

Распространение условия р(х, 0)=р(0) на точку с коорди­ натой х = 0, используемое в методе Блюма — Ломейера и других его модификациях, является допущением. В этой связи пред­ ставляется необходимым произвести проверку устойчивости по­ лученного решения при относительно малом изменении началь­ ного условия (166), или, иными словами, проверить коррект­ ность постановки задачи. Полагая, что интенсивность начального реактивного давления снижается на малом участке длиной | от величины р(0) до нуля в точке х=0, следует принять начальные условия:

р(х 0)= Л р(0)х/^ При

I р (0) при £ < * < # .

Тогда из равенства (167) вытекает

р (0) х/1

=2 sin ар„л\

Р(0) п—О

В таком случае

можно констатировать, что полученное решение является ус­ тойчивым.

Наряду с выражениями (163) и (168) полезно получить упрощенные формулы для расчета безанкерного жесткозащемленного больверка на ползучем основании, более удобные для практического использования. Для этой цели при решении

129

исходного уравнения (140) можно принять упрощающее допуще­ ние о том, что

(где/(0) — значение, которое функция f(t) принимает в началь­ ный момент времени).

Тогда для искомой переменной можно получить выражение вида р(х, t) =\x(x)f(t), которое дает результаты, мало отличаю­ щиеся от получаемых по формулам (163) и (168). В соответст­ вии с принятым допущением уравнение (140) принимает вид

После двукратного интегрирования в левой и правой частях уравнения получено

Полученное соотношение представляет собой дифференци­ альное уравнение с разделяющимися переменными, решение ко­ торого имеет вид:

130