книги из ГПНТБ / Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений

При больших я и т ( я<7) в предположении справедливости ги­ потезы л о удобно^использовать в качестве приближения для распре­ деления случайной величины т ( п - 1) W распределение х2 (я - 1).

Допустим, что все т ранжирований не содержат классов с одина­ ковыми номерами. В этом случае в предположении справедливости ги­ потезы г/0 в LoJ затабулировано точное распределение W для следующих

Пользуясь таблицами точных распределений, или же соответству­ ющими приближениями, можно, задавшись определенным уровнем значимости, построить критическую область для проверки справед­ ливости гипотезы Н0. Если значение статистики W попадет в эту кри­ тическую область, гипотеза Н0 отвергается с заданным уровнем зна-

и Ш Ѵ Л П Г 'Г Т .Г J r

Так, например, при достаточно большом числе экспертов (т-+ оо) и при числе объектов я > 7 мы можем, как указывалось, воспользо­

ваться фактом приближенной X2 («—1) - распределенности статисти­ ки т (я —1)Г. Поэтому нежелательную для нас гипотезу Н0 следует отвергнуть лишь в том случае, если окажется, что т (n— \)W > ХаХ X (я 1), где W подсчитанный по вышеприведенной формуле коэффи­ циент согласованности мнений всех экспертов, а %а(я—1)—100 а%-ная точках -распределения с п - 1 степенями свободы (находится из таблиц по заданной величине уровня значимости критерия а).

После предварительной обработки результатов экспертного ранжирования мьміереходим к выбору функции <p (X), а именно к выбору

вектора Ь — (blt b2, .... Ьр) (в дальнейшем, для удобства изложения, мы будем всюду иметь дело только с линейной аппроксимацией целевой функции). Для наилучшего выбора аппроксимирующей функции мо­

Пусть і} (b) — порядковый номер, приписанный /-му объекту при ис­ пользовании целевой функции фх (X ) со значением векторного пара­ метра, равным Ь. Вычислим коэффициент ранговой корреляции Спир-

2 №к)у + тМ + т(Ь)

Р<*> (&)=!■ ./= 1______________

я3 —3

Здесь d(fk) = \ i<;-k)~ij(b)\, а Т{Ь) - величина (5.2), вычисленная для ранжирования с помощью фх(Х). В качестве оценки для b нужно

При выборе фх (X) могут быть использованы и другие коэффициен­

ты ранговой корреляции, например коэффициент ранговой корреля­ ции т Кендалла, коэффициент конкордации и т. п.

8*

213

Остановимся теперь на других возможных вариантах информации о выходном качестве.

б) Разбиение объектов на классы как результат экспертного опроса.

Пусть т экспертами п объектов разбиты на классы (ЛД*>—число клас­

Для наилучшего выбора вектора коэффициентов Ь можно исполь­ зовать также так называемый «метод голосования», предложенный

Ю. И. Журавлевым (см. также § 3 главы I). При любом е > 0 с по-

р

мощью линейной функции ф2 (X) = 2 Ьі х(/) строится разбиение п

объектов следующим образом. Пусть в разбиениях классы занумерова­

ны и Р\к) і-й класс в k-м экспертном разбиении. Для любого объекта Xj подсчитывается величина

214

m

значения e, b, при которых 2 d(k) минимальна, найдем лучшие

оценки для вектора Ь.

в) Оценка объектов в баллах как результат экспертного опроса

Пусть теперь т экспертами произведена оценка в баллах п объек­ тов. Тогда для оценки вектора b в линейной аппроксимации (X) может быть использован метод наименьших квадратов. А именно,

В этом случае наилучшей оценкой для вектора b является вектор, минимизирующий величину

тп

Этот вектор находится как решение системы линейных уравнений

Если Ъе\к) = (а{к)У , то за оценку метода наименьших квадратов для вектора b берется вектор, минимизирующий величину

і= 1

П р и м е ч а н и е 1. Метод наименьших квадратов, вероятно, может быть использован для нахождения вектора b и в случае ранжи­ рования экспертами п объектов (случай а). При этом, полагая у} =

П

— 2 г’/'А). находится вектор Ь, минимизирующий

215

жировки объектов (случай а) наилучшим способом получения такого единого варианта является приписывание каждому объекту ранга, равного медиане ряда рангов, присвоенных ему всеми экспертами. Получение единого экспертного варианта в случае оценки объектов в баллах (случай е) состоит, как легко понять, в вычислении арифмети­ ческих средних оценок для каждого объекта, правда, лишь после ис­ ключения резко выделяющихся (некомпетентных) экспертных оценок.

4. Некоторые замечания по использованию экспертно-статистического метода

взадаче оптимизации структуры фондов потребления

За м е ч а н и е 1. Смысл и место целевой функции в задаче опти­ мизации структуры потребления. В данном случае целевую функцию

«функцию общественного благосостояния», по нашему мнению, не

следует интерпретировать как некую объективно существующую уни­ версальную характеристику благосостояния общества, но лишь как удобный вспомогательный аппроксимационный инструмент при ре­ шении задачи оптимизации структуры потребления.

При этом все этапы применения описанного здесь формального ап­ парата должны сопровождаться проведением подробнейшего полити­ ческого, экономического, социологического, психологического и биоло­ гического анализа различных аспектов этой сложной комплексной проблемы (при отборе стран — объектов обследования; при отборе входных параметров; при выборе общего вида аппроксимации и т. д.). В этом, как нам кажется, наша точка зрения близка к позиции, сфор­ мулированной в выводах работы [11].

З а м е ч а н и е 2. Требование однородности объектов по неучтен­

в самом широком смысле, ряд важных факторов и переменных остает­ ся при этом за рамками исследования. К таким факторам относятся политические, географические, психологические, историко-этногра­ фические и другие характеристики стран. Поэтому для того, чтобы пред­ лагаемый метод был эффективным, необходимо потребовать, чтобы он применялся лишь к совокупности стран, приблизительно однородных с точки зрения упомянутых выше неучтенных факторов. Во всяком случае, бессмысленно было бы сопоставлять с помощью экспертно­ статистической аппроксимации целевой функции страны различных формаций, скажем, социалистические и капиталистические.

З а м е ч а н и е 3. О выборе входных параметров. Трудности ре­ ализации экспертно-статистического метода в данной задаче.

При выборе входных параметров приходится одновременно считать­ ся с двумя противоречивыми требованиями. С одной стороны, для до­ статочно полной характеристики структуры потребления, ее прогрес­ сивности желательна весьма насыщенная система показателей, отра­ жающих соотношение отдельных частей потребления на разных

216

уровнях агрегации и при различных аспектах классификации. В каче­ стве одного из вариантов такой системы можно предложить, например, следующую (вариант предложен Н. М. Римашевской).

Система показателей макроструктуры фондов потребления страны.

Iу р о в е н ь .

1)Доля потребляемых благ в общем объеме потребления благ и услуг.

2)Доля благ и услуг, потребляемых за счет коллективных фондов об­ щества .

3)Доля благ и услуг, потребление которых Связано со всесторонним развитием личности.

II у р о в е н ь.

о! 3 0ЛЯ продуктов питания в общем объеме потребляемых благ.

2)Доля благ и услуг, направленных на удовлетворение потребно­ стей в образовании, в общем объеме потребления.

3)Доля благ и услуг, направленных на удовлетворение потребностей в культуре и информации, в общем объеме потребления.

4)Доля бесплатного потребления культуры и информации в общем объеме потребляемых этого рода благ и услуг.

5)Доля натурального потребления продуктов питания в общем объеме потребления продуктов питания.

IIIу р о в е н ь.

1)Доля потребления хлеба и хлебобулочных продуктов в общем объе­ ме питания.

2)Доля потребления фруктов в общем объеме питания.

3)Доля расходов на мебель и другие предметы длительного пользова­ ния в общем объеме расходов на жилище.

4)Доля расходов на личный транспорт в общем расходе на транспорт.

5)Доля общественного питания в общем объеме потребления продук­ тов питания.

6)Доля расходов на профилактику в общем объеме расходов на здра­ воохранение.

7) Расход на книги, газеты и журналы в общем расходе на культуру и информацию.

8) Расход на спортивный инвентарь в общих расходах на промышлен­ ные товары.

^Расходы на спорт в общих расходах на спорт, отдых, развлечения.

10)Расход на туризм в общих расходах на спорт, отдых, развле­ чения.

Сдругой стороны, специфика данной задачи такова, что представ­ ляет исследователю скудное количество исследуемых объектов (одно­ родных стран), а потому вынуждает нас ограничиться лишь показате­ лями 1-го уровня и, возможно,’ отдельными (наиболее информатив­ ными, важными) показателями 2-го уровня. Ведь мы не можем обойти ограничения, в соответствии с которым число неизвестных параметров функции <р, (X) не может превосходить числа обследуемых объектов,

аэто накладывает ограничение на размерность р вектора входных пара­ метров. В этом смысле в гораздо более выгодном положении находятся реальные задачи такого же типа, описанные в табл. 5.1.

217

5. Построение целевой функции для оценки мастерства спортсменов.

На примере данных чемпионата мира по хоккею, Москва, 1973 г.

Эту задачу мы решали по заказу Отдела хоккея Комитета по фи­ зической культуре и спорту Совета Министров СССР. Знание целевой функции позволяет в данном случае: 1) производить формализованную оценку мастерства хоккеиста, проявленного им в данном матче или се­ рии матчей, основанную только на знании отдельных числовых пока­ зателей, характеризующих его игру; 2) наиболее целесообразно строить индивидуальные планы тренировок, особое внимание уделяя совер­ шенствованию тех компонент игры, которые вошли в целевую функ­ цию с относительно большими весами и за счет которых, следова­ тельно, можно добиться наиболее существенного прироста в оценках мастерства.

Как и в любой работе такого профиля, в данной работе следует выделить следующие семь основных этапов:

этап 1: постановка задачи; этап 2: предварительный отбор входных параметров;

этап 3: организация экспертных обследований; этап 4: организация службы наблюдений, т. е. съема значений вход­

ных признаков; этап 5: вывод целевой функции (определение ее общего вида и вы­

числение весовых коэффициентов); этап 6: экспериментальная проверка адекватности целевой функ­

ции; этап 7: рабочая эксплуатация целевой функции.

Практически на всех этапах работа проводилась при системати­ ческих контактах и консультациях с представителями «заказчиков», и в первую очередь с Б. А. Майоровым 1.

а) Предварительный отбор входных параметров. Отправляясь от согласованного со специалистами предварительного набора показате­ лей индивидуального мастерства хоккеистов, была составлена и размно­ жена среди экспертов «Анкета-вопросник» со следующим текстом: «Оцените, пожалуйства, исходя из 100-балльной системы оценок, срав­ нительную значимость каждого из нижеприведенных факторов (пока­ зателей качества игры хоккеиста), так или иначе учитываемых при сравнительной характеристике степени мастерства, проявленного игроками в данном соревновании.

Если Вы считаете, что в указанном ниже перечне факторов не уч­ тены какие-либо из существенных, на Ваш взгляд, числовых показате­ лей качества игры хоккеиста, дополните его, пожалуйства, точным описанием смысла этих неучтенных величин».

1 В различных частях и стадиях информационного и математического обеспе­ чения этой большой комплексной работы участвовали также С. С. Шаталин (по­ становка задачи), С. П. Забарннская и В. И. Орлов (программирование на ЭВМ), В. В. Когутовский и Ю. В. Брыкин (организация службы наблюдения), М. Д. Ильменский (непосредственная эксплуатация ЭВМ).

218

В результате статистической обработки таких анкет1 был определен окончательный набор входных параметров. Их перечень см. в табл. 5.5.

б) Организация экспертных обследований. Экспертные оценки ма стерства хоккеистов, участвующих в матче, нам были нужны на двух стадиях: на стадии так называемого «обучения», когда эти оценки ис­ пользуются для такого подбора весовых коэффициентов при отдель­ ных показателях целевой функции, при котором формализованный ме­ тод оценивания дает, грубо говоря, те же самые баллы, что и эксперт­ ный; и на стадии экспериментальной проверки адекватности выведен­ ной целевой функции, когда оценки, полученные с помощью целевой функции, просто сравниваются с соответствующими экспертными оцен­ ками. Соответственно, было два этапа работы экспертов. «Обучение» включало в себя три контрольных матча календаря первенства СССР

февраля 1973 г. (матчи «ЦСКА — Химик», «Крылья Советов — Дина­ мо» и «ЦСКА—Спартак»). На этой стадии эксперты должны отбирать­

чественного хоккея. Экспериментальная проверка адекватности целе­ вой функции производилась на всех 30 матчах первенства мира, на каждом из которых соответствующие анкеты заполнялись членами спе­ циальной бригады экспертов, состоящей, как правило, из 10—^ чело ­ век. Подобная анкета, заполненная одним из экспертов по результа­ там матча второго круга «СССР—ЧССР», представлена ниже.

А Н К Е Т А - В О П Р О С Н И К

Эксперту-специалисту спортивной игры «Хоккей»

Оцените пожалуйства, исходя из 100-балльной системы оценок, сравнительную степень мастерства, проявленного участниками сегод­ няшнего соревновения. При этом Вы можете не оценивать действия всех участников сегодняшней встречи. Однако желательно, чтобы Вы включили в число оцениваемых не менее двенадцати лучших, на Ваш взгляд, хоккеистов данного матча.

1 Среди ответивших на вопросы анкеты были такие признанные авторитеты отечественного и мирового хоккея, как А. И. Чернышев, Б. А. Майоров, Б. П. Кулагин, И. А. Ромишевский.

219

Статистическая обркботка этих анкет — вывод среднего балла каждому участнику матча с предварительным исключением резко выделяющих­ ся экспертных оценок, позволила получить единый экспертный вариант оценки мастерства хоккеистов.

Отметим, что степень согласованности мнений всех экспертов отно­ сительно ранжирования участников матчей оказалась, как правило, весьма высокой: парные коэффициенты ранговой корреляции Спирмэна были на уровне 0,7-—0,9, а коэффициент конкордации Кендалла — порядка 0,5 ~ 0,7 (но не ниже чем 0,35), и всегда «с запасом» выдер­ живал статистическую проверку на значимое отличие от нуля, см. п. 3 настоящего параграфа.

в) Сбор статистической информации и построение целевой функ ции. И на первых трех контрольных матчах первенства СССР, и на всех матчах первенства мира служба наблюдения выдавала нам, в.конеч­ ном счете, информацию по форме, пример которой (на результатах матча второго круга «ФРГ — Польша») приведен в табл. 5.4.

Использование моделей и методов, описанных в п. 3 (в) настоящего параграфа и основанных на информации, содержащейся в анкете и в табл. 5.4, позволило получить в результате соответствующей статисти­ ческой обработки данных по контрольным матчам три варианта линей­ ных аппроксимаций целевых функций1:

— вариант целевой функции, оценивающей индивидуальное мастер­ ство защитника:

1 Г з а щ ( г ( І ) , ..., х<11>) = 1 0 + 4 х < 1 > + х < 2 > + 4 ;е < 3 ) _ | _ * ( 4 ) +

+x<5>+ 0,2x<6>+3л:(8>+х<3>+х<10>;

—вариант целевой функции, оценивающей индивидуальное мастер­ ство нападающего:

+x<5>+0,2x<6>+ x<8> +x<9>+ 3*<I0>;

—вариант целевой функции, оценивающей универсальное мастер­ ство хоккеиста, т. е. позволяющей сравнивать между собой защитников

инападающих:

№(*<», ..., х(11)) = 15 + бх(') -Ь х(2) -f-2x(3>-|-x<4>-f-0,5x<5>+

+ 0,2х<6>+ 4х<8>+2х<9>+х<10>.

Отметим, что систематический пересчет весовых коэффициентов по накапливающимся итогам матчей чемпионата мира выявил факт относительной стабилизации значений весовых коэффициентов, что дает основание надеяться на содержательность и объективность полу-

1 В системе наблюдений был упущен фактор х^7\ поэтому он временно вы­ пал из нашего дальнейшего рассмотрения. Весовые коэффициенты проходили стадию уточнения и на первых мачтах чемпионата мира. И наконец, в рамках линейных аппроксимаций значения целевых функций в ряде случаев, напри­ мер в матчах, закончившихся с разницей в 12 и более шайб, могут превышать максимально допустимую оценку 100 баллов. В этих редких случаях мы доопре­ деляли целевую функцию значениями, равными 99 баллам.

220

—

П р и м е ч а н и е . С о д е р ж а н и е т а б л и ц ы к а к н е и м е ю щ е е п р и н ц и п и а л ь н о г о з н а ч е н и я в о п и с а н и и с у щ н о с т и м е т о д а д а н о в с о к р а щ е н н о м в и д е .

ченного с помощью этих целевых функций формализованного метода оценивания мастерства хоккеистов. Последующая экспериментальная проверка оправдала эти надежды.

г) Экспериментальная проверка и рабочая эксплуатация полученны целевых функций. Тридцатикратное сопоставление экспертной и форма­ лизованной (т. е. произведенной с помощью целевых функций) оценок мастерства хоккеистов на матчах чемпионата мира, так же как и тща­ тельный профессиональный анализ накопленного итога показал устой­ чивую обоснованность и профессиональную глубину выводов, полу­ ченных с помощью целевых функций.

В табл. 5.6 приведен накопленный итог чемпионата по показате­ лям индивидуальных действий двенадцати лучших защитников и двад­ цати лучших нападающих, определенных с помощью целевых функций

нападающего, так же как и состав символической сборной мира, прак­ тически совпали с мнением специальных жюри чемпионата и прессы1.

1 В символическую сборную, названную в результате специального опроса журналистов, вместо Васильева вошел Сальминг (Швеция), хотя директоратом ЛИГХ Васильев официально провозглашен лучшим защитником чемпионата!

221