книги из ГПНТБ / Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны

W(p) =

В{р)

ь* Во (р)

kv

(-К8).

А(р)

р'“Л (р)

рir^oiPl

Для системы с первым порядком

астатнзма (v = l) коэффи­

циент усиления представляет

собой отношение установившейся

скорости изменения выходной

величины к постоянному по вели­

чине входному сигналу и называется

коэффициентом усиления

по скорости

cncicMni будет

н 1 0 = а (О-

системы

Передаточная функция разомкнутой

U (/>) =

(р) W, (/>) Г , (Р)

"■ 4 (р)

IV's (р) Г , (Р) -

-В.-(/ ’±

г

н (р)

Л (/’)

= ________ M i ± 1 \ Р 1 _________ ,

(., 9)■

/-'(1 -г

Т„р){ \ -

7„р)(1 -

7ЛВ/Т)

'

где kz, — А’ст /сфд kk йЭМУ k -щ Аре1 — коэффициент

усиления

разомкнутой

системы. Индекс v для /г обозначает, что

•<= 1

и АС является астатической

первого порядка.

В (р) = kv (1 -г- Т1 рУ,

Вп(/>) -

1

+ Г, />;

Л ( р ) = р (1 +

7"о/т)(1 + Тл р)(\ + 7'дВ р)\

.40 (/т)=(1-г 7’2р)(1 + 7'дЬр)(14-7я/т).

Уравнение

разомкнутой

системы

в

соответствии с выражением

(4.5)

при f ( t ) = 0.

или

-4 (р) 5 (р) = В(р)Н(р)

ke ( I - Тх р) н (Ру

Р (1 + Ъ р)( 1 + Г* р )(1 + Гдв р) $ (р) =

[7',7’я7’д0р<-)-(7"лГя-г ТСд

jj-f- 7'я 7'дв) Р3 + { 7, -у Т„ 4- Т’дц) рJ +/>] 3(а )=

=

(k1+ k l Tlp)H(p).

Обозначим

« 4 = ГгГдГдц; (73 = 7j Г,, +

+ ГяГдВ; а2 = Т2 + Тя + 7^B; й: = Т>

by^rkiT-i,

b0= k0,

Тогда

уравнение

запишется

(Й.Щ4+ Й3Р3 + а2р - ~ а гр) 3( р) = ( М Т М Q(p)

или в дифференциальной

форме

d'i

. <7Н

(14 .

(14 .

rf*3

.

tf4' (Н1

-а*!т ~+а* ч ^

+ «1-^ г ~ ** ~ж + й°е-

В замкнутой системе (рис.

4.6)

непрерывно решается урав­

нение замыкания

s (7) -

л (0 — у (t).

Запишем его относительно изображений по Лапласу:

г(р) = х(р) — у(р).

Полученное уравнение подставим в уравнение

разомкнутой

системы

(4.6):

(4.10)

[А{р) + В(р)\ у(р) =

В(р)х{р) +

Bf (p)f(p),

п

гп

п

где Л (р)-\-В (р)='£1акрк-f

bipi—'^\ с,.рк = С(р)—характеристи-

I)

о

И

ческпи

полином,

а

С (р )= 0 — характеристическое

уравнение

_амкнутоп

системы.

как суммы

коэффи­

Здесь

коэффициенты ск определяются

циентов ак, Ь, при одинаковых

степенях р и соответствующих

им индексах (k-i):

с0 ~ o.0-rb0.

c^ a .-yb ,.

I а„ при а ' - in,

С =

при п--т.

л

(

Тогда

уравнение замкнутой

системы

относительно

изобра­

жений будет иметь вид

(4.11)

C(p)u(p)^B(p)x{p)-:rBf {p)f(p).

Разделив уравнение

(4.11)

на полином С(р), получим дру­

гую форму записи уравнения замкнутой системы:

где

V (р) = Ф (р) х (р) -

Ф, (р) /(/»),

(л •1-)

v ip)

В (р)

,

. . .

=

Ф (д) = —; ■:

С(р)

— передаточная функция замкну­

то?)

/шо

гой системы по входному воз­

действию;

(4.13)

ф, (р ) = У {р)

=

В / Ш — передаточная

функция

замкну­

т

л =0

С (Р)

той системы

по возмущающему

воздействию.

Для рассматриваемого примера (см. рис. 4.1) в соответствии с выраже­

нием (4.13) передаточная

функция

замкнутой системы

по входному воздей­

ствию

В (р )

________________kv (l + Tjp)_________________

Р(д) =

а (Р)

С (р)

p(.l + T2P)(\ + l'nP)(l + Tjm P)+kv(\ + T l p)

Уравнение замкнутой

системы

в операторной форме

(с*Р* + с3р34- с«рп- -f схр + с0)$(р) = (Ь1р + *о)«(Р).

где с4 = а4. с3 = а3, с. — а«, <д =

аг -f Ьг, с0= Ь0.

Уравнение замкнутой системы в дифференциальной форме

с1*1

/Р3

с11

,

,

da

'

Ci~HF +CslW

+c'1~drr +Ci ~pF + c° ~

h И Г ‘ V

Поскольку в замкнутой

системе

ставится

задача

определе­

ния закона изменения

не только у (О- но и e(t) при

внешних

воздействиях x(t), f(t),

то наряду с

передаточными функциями

точная функция замкнутой системы по ошибке.

Для вывода уравнения и передаточной

функции по ошибке,

связывающих ошибку е (0 с внешними

воздействиями x(t)

и

/( О , воспользуемся уравнением разомкнутой системы (4.5)

и

уравнением замыкания:

С (р) s (/>) = А {р) х (р) — В, (p)f{p).

(4.14)

(<о) — Е (р) х {р) + Еf (p)f(p ),

(4.15)

*(р) 1 =

—В/(р)

той системы по ошибке: (4.16)

передаточная функция ошибки

■ЕЛр) = /(/•>) .,-=о

С (Р)

по возмущающему воздейст­

вию.

передаточная функция замкнутой системы по ошибке

^

в (р)

А (р)

р (1 +

+

7дВ/>)

Е { р ) =

~°Тр ) = ~С(р)

“ р ( I■+ Ttp)(\ + Тлр){ 1 + Г д вр) + к,, ( 1 + 7 , р) ■

Уравнение замкнутой системы по ошибке

(CiP* +

сарг + с2р 2 -г С\Р + Со) е iP) = (ai Р1 +

a3j°3 +

« 2 Р2 + ^iP) “ (/>)•

Уравнение замкнутой системы по ошибке в дифференциальной форме

</>0

rf*0

rf0

rf4a

r/sa(t3a

,

</aa .

f/a

‘"Л*‘ +Са_5/з'+е2'лГ +Cl A/Г +C°B Й4^г+Д3 cit*

В нормально

функционирующей

системе ошибка е(£)

мала

и поэтому при/(£) = 0

у(0~л:(^)- Это значит, что выполняется

основная

функция автоматической

системы — изменение

регу­

лируемой

(выходной)

величины y{t)

по

закону

входного

воз­

действия

x(t).

Итак,

при воздействии на систему только входного воздей­

ствия x(t) система

характеризуется

тремя

передаточными

функциями: W(p), Ф(р), Е{р).

Эти передаточные функции, неизменные для

данной струк­

В (р) =

___ Л ( / ? ) _

1

1

(4.18)

.4 (р)+В(р)

, , В(р)

- 1 - W ( P )

1 - Е ( р ) = 1 -

А(р)

В(р)___

Ф(р). (4.19)

Л(р)+В(р)

А( р)+В{ р)

СИСТЕМ

При исследовании динамических свойств АС

методами ча­

стотных характеристик могут быть использованы

амплитудно­

фазовая (АФХ), амплитудно-частотная (АЧХ),

фазо-частот­

странение получили

логарифмические

амплитудно-частотная

характеристика

(ЛАЧХ) и

фазо-частотная характеристика

(ЛФЧХ) разомкнутой системы.

Частотные характеристики

используются главным образом

при графическом

и

экспериментальном

методах

исследова­

ния АС. Заключение

о некоторых свойствах АС

может быть

АФХ : W (ум) = П

(ум);

i

1

АЧХ: й 7 ( в )= П

W i

i■=1

(4.20)

п

ЛАЧХ: Мм) -

£

Мм);

i

1

/(

ФЧХ, ЛФЧХ : ? (м) =

Е в, (ш)

;-■1

Вид частотной характеристики АС зависит от порядка аста-

тизма системы.

Частотные характеристики статических систем (v = 0). В ка­

ведена к одноконтурному виду и имеет в прямой цепи п

инер­

ционных

звеньев

и единичную

главную обратную

связь.

В разомкнутом состоянии АС имеет

передаточную функцию

\¥(р) =

Itо

’

(4.21)

{ l - T lP){l + T2p)...(l+TnP)

где k0 =

kL, k2,

...,

kn — коэффициент усиления

разомкнутой

Тг, Т.,,

системы;

.... Т „— постоянные времени звеньеЕ.

Щусо)

k0

=

(у'со) 1Г/,(Усо)...117;(у'сй) =

(1 + У 'с о 7 \)( 1 -К /со 7 ’1) ...( 1 - г усоГ„)

=

[ 1 ^

(to)W2 (со) . . . W n(со)] е

f? ’ 1

?i +

+

(4.22)

W (со) =

(соW) i (с о )...

(со) =

V 1+ (7\со)*Т^1-+(7»2 ... У l + l W

(4.23)

<р(со) = ?! (со) + ?2 (со) + ... 4- ®„ (со) =

=

— arctgcorx — arctgcoT2 — ... — arctgco?n.

(4.24)

мы,

На рис. 4.7

показаны АФХ, АЧХ и ФЧХ разомкнутой систе­

состоящей

из инерционных

звеньев

(п= 3).

Конец векто­

ра

И7(усо)

при со = 0

будет находиться в точке,

расположенной

на вещественной оси на расстоянии,

равном k0 от начала коор­

динат W (усо)I

= k 0e' .

Вращение вектора

W (ja)

при

измене-

-|а>=0

будет

происходить по ходу часовой

стрелки.

нии со от 0 до

о

При этом значение модуля W (со) уменьшается,

а значение ср(со)

растет. Так как каждое инерционное звено при си=&'

вносит

фазовый

сдвиг,

равный —90°, то результирующий

поворот

вектора W (усо)

при

этом будет

равен —п

где п — число

инерционных

звеньев.

... - 2 0 1 g ] /l +

( 7 > ) 2;

(4.25)

Логарифмическая фазо-частотная

характеристика

аналитиче­

ски выражается так же,

как и обычная ФЧХ (4.24).

Построение

ЛЧХ системы в соответствии с

выражениями (4.24

и 4.25) мо­

жет быть произведено

путем

алгебраического суммирования

разомкнутой

системы может

быть

построена

более

простым

путем,

а именно — непосредственно

по

виду

передаточной

функции \К (р). Эта методика

применительно

к

астатической

АС подробно

рассмотрена

ниже.

На рис.

4.8

показана ЛАЧХ

для статической разомкнутой системы.

системы

представляет

До

частоты соС]

ЛАЧХ

статической

собой

асимптоту с нулевым

наклоном,

проходящим

на уровне

20 lg k0, что

соответствует

ЛАЧХ

усилительных

звеньев АС.

После каждой частоты сопряжения

наклон асимптот изменяет­

ся на — 20 дб/дек,

что обусловлено

наличием

инерционных

звеньев.

— -----^— aretgco7\ — arctgco7\, —

... — arctgcoT",,;

(4.30)

L (со) =

20 lg W (со) = 20 Ig k.v-

20 lg (со) -

20 Ig \ + (co7/)2 -

- 20 !g]."1-Ь(соГ2)2 -

... - 20 lg 1'1~(соГ„)2.

(4.31)

АФХ.

АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы

с астатизмом пер­

вого порядка при п= 3 изображены на рис.

4.10.