книги из ГПНТБ / Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны

Г л а в а 4

УРАВНЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 4.1. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

При анализе автоматических систем ставится задача опреде­

Линейные стационарные системы непрерывного действия описываются линейными (линеаризованными) дифференциаль­ ными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Так, дифференциальное уравнение замкнутой системы в общем случае имеет вид:

€0

Современная теория управления для описания динамиче­ ских свойств автоматических систем, кроме уравнений движе­ ния (динамики), широко использует более экономичные в прак­ тическом применении методы: передаточных функций, времен­ ных и' частотных характеристйк.

Па этапе аналитического исследования систем более рас­ пространенным является метод передаточных функций.

При графических и экспериментальных исследованиях АС более удобными являются методы временных и частотных ха­ рактеристик.

Математическое описание АС осуществляется по одному из следующих способов.

Припервом способе по принципиальной или функциональ­ ной схеме АС составляются дифференциальные уравнения отдельных ее элементов и уравнение связи между входом и вы­ ходом системы. Полученную систему уравнений решают отно­ сительно переменных у (t) и x(t) и таким образом находят уравнение системы. Передаточная функция замкнутой системы

точной функцией по входному воздействию. Аналогично может

передаточным функциям находят все остальные динамические характеристики АС.

Второй способ математического описания АС заключается

вследующем:

—па принципиальной или функциональной схеме выделяют

элементы АС и составляют их дифференциальные уравнения;

—используя эти уравнения, элементы АС представляют в виде типовых динамических звеньев;

—путем соединения типовых динамических звеньев в цепи,

всоответствии с соединениями элементов на принципиальной схеме, получают так называемую структурную схему АС;

fil

— с помощью структурной схемы определяют уравнение и передаточную функцию разомкнутой, замкнутой системы и замкнутой системы по ошибке по методике, рассмотренной ниже;

— на основании передаточных функций АС и уравнений связи между ними находят ее временные и частотные характе­ ристики.

Этот способ, основанный на исследовании структурной схе­ мы системы, является основным при исследовании линейных систем.

§ 4.2. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

При исследовании автоматических систем, кроме принци­ пиальных и функциональных схем, отображающих инженерно­ конструктивное решение задачи управления, широко использу­ ются структурные схемы.

Представление автоматических систем в виде структурных схем дает возможность создать общие методы анализа и расче­ та всех систем, независимо от назначения, принципа действия и конструктивных особенностей их функциональных элементов.

•В структурных схемах звенья системы изображаются прямо­ угольниками с указанием направления передачи воздействий согласно связям в системе. В прямоугольники вписываются передаточные функции соответствующих звеньев. Стрелками показываются также внешние и внутренние воздействия, прило­ женные в отдельных точках системы.

Структурная схема используется для определения уравне­ ний и динамических характеристик АС и представляет собой схему автоматической системы, элементы которой представлены

62

нец другой цепи дополнительной связи, т. е. местные обратные связи перекрещиваются. На рис. 4.4 'показана схема многокон­ турной системы с перекрещивающимися связями. Она содер­ жит, помимо главной, две перекрещивающиеся обратные связи.

Методика .составления передаточной функции многоконтур­ ной схемы автоматической системы состоит в следующем:

—структурная схема системы с перекрещивающимися свя­ зями приводится к схеме с простыми связями по правилам пре­ образования сгрхктурных схем;

—структурная схема с простыми связями преобразуется в одноконтурную, а затем — к стандартному виду с помощью правил определения передаточных функций соединений звеньев

(3.52; 3.54; 3.59; 3.63).

Рис. 4.4

Правила преобразования структурных схем основываются на условии сохранения неизменными сигналов на выходе исход­ ных и эквивалентных им динамических блоков. Например, для перемещения точки съема воздействия с входа динамического блока с W^p) на его выход (рис. 4.5) необходимо включить согласующее звено с передаточной функцией:

1

W z (p) =

и/, (/?)■

64

Доказательство. Для исходной схемы

х\ (Р) = (Р)>

а дли эквивалентной

х\{р) = Х2{ р) W., {р) = х , {р) W j (р ) И7, (р ).

Мз последнего уравнения следует, что для соблюдения ра­ венства х'[(р) = х[(р) необходимо выполнить условие

Некоторые правила преобразования структурных схем при­ ведены в табл. 4.i.

Методику составления передаточной' функции чногокоитурной системы проиллюстрируем на примере рис. 4.4. Для свертывания схемы воспользуем­

ся правилом перемещения точки съема воздействия со входа динамического блока, например блока с Ws(p), на его выход. В соответствии с этим прави­

лом необходимо включить согласующее звено с передаточной функцией, обратной W3 (р). Применяя далее к полученной трехконтурной схеме с про­ стыми связями правила определения передаточных функций соединений звеньев для отдельных участков схемы, находим:

1 + Wt (P) Wa (P) W, (P)+ Wi (p) W72 (Pi Wt (Pi •

Рассмотренная методика составления передаточных функ­ ций, кроме приведения схем АС к стандартному виду, позво­ ляет также любое внешнее воздействие пересчитать ко входу системы.

Т г б л и ц а А . 1

Правила преобразования структурных схем

В результате свертывания многоконтурной структурном схе­ мы можно определить передаточные функции АС, которые используются затем для определения уравнений динамики и других динамических характеристик системы.

Вывод передаточных функций и уравнений является первым этапом исследования автоматических систем.

66

§ 4.3 УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Для удобства выявления динамических свойств системы рассматриваются отдельно уравнения и передаточные функции разомкнутой, замкнутой систем и замкнутой системы по ошибке.

Под разомкнутой системой понимается замкнутая в рабо­ чем состоянии система, у которой для анализа ее динамических свойств разомкнута цепь главной обратной связи. Отдельное рассмотрение передаточной функции и уравнения системы в разомкнутом состоянии вызвано относительной простотой их получения и возможностью легкого перехода к передаточным

в дальнейшем e{t). При наличии только одного возмущающего воздействия уравнение движения системы связывает перемен­ ные у (0> s (t) и f(t).

Пусть известно дифференциальное уравнение разомкнутой системы:.

или

67

После преобразования этого уравнения по Лапласу при ну­ левых начальных условиях получим уравнение движения АС относительно изоб ражении

(anp"Jr al,^ p ',-'+...-\r a.lpJra0)y{p) = {bmpm-[-b,n- ]pm~]-

Тогда уравнение разомкнутой системы можно записать:

Здесь В{р), Bf ( р ) — соответственно полиномы входного и возмущающего воздействии; А(р) — характеристический поли­ ном разомкнутой системы; А (р) = 0 — характеристическое уравнение разомкнутой системы.

Разделим обе части уравнения (4.5) на характеристический полином разомкнутой системы А(р). Тогда это уравнение пре­ образуется к виду

нутой системы по возмуща­ ющему воздействию.

Разомкнутая система, имеющая п внешних воздействий, мо­ жет иметь и передаточных функций по каждому из этих воздей­ ствии.

Структура этих передаточных функций будет зависеть от точки приложения внешних воздействий.

Таким образом, если система задана и известны ее парамет­ ры, то можно определить уравнение и передаточные функции разомкнутой системы.

68