книги из ГПНТБ / Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны

П р и м е р ы.

Д?а [я] = Да [/!+ 1] — Да [ я ] = а — а = 0.

ft-я разность:

Д* х [я] = е п {е —1)*.

Соотношение между решетчатыми функциями и их разно­ стями различных порядков представляет собой разностное уравнение, являющееся аналогом дифференциального урав­ нения.

Р и с . 10.14

Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициен­ тами, связывающее две решетчатые функции и их разности, может быть записано в виде:

ак А ку [ « ] + « ; _ , у А[п6\- +1 . . .а+\ Ду [п\+а'йу [п\ =

= 6'. А' д: [/г]+6-_, А'"1х [/г]-j- •.. Ь Ь[ Ах [п\-\-Ь'йх \п\. (10.13)

Заменяя в разностном уравнении (10.13) разности значе­ ниями решетчатой функции, получим другую, более удобную, форму записи разностного уравнения:

206

циальных уравнений. Наиболее удобным является операторный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.

Дискретные преобразования Лапласа

Переход от непрерывной функции x(t) к решетчатой х[пТ] осуществляется, как показано выше, заменой аргумента t на аргумент пТ. При использовании в решетчатых функциях х[п\

пТ

относительного аргумента п = jr- возможен переход от непре­

та t на аргумент п.

Переход от оригинала решетчатой функции х[п] к ее изобра­

В последнем выражении интеграл с бесконечным пределом соответствует бесконечной сумме (10.15)-, непрерывная пере-

207

Изображение решетчатой функции х* (<?) (10.15) представ­ ляет собой бесконечный ряд (сумму изображений отдельных импульсов).

Так же как и для обычного преобразования Лапласа, не для всяких решетчатых функций существует изображение.

Для того, чтобы изображение решетчатой функции суще­ ствовало, необходимо, чтобы ряд (10.15) был сходящимся.

В качестве примера применения дискретного преобразования Лапласа найдем изображение некоторых решетчатых функции.

1. Для единичной ступенчатой решетчатой функции, изображение в соот­ ветствии с (10.15) равно:

■** (?) = D (1 [ я ] } = | Ц - . еч—1

2. Экспоненциальная решетчатая функция х[л] — еа".

Ее изображение в соответствии с (10.15) будет

Как и для непрерывных функций, составляются таблицы соответствия решетчатых функций и их изображений (см.

табл. 10.2).

Прямое D -преобразование (10.15) решает задачу определе­ ния изображения х*(<7) по оригиналу х[п]. Решение обратной задачи определения оригиналов по их изображениям называет­ ся обратным D~'-преобразованием или просто D~l -преобра­ зованием. В соответствии с этим

Обратное 0 -1-преобразование, так же как и прямое D-преоб­ разование, может производиться по таблицам (см. табл. 10.2).

Дискретное преобразование Лапласа различных функций зависит от еч. Для упрощения записей вводят новую перемен-

208

to

о

(О

по таблицам (см. табл. 10.2).

Кроме D и Z -преобразований оригиналов решетчатых функ­

функций в изображения соответствующих им решетчатых функ­ ций и обратное их преобразование.

Чтобы перейти от изображения непрерывной функции х(р) к изображению соответствующей ей решетчатой функции х * (q),

X (РУ= j X(f) е pt dt — § х (Tt) e~pTr d (tT) -

ОО-

Таким образом, для получения изображения x(q) непрерыв­ ной функции x(t) в относительном масштабе времени необхо-

210

дймо в изображении х(р) функции x ( i ) аргумент р заменить

на -|г, а само изображение умножить на -^г.

После приведения изображения непрерывной функции к относительному масштабу времени можно непосредственно перейти от изображения непрерывной функции к изображению решетчатой функции с помощью так называемого взаимного Пд-преобразования или ZB-преобразования:

Прямые и обратные взаимные преобразования (10.22), (10.23), (10.24) и (10.25) обычно производятся с помощью таб­ лиц (см. табл. 10.2).

На рис. 10.16 приведена схема возможных преобразований непрерывных и решетчатых функций и их изображений.

§ 10.5. УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Динамические свойства НАС, так же как и непрерывной си­ стемы, описываются при помощи уравнений и передаточных функций разомкнутой системы, замкнутой системы и замкнутой системы по ошибке.

Уравнения системы могут быть записаны относительно ори­ гиналов (аналоги дифференциальных уравнений непрерывной системы) и относительно изображений (аналоги уравнений непрерывной системы в операторной форме). При анализе ИАС наибольшее применение находят уравнения системы относитель­ но изображений, которые и рассматриваются ниже.

Составление уравнений и передаточных функций осущест­ вляется по эквивалентной схеме ИАС (рис. 10.17). Для получе­ ния схемы разомкнутой системы необходимо разомкнуть глав­

ную обратную связь. В этом случае входное воздействие х (I)

равно сигналу ошибки е(7), которому соответствует. решетча­ тая функция е[/г].

212

x (t)"€ (i) _L E*(t) ПНЧ •s(t)

Рис. 10.17

Уравнение разомкнутой системы ИАС относительно изобра­ жений в виде D -преобразования аналогично подобному уравне­ нию для непрерывных систем:

где у * (q )= D \у [/г]) — изображение выходного воздействия; 117*(д) — передаточная функция разомкнутой ИАС;

s*(p) = D {s [/г|) — изображение сигнала ошибки.

Передаточная функция разомкнутой ИАС может быть полу­ чена из уравнения разомкнутой системы (10.26), а также по определению D -преобразования (10.15)

Таким образом, передаточная функция импульсной автома­ тической системы есть D -преобразование импульсной характе­ ристики приведенной непрерывной части.

Для того, чтобы найти передаточную функцию разомкнутой системы, следует определить передаточную функцию ПНЧ Ц7(р), затем по таблице D-преобразования (табл. 10.2) им­ пульсную характеристику g(t) — L 1\W (р)], перевести ее к виду g l«| = g'[^]|< и, наконец, с помощью таблицы D-преобра­

зования (приложение 1) определить значение W* {q) — D \g\n}\. Передаточную функцию разомкнутой системы можно опре­ делить также при помощи £>в-преобразования. Для этого пере­ даточную функцию ПНЧ W (р) следует привести к .относитель­ ному масштабу времени W (р) (10.21) и по таблице Дя-преоб-

разования (табл. 10.2) определить

W*{g)=DB\W{q)\. .(10.28)

Очевидно, что второй путь проще, так как здесь требуется использовать таблицы преобразований только один раз.

213

Уравнение и передаточная функция разомкнутой импульс­ ной системы могут быть получены также в виде Z -нреобразова- нин. Для этого достаточно в конечный результат или выраже­ ния, входящие в формулы (10.26), (10.27), (10.28) сделать под­ становку z = e ‘‘ \

автосопровождсппя цели по дальности (автодальпомера) с астатнзмом пер­ вого порядка (рис. 10.7).

скорости

Для определения W* (q) воспользуемся уравнением (10.22):

W*(q) = D B [W(q)).

Для вхождения в таблицу /^-преобразования воспользуемся теоремой

операционного исчисления об умножении на 117* (г/), согласно которой

214

Найдем уравнение и передаточную функцию замкнутой ИЛС.

Для системы с главной отрицательной обратной связью (рис. 10.18) справедливо соотношение

являющееся уравнением замыкания ИАС в операторной форме.

Решив полученное уравнение относительно y*(q), находим:

Выражение (10.34), связывающее выходное и входное воз­ действия замкнутой импульсной системы, является ее уравне­ нием относительно D -преобразования.

Выражение

является передаточной функцией замкнутой ИАС.

Из уравнения (10.35) видно, что передаточная функция замкнутой ИАС Ф*(q) связана с передаточной функцией разомкнутой системы W* ((/) таким же соотношением, как и соответствующие функции для непрерывных систем.

215