книги из ГПНТБ / Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны

ответственно.

Переменные параметры АС и коэффициенты уравнения (9.1) могут задаваться либо графиками, отображающими экспери­ ментально установленные законы их изменения, либо аналити­ чески, например в форме некоторого полинома от V.

ми элементами в АС обычно являются объекты регулирования. Типичными примерами объектов с переменными параметрами

Движение ракеты описывается дифференциальными уравнениями, содер­ жащими изменяющиеся во времени параметры, так как масса и момент инерции ракеты изменяются со временем по мере сгорания топлива, а момент демпфирования, коэффициент статической устойчивости и некоторые другие параметры — в зависимости от изменений условий полета (высоты, скорости).

Уравнение движения ракеты, например при отклонении ее от заданного курса, в первом приближении имеет вид:

меняться во времени.

Примерами систем, у которых один или несколько парамет­ ров представляют собой некоторые функции времени, являются различные виды амплитудных и фазовых модуляторов, усили­ тели с переменной полосой пропускания, цепи переменной за­ держки и т. д.

176

Процессы, протекающие в системах с переменными пара­ метрами, могут иметь качественные особенности, не встреча­ ющиеся в обычных линейных системах автоматического управ­ ления. Такой особенностью, например, может быть отсутствие установившегося или стационарного режима (дли некоторых видов зависимости коэффициентов от времени).

Диапазон и скорость изменения переменных параметров системы в значительной мере влияют на степень сложности этой задачи. Переменные параметры системы могут быть мед­ ленно меняющимися или быстро меняющимися функциями времени.

АС с медленно меняющимися параметрами характеризуют­ ся тем, что изменение параметров за период переходного про­ цесса не является существенным. При приближенных исследо­ ваниях такие АС могут рассматриваться как системы с постоян­ ными («замороженными») коэффициентами или как квазистационарные системы.

«Замороженные» параметры определяются в этом случае путем фиксации мгновенных значений переменных параметров, которые далее рассматриваются как постоянные в течение всего времени исследования переходного процесса.

Системы с медленно меняющимися параметрами имеют сла­ бо выраженную зависимость переходного процесса от характе­ ристики переменного параметра. Иными словами, изменение параметров в этих случаях не меняет основного характера пере­ ходного процесса системы. Но эта зависимость обычно сказы­ вается в изменении со временем «установившегося» значения переходного процесса в системе. Термин «установившееся» зна­ чение употребляется здесь в том смысле, что переходные про­ цессы, вызванные внешними воздействиями, практически уже закончились, однако выходная величина может продолжать

переходный процесс в АС с постоянными параметрами.

В период времени t ^T «переходные» процессы системы с постоянными параметрами (рис. 9.2) и переменными парамет­ рами (рис. 9.1) мало отличаются друг от друга. Однако, при />7" система с переменными медленно меняющимися парамет­ рами ведет себя принципиально иначе. В первом случае выход­ ная величина у (7) при 7>Г будет переменной в соответствии с законом изменения во времени переменного параметра, во втором же случае у (/) постоянна (считаем системы устойчи­ выми) .

На практике приходится встречаться и с АС, имеющими существенно переменные параметры, которые коренным обра­ зом могут изменять динамические свойства системы по сравне­

са у(/) на установившийся и неустановившийся теряет смысл,

178

й в определенных случаях переменность параметров может, привести к потере устойчивости системы.

Если собственная частота колебаний системы находится в определенном отношении с частотой изменения переменного параметра, то система «резонирует», ее отклонение накапли­ вается, и она удаляется за каждый период колебания от того состояния, которое имело бы место в случае «замораживания» коэффициентов системы (параметрический резонанс).

§ 9.2. МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Уравнение АС с переменными параметрами обычно состав­ ляется с помощью метода подстановки, т. е. исключением из уравнения всех переменных, кроме входного и выходного воз­ действий. При исключении промежуточных переменных в про­ цессе подстановки приходится дифференцировать не только переменные, по и коэффициенты. Методику составления диффе­ ренциального уравнения АС рассмотрим на примере (рис. 9.3).

Рис.-9.3

Предположим, что АС состоит из линейного динамического блока 1 с постоянными коэффициентами и линейного динами­ ческого блока 2 с переменными коэффициентами, уравнения которых соответственно будут

Найдем связь между выходной величиной системы у (t) и сигналом ошибки e(t). Для этого продифференцируем выраже­ ние (9.5) по времени

Принимая во внимание, что г (t) = x(t) — у (t), найдем урав­ нение замкнутой системы:

Из приведенного примера видно, что из-за необходимости дифференцирования не только регулируемых величин, но и коэффициентов, уравнение системы значительно усложняется.

Обобщая полученный результат, можем написать для АС с переменными параметрами уравнение разомкнутой системы:

иуравнение замкнутой системы

пт

где с{ (0 = а1(0 + М0-

180

Если связи между звеньями с переменными коэффициента­ ми достаточно сложны и свертывание системы дифференциаль­ ных уравнении в одно уравнение может оказаться затрудни­ тельным, то преобразование методом подстановки заканчи­ вается на каком-либо промежуточном этапе и оставшиеся непреобразованными уравнения решаются как системы урав­ нении — методами численного интегрирования или моделиро­ вания.

§9.3. ИМПУЛЬСНАЯ И ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Всистемах с постоянными параметрами вид импульсной характеристики g(t) зависит только от параметров системы. Изменение (смещение) момента приложения единичного им­

пульса на входе на время т не меняет вид характеристики g(t — t) = g(t), изменяя лишь положение ее по отношению к на­ чалу отсчета.

В системах с переменными параметрами импульсная харак­ теристика g(t, т) зависит не только от параметров системы и характера их изменения, но и от момента приложения на входе единичного импульса т, так как за время т происходит измене­ ние параметров системы.

Импульсная характеристика для систем с переменными па­

нем, характеризующим изменение переменных коэффициентов.

Рис. 9.4

181

Графики изменения всех переменных коэффициентов зада­ ются с момента включения системы и тем самым устанавли­ вается однозначная связь между отсчетом времени t и значе­ ниями коэффициентов. Импульс 5(t — т), как показано на рис. 9.4, появляется спустя время т после начала изменения коэффициентов (включения системы).

Импульсная характеристика g{t, т) начинается в момент приложения импульса. Для системы с переменными парамет­ рами эта характеристика может быть изображена в виде по­ верхности, зависящей от двух переменных t и т.

Для фиксированного момента времени импульсная харак­ теристика может быть представлена плоским графиком (рис. 9.4). Такая импульсная характеристика называется со­ пряженной с аргументом т.

При отсчете времени от момента приложения импульса уравнение графика может записываться в форме £'(^см,т), при­ чем величина g((cu, "-) = 0, если tCM< 0.

При отсчете времени от момента начала изменения коэффи­ циентов уравнение графика записывается в форме g {t, т ), при­ чем g(t, т) — 0 при t < т.

В первом случае в скобках записан сначала интервал £см или его выражение через текущее время — т. а затем — мо­ мент приложения импульса т.

В зависимости от момента подачи входного единичного импульса форма графика импульсной характеристики будет изменяться.

Вид импульсной характеристики в физически осуществимых системах определяется соотношением:

Переходной характеристикой системы с переменными пара­ метрами называется реакция нестационарной системы на вход­ ной единичный ступенчатый сигнал.

Покажем связь между переходной и импульсной характери­ стиками для системы с переменными параметрами.

Импульс в момент времени т рассмотрим как предел раз­ ности двух единичных перепадов одинаковой высоты, различ-

182

ных по знаку и сдвинутых во времени относительно друг от дру­ га на Лт (рис. 9.5, б), т. е.

Используя принцип наложения, справедливый для линейных систем, процесс на выходе можно представить в виде разности

1

двух переходных характеристик с увеличенным в -д^- раз мас­

штабом:

Реакция на единичный импульс представляет собой им­ пульсную характеристику, а приведенный предел равен произ­ водной от переходной характеристики по аргументу т.

Таким образом,

т. е. импульсная характеристика системы с переменными пара­ метрами равна частной производной от ее переходной характе­ ристики по аргументу т (характеризующему момент приложе­ ния перепада или импульса), взятой с обратным знаком.

§ 9.4. ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА НА СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Методы исследования, обычно применяемые при анализе систем с постоянными параметрами, могут быть распростране­ ны и па системы с переменными параметрами, если для них определены некоторые характеристики, являющиеся реакциями на соответствующие типовые воздействия. Такими характери­ стиками являются переходная /i(t,x), импульсная g ( t , т ), амплитудно-фазовая АФХ W (/со, t) и передаточная W (р, t).

По аналогии с системами, имеющими постоянные парамет­ ры, частотной характеристикой системы с переменными пара­ метрами называют соотношение

ными параметрами является зависимость ее не только от часто­

где g{t, т) — импульсная характеристика АС.

Полагая амплитуду входного сигнала равной единице Х=1,

184

зависят от характера приложенного к системе воздействия. Это обстоятельство позволяет с помощью передаточной функции и частотной характеристики находить реакцию системы на лю­

Вследствие линейности системы с переменными параметра­ ми и применимости к ней принципа наложения воздействие (9.23) вызовет изменение переменной определяемое выра­ жением

Уравнение (9.25) по форме аналогично соотношению, связы­ вающему выходное и входное воздействия системы с постоян­ ными параметрами:

Эта аналогия, а также тот факт, что в уравнении (9.25) ве­ личина t играет роль параметра, позволяют заключить, что

185