Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны

.pdf
Скачиваний:
78
Добавлен:
20.10.2023
Размер:
8.65 Mб
Скачать

Если планируемая xn(t) и непланируемая хн (?) составля­ ющие входного воздействия являются корреляционно незави­ симыми, то их взаимная спектральная плотность будет равна нулю. В соответствии с этим теория случайных функций позво­ ляет вывести следующие зависимости, приводимые без дока­ зательств:

 

 

5 П|(H = Sп (со)— Sni ( —/“ )>

(7.38)

 

 

Si (u>)=:Sii H

+ Sh(ш).

(7.39)

Учитывая эти

зависимости и

подставляя значение

Se (си) из

уравнения

(7.36)

в уравнение (7.37), можно получить

 

7’ (t)

= - 1 г j

([1+

|Ф (/«*>) |2- Ф (усо)-Ф (—/«0)1 5 П(со) +

 

 

+

|ф (/ш) I2 S h (со) ! Фи

(7.40)

или после

преобразования

 

 

Г2( ( ) = ^ г +|

(11 — Ф (/со) |25 п («') Ь |Ф (/to) |aS|-i (со)) фи.

(7.41)

Это выражение позволяет получить квадрат ошибки через частотную характеристику замкнутой системы. Если известны спектральные плотности планируемой составляющей 5ц(со) и непланируемой составляющей Sh (со) входного воздействия, а также частотная характеристика разомкнутой системы W (/со),

то квадрат искомой ошибки е2 (^) будет определяться следу­ ющим соотношением:

 

__ 1_____

W ( i со)

Sh (co)U/co. (7.42)

S(t)

--00 1-f W (/со) SYi (со) -|-

НИР (/со)

 

Из этого уравнения следует, что, несмотря на то, чго планиру­ емая и непланируемая составляющие входного воздействия поданы на систему в одном и том же месте, их влияние на вели­ чину ошибки различно.

Действительно, на выходное воздействие y(t) и планиру­ емая х п (0 и непланируемая х и (0 составляющие входного воз­

действия влияют одинаково. Однако сама ошибка е(0 опреде­ ляется как разность между планируемой составляющей входно­ го воздействия н выходным воздействием е(£) = хп (/) — у (t), так

как задачей системы является отработка планируемой состав­ ляющей входного воздействия.

Если планируемая и непланируемая составляющие входного сигнала приложены в разных точках системы, то среднее значе-

146

нйе квадрата ошибки будет определяться следующей формулом

s2 (t) = тг^ [ 1101 (Н |2 Sn (со)+ |Фа (/ш) I2 SH(ш)

! dw, (7.43)

где Ф1 (/со), Ф2(/со) — частотные характеристики

замкнутой

системы, определяемые соответственно для планируемой и непланируемой составляющих входного сигнала в зависимости от места их приложения.

ГЗ реальных условиях спектральная плотность сигнала ошибки АС Sb ( со) часто может быть представлена дробно­ рациональной функцией следующего вида:

( 7 -4 4 )

В этом уравнении многочлен А (/со) , как содержащий левую часть характеристического уравнения замкнутой системы, удовлетворяет условию устойчивости, а многочлен' В (/со) со­ держит только четные степени со, так как этот полином являет­ ся вещественной функцией частоты. В этом случае выраже­ ние (7.37) для определения среднего значения квадрата случай­ ной ошибки будет иметь вид

 

 

J

_

7

В(М

,

 

(7.45)

 

 

£2(0 = / л 2 тс

J

|А (/со) |2 “

 

При этом подынтегральные многочлены могут быть

представ­

лены

как

A {j(d)=a0(/со)" + а гЦа)п- ' +

•••+а,„

 

(7.46)

 

 

 

 

5(/со) = 60(/со)2(«-» + б1(/(й)2(«-2)+ ... +й„_,

(7.47)

и все

корни

А (/со) расположены в

верхней

полуплоскости.

Значения /„ выражения (7.45)

для различных степеней п могут

быть заранее

вычислены и занесены

в

таблицу (см.

приложе­

ние 4).

 

и

непланируемая

xH(£)

составля­

Если планируемая xn (t)

ющие входного воздействия известны, то среднеквадратическая ошибка будет определяться только параметрами системы, т. е.

 

s2(t)=f{a 0, av <z2, .... an).

(7.48)

Параметры

системы в этом случае выбираются

по критерию

минимума

среднеквадратической ошибки. Тогда

оптимальные

значения можно определить, например, приравнивая к нулю частные производные функции, стоящей в правой части уравне­

ния

(7.48):

где

г'=0,1, 2,..., п.

Ю*

147

Параметры системы, выбранные по критерию минимума среднеквадратической ошибки, необходимо оценить исходя из условий возможности их технической реализации, а также учи­ тывая показатели качества системы в переходном режиме.

Пр и м е р . Передаточная функция разомкнутой АС (рис. 1.5) имеет

вид:

 

(р)= ----------- k'°

Tl ________

 

KPi Р 0 + 7 '2 А )(1 + 7 '„ А )(1 + 7 ’двА)'

К входу системы приложены полезное планируемое поздействпехп ((')=2^

п иепланируемсе

воздействие (помеха)

х н (t) в виде белою шума со спект­

ральной плотностью 5 Н (ш) =

fapad/ai(l=const.

Требуется определить оптимальный коэффициент преобразования систе­

мы Ацопт. соответствующий минимуму средиеквадратической ошибки е

Оптимальный

коэффициент

преобразования системы Ау0пт определяется

из уравнения

 

 

 

 

a-^i=o

 

 

 

dkv и>

 

где De= D t п -{-D t н— дисперсия

суммарной ошибки;

 

п — дисперсия

ошибки,

определяемая

хп (/);

D Bн— дисперсия

ошибки,

определяемая

хн (f).

£скmin =

 

 

 

 

 

 

О \ 2

 

 

 

 

 

•°еП—Екин— 1 7 ,

 

D M

 

J

5eH(o i)rfw = -L

j |Ф (/»>) |2 SH (m) rfo. =r

 

 

— cc

 

— со

 

 

 

 

 

 

s HП 1М1 + Л Н I2

J

/ш (1 +

 

 

 

ifoi*

Tt jсо) (1 -f T„ jtil) (1 f 7дВ/т)-|-A.-, (1 -f Tl /ш) |

 

 

 

1

+f~ JVA£b ( »

 

 

 

=

* T

j

M , , . ,

d « = N k l 7H-

 

+~

B (/m)

 

I a (j«

 

где /н _

ilu> является

табулированным интегралом (прило­

27 i

|A (H|

жение 4).

Значение п определяется по значению порядка полинома А (До):

 

А ( И =y'm (1 -Ь Т7 До) (1 + Тя /ш) (1ТГдв у<о)+ Ay (1 +

7\ ум) =

 

 

= я0 (у'ш)4 + а\ (Уш)3 \-а2 (у'м)Ч-я3 (у'м)+а4,

 

где п =

4; а0 =

Tt Т'ятТ’дв-’

а^=Тг 7'n-L Тг Т

| ТяТд^;

я4

? : + Т’я' Д В ’

«з= 1+ Ay 7j;

а4=Ау.

 

 

 

 

 

В (/<■>) =

|1+ 7\уы =

1; (7\ «)•= 1-

Т] (у*м)2 =

62 (ум)*+6„

где й2 =

Т\-,

63 = 1; А0 =

А1 = 0.

 

 

 

148

Так как

b0 - b 1= О,

 

 

 

 

а0 Ох&2 --------“ (^о as

**г)

 

__________ _____________ _

 

2 я0 ( «о яз + а? я4 Я 1 а 2 аз)

о , н =

опт АГ-

Д £= ( ^ — 1

Kv опт 'Н

7|-

Г л а в а 8

КОРРЕКЦИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 8.1. ЗАДАЧИ КОРРЕКЦИИ

Системы, содержащие только функционально необходимые элементы, как правило, не обладают требуемыми показателями качества. Это объясняется тем, что многие требования, предъяв­ ляемые к автоматическим системам, являются противоречи­ выми.

Так, например, повышение порядка астатизма системы позволяет избавиться от некоторых ошибок в установившемся режиме, но увеличивает отрицательный сдвиг по фазе между входным и выходным воздействиями, делает систему более инерционной, ухудшает ее качество в переходном режиме, а в некоторых случаях выводит за пределы устойчивости.

Увеличение коэффициента преобразования (усиления) си­ стемы уменьшает ошибки в установившемся режиме, но одно­ временно уменьшает и запасы устойчивости системы, ухудшает ее качество в переходном режиме и может привести к неустой-

. чивости системы.

Кроме того, система, состоящая из одних функционально необходимых элементов, не всегда может обеспечить требуемое отношение сигнала к шумам.

Изменение динамических характеристик АС с целью получе­ ния требуемых показателей качества называется коррекцией автоматической системы. Коррекция достигается включением в систему с неудовлетворительными показателями качества управления корректирующих устройств, параметры и харак­ теристики которых легко изменяются.

Требования, предъявляемые к автоматической системе, мо­ гут быть выражены с помощью желаемых логарифмических частотных характеристик. Поскольку фазо-частотная характе­ ристика АС однозначно связана с ее амплитудной характери­ стикой, требования, предъявляемые к системе, могут быть выра­ жены при помощи одной желаемой логарифмической амплитуд­ но-частотной характеристики.

150

В желаемых логарифмических амплитудно-частотных харак­ теристиках могут быть выделены области низких, средних и высоких частот (рис. 8.1).

Область низких частот желаемой ЛАЧХ 0—соi содержит ча­ стоты, близкие к пулевой, и определяет точность системы в уста­ новившемся режиме при медленно меняющихся управляющих воздействиях.

Точность АС в установившемся режиме определяется в основном порядком астатизма системы у и коэффициентом пре­ образования (усиления) k.

Порядок астатизма в большинстве применяемых систем берется равным единице v=l , так как при больших значениях v корректирующие устройства, обеспечивающие устойчивость и нужное качество системы в переходном режиме, оказываются сложными, громоздкими и работают ненадежно.

Коэффициент преобразования системы k выбирается из

условия

обеспечения

максимально допустимых

установившихся

ошибок,

которые

при

заданном v и входном

воздействии х(1)

зависят

только от

k.

 

пи тих частот 0—coi желаемая

Таким образом, в области

ЛАЧХ представляет

собой, как

правило, прямую с наклоном

--20 дб/'дек, проведенную через точку L = 201g&, со—1, и не под­ вергается коррекции.

Область средних частот желаемой ЛАЧХ занимает зону от coi до сиг. Эта зона ЛАЧХ подвергается основной коррекции, так как определяет качество переходных процессов, характер изме­ нения динамических ошибок и величину случайных ошибок АС.

Качество системы в переходном процессе зависит от запасов

устойчивости по амплитуде б дб и фазе у°, а величина

случай­

ных ошибок — от полосы пропускания,

численно равной часто­

те среза (оСр системы.

 

 

Для получения удовлетворительных

динамических

качеств

АС необходимо, чтобы частота среза (оср желаемой ЛАЧХ си­ стемы приходилась на ее отрезок, имеющий наклон —20 дб/дск,

и чтобы концы этого отрезка отстояли

возможно дальше от ча­

стоты среза

(осо. Для

обеспечения

запасов устойчивости

б = 6-М4 дб,

v = 30-r50°

( что

соответствует

перерегулированию

ст<(30-г40)%) необходимо,

чтобы

точки

сопряжения В и

Г

(или Б и /')

 

отстояли от оси абсцисс не менее чем на 14 дб.

из

Полоса

пропускания

системы ((оср)

выбирается исходя

требований

к величине

случайных

ошибок, определяемых

па

основании статистического анализа. При этом полоса пропуска­ ния системы в разомкнутом состоянии определяется па основа­

нии известной оптимальной полосы замкнутой

системы (оср. 3

в соответствии с приближенным соотношением

 

“ ср ~ (0,5 -г 0,7) (оср.з.

(8.1)

151

Сл to

с о

Рис. S.1

Чем меньше полоса пропускания соср, тем меньше флюктуацнониые погрешности системы. Если существуют аналоги про­ ектируемой системы, то величина полосы пропускания может быть рекомендована па основании эксплуатации подобной си­ стемы.

Динамические ошибки в режимах r> v тем меньше, чем выше проходит ЛАЧХ.

Область высоких частот желаемой ЛАЧХ лежит правее ча­ стоты тог, не сказывается существенно на качестве процессов управления, и в ней ЛАЧХ не подлежит коррекции.

Сравнивая

желаемые

ЛАЧХ типа I и типа II (см. рис.

8.1),

для систем с астатизмом 1-го порядка (v=l),

имеющих

оди­

наковый коэффициент преобразования

(усиления) k и одинако­

вую полосу пропускания ыср,

можно

сделать

следующие

вы­

воды:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Флюктуационные погрешности в АС, зависящие от значе­

ния соср, в обеих системах одинаковы.

 

гск

систем в кинети­

2.

Установившиеся скоростные ошибки

ческом режиме

(v— Г—\)

равны, так как при

заданной

скоро-

сти изменения

входного

воздействия v =

dx (t)

зависят

^

они

только от коэффициента усиления по скорости kv ^sCK=

 

j.

3.

Динамические ошибки в

режимах r > v

у системы, име­

ющей

ЛАЧХ

типа II, меньше,

так' как

на участке АВ ЛАЧХ

типа II расположена выше, чем ЛАЧХ типа

I.

 

 

 

4. Качество переходного режима лучше в системе, имеющей

ЛАЧХ типа I, так как она

имеет больший

отрезок ЛАЧХ по

обе стороны от соср, с наклоном —20 дб/дек.

 

 

 

 

Таким образом, задачей коррекции является придание автоматической системе свойств, обеспечивающих выполнение предъявляемых к АС требований по точности реализации алго­ ритма ее функционирования, качеству переходного процесса и минимуму флюктуациониых погрешностей.

Применение корректирующих устройств не исключает воз­ можности одновременного изменения параметров основных элементов с тем, чтобы АС не оказалась сложной и дорого­ стоящей из-за усложнения корректирующих устройств.

Корректирующее устройство включается либо последова­ тельно в основную цепь воздействий АС, либо параллельно с основными элементами, образуя местные прямые или обратные связи.

При выборе вида коррекции, типа корректирующих устройств и их параметров исходят из требуемой ЛАЧХ коррек­ тирующего устройства. Эта ЛАЧХ может быть получена мето-

153

дом графического вычитания ЛАЧХ пскорректировапиой систе­ мы. из желаемой ЛАЧХ.

В дальнейшем будут рассматриваться только нашедшие ши­ рокое распространение корректирующие устройства на постоян­ ном токе.

§ 8.2. КОРРЕКЦИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ

При последовательной коррекции, осуществляемой с по­ мощью дифференцирующих устройств, сигнал па выходе кор­ ректирующей цепи образуется из сигнала рассогласования и производной от пего. Дифференцирующие корректирующие устройства пли контуры, включаемые последовательно в основ­ ную цепь воздействий, могут иметь различную схему и соответ­ ствующие ей передаточную функцию, ЛАЧХ и ЛФЧХ (табл. 8.1). Однако общим для все-х дифференцирующих конту­

ров является то,

что

асимптотическая ЛАЧХ

этих

контуров

состоит только из горизонтальных участков

и участков,

име­

ющих положительный наклон, а фазо-частотная

характеристи­

ка всегда положительна. Эта

особенность ЛАЧХ дифференци­

рующих контуров позволяет использовать их в

качестве после­

довательных

корректирующих

устройств

для

уменьшения

наклона

ЛАЧХ

системы

в

зоне ыср до —20 дб/дек,

т. е.

для

обеспечения

требуемого

качества АС в переходном

режиме

(рис. 8.1, участок ВГ).

 

 

коррекции

системы I, с за­

Поясним сказанное на примере

данными

порядком астатизма л,= 1 и коэффициентом

преобра­

зования k, ЛЧХ которой приведены па рис. 8.2.

Из сравнитель­

ной оценки ЛАЧХ и

ЛФЧХ

видим, что система

неустойчива.

Кроме того,

ЛАЧХ системы

пересекает ось

абсцисс

с накло­

ном— 40 дб/дек. Для

обеспечения

устойчивости

системы и

по­

лучения требуемого качества в переходном режиме необходимо

ввести в систему такое корректирующее устройство,

которое

имело бы ЛАЧХ с участком положительного

наклона и ЛФЧХ

с положительным сдвигом по фазе. Именно

такие ЛЧХ имеют

последовательные

дифференцирующие

контуры. Следует рас­

считать корректирующий контур так,

чтобы

участок

положи­

тельного наклона и

максимум положительного сдвига по фазе

находились в зоне частоты среза системы. При введении такого устройства (рис. 8.2, система II) АС становится устойчивой и ее ЛАЧХ имеет в зоне пересечения оси абсцисс наклон —20 дб/дек, т. е. обеспечивается нужное качество переходного процесса.

Из рис. 8.2 видно, что введением коррекции при неизменном коэффициенте усиления системы и порядка астатизма v, т. е. при неизменных установившихся ошибках, обеспечена устойчи154

СХЕМ А К О Н Т У Р А

•----------

I h 5 — Е ---------

"

V 1

R

П

 

 

1

0

 

R 1

л

 

H

= H |

S

- t p

ю ,

 

Я * \ ) 1 2

Г

1 ^

°— *— Г

1—

Ъ \ " .

СЛ

СЛ

 

 

 

 

Т а б л и ц а

8.1

Дифференцирующие RC-контуры

 

 

W (p )b ВЫРАЖЕНИЯ ЛЧХ

Г р а ф и к и

Л Ч Х

 

 

 

 

Z/(«)

 

 

^ р ) - ^ ' А

‘ Г =11С :

 

 

 

 

 

 

0

 

 

Z ( u > ) = 2 0 l g £ u j - 2 0 1 g a > 7 \

jUc

 

 

c p °(w )= 9 0 -a r c t&

w T

 

 

 

w w - f e v

к =кгс,

Щ

 

 

 

T ^ R fR J C .

—.—

a)

Z /( l 0 ) * 2 0 ( g .f e c o - 2 0 l gviT »

0

 

 

 

 

 

<f°((D)= 9 0 - a r e

tx>T

 

 

 

p ' 1 + ^ /b

 

11 R ,+R i'

m h w

 

 

0

 

a>

T i-R iV , T g -k 7 l, T ,> T &.

 

 

 

4 < ^

 

 

L m =2 0 1 g b 2 0 ig w 7 b 2 0 1 g a ^

"

 

^Р’(Ш)= ar’C'fgixiT^- are ig u>T2

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ