книги из ГПНТБ / Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны

Г л а в а 7

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

§ 7.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Выше рассматривалось поведение систем автоматического управления при определенных (типовых), заданных во времени, воздействиях (единичная ступенчатая функция, единичный им­ пульс, гармоническое колебание). Эти сигналы отображают характерные особенности многих реальных внешних воздейст­ вий АС, поэтому анализ систем при этих воздействиях может характеризовать их свойства при отработке сигналов, описыва­ емых различными функциями времени в достаточно широком диапазоне.

Однако во многих случаях характер воздействия бывает таким, что его нельзя описать определенной функцией времени.

вых машинок и т. п. Таким примером может быть любая следя­ щая система, на вход которой попадают вместе с полезным сигналом помехи (например, система, в которую входит радио­ локационная станция).

Расчет системы, подвергающейся случайным задающим воз­ действиям. можно проводить методами, рассмотренными ранее, если считать, что величина воздействия равна его максималь­ ному значению. Однако рассчитанная таким образом система

136

окажется весьма громоздкой и сложной. Это произойдет, в частности, потому, что, ориентируясь на большое значение вход­ ного воздействия, для обеспечения нужной точности в устано­ вившемся режиме потребуется ввести большой коэффициент усиления системы. Это увеличение коэффициента усиления потребует мощных усилителей, двигателей, источников питания, кроме того, ухудшит свойства системы в переходном режиме и вынудит применять дополнительные корректирующие устрой­ ства. Но вероятность возникновения максимального задающего воздействия, на которое будет рассчитана система, весьма мала, и для практического применения система будет иметь явно за­ вышенные параметры.

В техническом отношении более целесообразно расчет систе­ мы в подобных случаях вести с учетом статистической вероят­ ности величины воздействия, чему и посвящена настоящая глава.

Кроме случаев, когда задающее (планируемое) воздействие определяется как случайная функция, возможны случаи, когда на систему, кроме задающего воздействия воздействуют еще и случайные непланируемые воздействия — помехи и шумы. При­

отклонений системы от установившихся значений, возникающих

§ 7.2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайный процесс — есть случайная функция x[t) от неза­ висимой переменной t. Каждое испытание дает определенную функцию хДО. которая называется реализацией процесса.

Случайный процесс можно рассматривать либо как сово­ купность реализаций xt{t), либо как совокупность случайных величин X[j(t), т. е. выборочных значений случайной функции в дискретные моменты времени. В последнем случае достаточно полное описание случайного процесса дает описание соответ­ ствующего множества случайных величин.

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Однако для практики часто бы­ вает достаточно знать лишь некоторые числовые характеристи­ ки, отражающие отдельные наиболее существенные черты рас­ пределения случайной величины. В ряде случаев числовые характеристики случайных величин могут дать полное описание

137

случайного процесса. Подробное изложение понятии, связанных

приняты эргодическне стационарные случайные процессы.

1. Математическое ожидание случайной величины МЫ, ил статистическое среднее ее значение, является простейшей и в то

где f ( х ) — плотность распределения непрерывной случайной величины.

Величина х определяется как среднее значение для всей со­ вокупности случайных величин данного случайного процесса-

водин и тот же момент времени.

2.Среднее значение случайной величины но времени х:

Величина х определяется дляодной случайной функции данного процесса в течение весьма длительного времени наблю­ дения.

В стационарном случайном процессе, обладающем эргодическим свойством, математическое ожидание случайной величи­ ны приблиштельпо равно ее среднему значению по времени

3. Среднеквадратическое значение случайной величины хск определяется как корень квадратный из среднего квадрата этой

средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения:

138

Чем больше дисперсия, тем больший разброс имеют значе­ ния случайной величины, и, наоборот, чем меньше дисперсия, тем меньший разброс имеют значения случайной величины.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величи­ ны, что иногда неудобно. Поэтому для характеристики рассея­ ния часто пользуются величиной среднего квадратического отклонения о, которая имеет ту же размерность, что и случай­ ная величина, является величиной положительной и равна кор­ ню квадратному из дисперсии:

a=rVD. (7.6)

Часто случайные процессы приводят к центрированным, т. е. к таким, для которых математическое ожидание равно нулю

(х = 0). В таких процессах колебания случайной величины про­ исходят как бы относительно ее нулевого значения. Для центри­ рованных процессов дисперсия равна среднему квадрату слу­ чайной величины.

5. Корреляционная, или автокорреляционная, функция R (т (от латинского слова соотношение) вводится для характеристи­ ки внутренних связей в случайном процессе, определения тако­ го свойства случайных процессов, как скорость изменения слу­ чайных .величин. Корреляционная функция /?(т) случайной функции x(t) представляет собой среднее значение по времени от произведения двух значений этой случайной функции, от­ стоящих друг от друга на время т:

6. При рассмотрении двух стационарных случайных проце сов пользуются понятием взаимной корреляционной функции,

которая характеризует' степень связи, т. е. корреляцию между значениями двух функций x\(t) и д-2 (/), отстоящими друг от друга по времени на величину т:

(7.8)

Величина Я\д (0) определяет эту связь в один и тот же мо­ мент времени.

7. Спектральная плотность S (со) по своему физическом смыслу есть величина, которая пропорциональна средней мощ­ ности процесса в интервале частот от со до co-f dm.

Хотя среднее значение случайной . величины, дисперсия и корреляционная функция достаточно полно характеризуют слу-

139

чанный процесс, пользование этими числовыми характеристи­ ками дли описания случайною процесса не позволяет приме­ нять частотные методы анализа АС.

Понятие о спектральной плотности S(w) связано .с разложе­ нием графика стационарного случайного процесса на гармони­ ческие составляющие, подобные обычному разложению в ряд Фурье. Такое разложение позволяет при воздействии на АС случайных величин применять обычные частотные методы ана­ лиза.

Математическое определение спектральной плотности слу­ чайной функции хцД) может быть представлено в следующем виде:

ся функция ли r(t), которая удовлетворяет условиям xir{t)=x1(t) при t , лежащем в пределах ±7\ и х, (t) =0 при |/|>7\

процесса, подобно их корреляционным функциям, одинаковы.

Аналитическое определение спектральной плотности для эргодического стационарного процесса возможно через корре­ ляционную функцию этого процесса. Для такого процесса пре-

МО

образование Фурье от корреляционной функции есть спектраль­ ная плотность.

В соответствии с формулами (7.12) и (7.14) в приложении 3 даны некоторые функции R(x) и их изображения Фурье S(co).

Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по всем частотам от — оо до +оо дает сред­ ний квадрат исходной функции времени:

(7Л6)

§ 7.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНОЙ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Рассмотрим линейную АС (рис. 7.1) с частотной характери­ стикой Ф (/со), находящуюся под воздействием на входе слу­ чайной функции x{t). Если это входное воздействие х (t) являет­ ся стационарным случайным процессом, то на выходе линей­ ной АС также будет стационарный случайный процесс y{t).

141

Предположим, что рассматриваемая система устойчива. Частотную характеристику системы в этом случае можно опре­

произведению спектральной плотности входного воздействия на квадрат модуля частотной характеристики АС.

142

Формула (7.24) дает возможность определить характер изменения выходного воздействия АС, при случайном входном воздействии, если известны частотная характеристика системы н спектральная плотность входного воздействия.

Взаимная спектральная плотность входного и выходного воздействий линейной АС по определению равна

Взаимная спектральная плотность входного и выходного ооздсйствий АС равна спектральной плотности входного воз­ действия, умноженной на частотную характеристику системы.

ционная функция входного процесса, то можно определить взаимную корреляционную функцию входного и выходного воздействий:

о

Корреляционные функции и спектральные плотности харак­ теризуют множество функций, обладающих общими статисти­ ческими свойствами, и, следовательно, они определяют стацио­ нарные случайные процессы в целом..

143

§ 7.4. УСТАНОВИВШИЕСЯ ОШИБКИ СИСТЕМЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

Рассмотрим замкнутую АС (рис. 7.2). к входу которой при­ ложены случайный полезный сигнал (планируемая составлн- I! тая входного воздействия) х п (7) и случайная помеха (непла-

нпруеман составляющая входного воздействия) д'н (().

чение ошибки отсутствует. Поэтому определяют не саму ошибку

144

Аналогичным образом преобразуется Ё?.(— /<■>). Учитывая уравнения (7.30) и (7.31), можно записать:

5= (ш) = П т -^р= г |Х пт (— /со) — У г ( — / ш)] [ У п т (/со)— К г (/ю )] —

сс£ I

=Ит-^г ( |X пт (/со) 2+|Кг(/со)|2—А’пт(—/«>) У Г ( П ~

Преобразуем далее отдельные слагаемые выражения (7.32), находящиеся под знаком предела:

а) в соответствии с уравнением (7.9) первое и второе слага­ емые будут иметь вид