книги из ГПНТБ / Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны
.pdfБ астатической системе второго порядка передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с выражением (4.8) может быть представлена в виде
k; Bp (Р)
р - А о { р )
Поэтому аналогично |
(6.27) для |
передаточной |
функции по |
|
ошибке имеем |
|
о |
|
|
|
Р ‘ |
(6.30> |
||
Е { р ) |
|
|||
причем |
/ r l k A V A P ) ’ |
|
||
lim k, \Va (р) |
= ke. |
(6.31> |
||
|
||||
|
р - 0 |
|
|
|
Из выражения (6.26) с учетом |
формул (6.30) |
и (6.31) сле |
||
дует |
|
|
|
|
£скд (0 = |
Пт -а |
= о, |
(6.31а> |
|
т. е. ошибка по скорости в астатической системе второго поряд
ка равна |
нулю. |
|
|
|
Скоростная ошибка по возмущению определяется аналогич |
||||
но с заменой в уравнении |
(6.26) Е(р) на Ef (p). Составляющая |
|||
установившейся |
ошибки АС, |
определяемая возмущением при |
||
/( /) = const, дает |
статическую |
ошибку ест/(/), которая вычис |
||
ляется по формуле (6.14). |
В результате этого установившаяся |
|||
сшибка,, |
обусловленная |
воздействиями x ( t ) u f ( t ) , например |
||
для АС с астатизмом первого порядка, в соответствии с выра жениями (6.5), (6.14) и (6.29) будет равна
еуст (0 = |
(*) “Г г/ (0 = гск Л- (0 “Г £стfit) — |
|
+ £ст/ (0- (6.32)- |
|||||||
Как видно из соотношений |
(6.26а) |
и (6.31а), |
еСКЛ.(£) в ста |
|||||||
тической |
системе |
стремится |
к |
бесконечности, |
а в системе с |
|||||
v = 2—к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графики x(t), |
у (£)и скоростных ошибок гСКХ{£) для систем с |
|||||||||
v = 0, 1 и 2 показаны на рис. 6.3. |
|
|
|
|
||||||
Найдем |
ошибки |
в |
установившемся |
режиме для |
рассматриваемой АС |
|||||
(см. рис. 1.5), используя ее передаточную функцию по ошибке |
||||||||||
|
А ( р ) ______________ Р ( 1 |
+ |
Тгр)(\ + |
Тяр)(1 + |
Тд в р)___________ |
|||||
^ |
С(Р) |
р (1 + Tip)(l - f Тяр)(1 + 7"дВ/?) + /г.;, (1 + Tip) |
||||||||
для следующих |
типовых |
режимов: |
|
|
|
|
|
|||
а) х (0 = «о 1 (0. “ в = Юс; |
-с (р) — - у - ; |
|
|
|
||||||
126
о
«) x(t) = Qt, 12 = 18 град\сек\ х (р) = ~j-\
в) х (t) = —~ , а = 8 град1сскг\ х (р) =
а) Поскольку АС является астатической первого порядка (у=1), пред ставим ее передаточную функцию в разомкнутом состоянии в виде
|
|
Г (р ) = |
|
Г 0 (р). |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
117 |
fn\ — ___________^ |
Р___________ |
||||
0W |
(1 + Тгр)(\ |
+ |
Тяр)(1 + |
Гдвр) ‘ |
||
Заметим, что |
lim kv Г 0 (/?) = kv = 90 |
сек~ К |
||||
|
||||||
Тогда |
/7-0 |
|
|
|
|
|
, , |
1 |
|
|
р |
|
|
с |
|
|
|
|||
|
(Р)~ |
1 + W{p) |
~ |
р + |
4 |
Го (р) |
и установившиеся ошибки АС в типовых режимах, обусловленные воздейст вием х (t), будут равны:
Ест .г — limp |
А ______“0- — 0- |
||
/7-0 |
|
Р + kv Го (Р) Р |
|
|
|
р |
£2 |
= !i-V |
Р + к к -.Ш |
т г - °'2' ; |
|
, „ „ ( ^ 1 Шр р + ^ |
(р! |
||
127
|
О ш и б к и А С в р а в н о у с к о р е н н о м ' р е ж и м е |
|
|||||||
В этом типовом режиме |
будут |
определяться |
|
ошибки, об- |
|||||
условленные |
входным воздействием |
|
|
o.t2 |
|
возмущения |
|||
|
х (£)= —^—, а |
|
|||||||
будем принимать постоянными / Д 0 = const. |
|
|
|||||||
Изображение сигнала х(0 по Лапласу |
(приложение I) |
||||||||
|
_ |
r I |
at2 |
} |
|
а |
|
|
(6.33} |
|
*(Р) |
(“ 1 “ |
J ~~рг ' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Поэтому |
на основании |
формул |
|
(4.15) |
и (6.33) |
ошибка по |
|||
воздействию |
x(t) |
—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
*.At) = |
|
|
|
|
|
|
||
|
L |
E M |
|
j ? \ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ошибка по ускорению, обусловленная входным воздейст |
|||||||||
вием, согласно выражению (6.2) |
|
|
|
|
|
|
|||
svck.v (t) = Hm sv (t) = |
lim pE(p) |
= |
a lim |
|
(6.34) |
||||
|
t |
/> -0 |
|
|
P |
/>-0 |
p |
||
Из уравнения (6.34) видно, что-эта-ошибка имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда передаточная функция по ошибке (6.30) имеет в числителе сомножитель р2. При астатизме v<2 eyci{x{t) стремится к бесконечности, пропор ционально t при у— 1 и пропорционально t'2 для статических систем (\=0). Это следует из рассмотрения значений Е(р) для этих систем и из выражений (6.6) и (6.27).
128
Ошибка |
по |
ускорению от входного |
воздействия |
на основа |
|||
нии формул |
(G.30), (6.31) и |
(6.34) для систем с v = 2 |
|
||||
|
-усК Л.(t) = |
lim |
|
р |
а |
(6.35) |
|
|
|
|
оРг + kt W0{p) |
X |
|
||
т. е. при заданных а и fc является постоянной величиной. |
|||||||
Рассуждая |
аналогично, |
можно показать, что |
при v>2 |
||||
гускл-Ю =0. |
Графики, |
иллюстрирующие |
характер |
изменения |
|||
воздействий x{t),y(t) и ошибок по ускорению еуС|( Л- it), показаны па рис. 6.4.
§ 0.3. ОШИБКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК
Анализ точности автоматических систем в установившемся режиме может производиться с помощью так называемого ме тода коэффициентов ошибок. Этот метод применяется для вы числения установившихся ошибок АС, обусловленных как вход ным, так и возмущающим медленно меняющимися воздействия ми. Для выявления сущности метода коэффициентов ошибок рассмотрим случай, когда имеется только входное воздейст вие x ( t ), а возмущение f(t) = 0.
Пусть на -вход АС приложено воздействие x(t) произвольной формы, но достаточно плавной вдали от начальной точки про цесса в том смысле, что через некоторое время существенное значение имеет только конечное число г производных. Тогда по окончании переходного процесса (при t-+ со) в системе может возникнуть установившаяся ошибка еуст(^). которая определяет ся в соответствии с (6.2 а) через передаточную функцию систе мы по ошибке Е(р)
|
|
в(р )= Е (р ) |
х(р). |
|
(6.36) |
|||
Разложим передаточную |
функцию |
замкнутой системы по |
||||||
ошибке в выражении (6.36) в ряд по |
возрастающим степеням |
|||||||
комплексной величины р: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
х(р). (6.37) |
|
|
|
|
|
|
7 T D'P' |
||
Этот |
ряд |
сходится в окрестности |
точки |
р = 0. |
Следовательно, |
|||
будет |
сходиться и ряд, |
представляющий |
собой |
оригинал ряда |
||||
(6.37) |
при |
t-*- со, т. е. ряд, в который можно разложить ошибку |
||||||
АС в установившемся режиме: |
|
|
|
|
|
|||
|
®уст (0 — Е)0х (£) -f- Dyd x(t) |
j_ |
2 |
d2x(t) |
+ ■■•+ |
|||
|
|
I |
I n |
dt |
2! |
dP |
|
|
|
|
drx(t) |
• |
|
(6.38) |
|||
|
|
|
r\ |
r dtT |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
9 Учебник |
129 |
Величины D0, D u D2, ... называются коэффициентами оши бок по положению, скорости, ускорению и т. д. Они могут опре деляться согласно общему правилу разложения функции в ряд
Тейлора |
по формулам |
|
|
|
|
d2E(p) |
|
|
Д ~ \Е |
' |
|
Д = |
|
||
|
|
dp2 |
,;=U |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
' dE (р) ' |
|
» |
п — " drE (р) ' |
|
||
|
dp |
|
lJr |
|
dpr |
|
|
|
Р - о |
|
|
|
|
||
Из выражения (6.38) |
следует, что в общем случае ошибка |
||||||
системы |
в установившемся |
режиме |
|
включает |
ряд слагаемых, |
||
пропорциональных как |
входному |
воздействию x(t), так и его |
|||||
производным. Слагаемые установившейся ошибки, вызываемые
первой, второй и т. д. производными |
входного воздействия, на- |
|||
зываются динамическими ошибками, |
dx {t) |
ошибкой |
||
причем |
||||
D« d2x(t) |
^ „ |
|
D, |
drx(t) |
по скорости, -gj--------------- опшбкои |
по ускорению, — '------------- |
|||
ошибкой по г-й производной. |
|
|
г! |
dtr |
Составляющая D0x {t) установив |
||||
шейся ошибки £уст(0 называется ошибкой по положению. |
||||
Коэффициенты ошибок, как и |
ошибки, зависят от |
порядка |
||
астатпзма системы. Их можно определить одним из следующих
способов. |
|
|
|
характеристических поли |
||||
Во-первых, через коэффициенты |
||||||||
номов А(р) и С(р), определяющих |
передаточную функцию по |
|||||||
ошибке. Так, если |
разделить многочлен А(р) |
на многочлен |
||||||
С(р) статической системы |
то |
можно |
получить ряд, у |
|||||
которого коэффициенты Д , как будет |
показано |
ниже, |
соответ |
|||||
ствуют коэффициентам |
ошибок: |
|
|
|
|
|
||
±{Р)_ = |
А (р) |
_ апрп-\-и„ |
i//11 -f . . . -1 |
а,/> + |
» 0 _ |
|||
х{р) |
С{р) |
спрпАгСп-\ра- х+ |
... + |
С\Р+с<> |
||||
= |
Д |
+ |
DLp -J- Д р а + |
... + Drpr. |
|
(6.39) |
||
Процесс деления оканчивается в зависимости от потребного числа коэффициентов ошибок. Покажем, что коэффициенты
при р являются |
искомыми коэффициентами ошибок. |
Действи |
тельно, на основании выражения (6.39) имеем |
|
|
*(Р) = |
(А>-Ь Е>\Р -г D2p2+ ... + Drpr)x{p). |
(6.40) |
Произведя обратное преобразование Лапласа, найдем:
£ (t) = Д х (t) + Д х' (t) + Do х" (t) + ... + Drл-й) (/). |
(6.41) |
Сравнивая выражения (6.41) и (6.38), заключаем, что коэф фициенты в выражении (6.41) в точности соответствуют коэф-
130
фициентам ошибок Д,, Dv D.,, ..., Dr. Следовательно, коэффи циенты ошибок можно получить как коэффициенты в частном от деления многочлена А(р) на многочлен С(р).
Во-вторых, коэффициенты ошибок могут быть выражены непосредственно через коэффициенты характеристических поли номов, т. е. через параметры элементов АС.
Из выражения (6.39) следует:
(«„А" + ап-\Рп 1~Ь + e i А йо) — (D0 |
р D2p2 -г ... + |
|
-г Drpr)(cnp" + cn^ip"-' f ... |
-I- clP + ' c0). |
((5.42) |
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в выражении (6.42),’ находим:
j; D2\ceicl\=
(6.43)
Рекуррентная формула для определения любого коэффициен та ошибки Dr системы с любым порядком астатизма v имеет вид
(6.44)
Значения установившихся ошибок при типовых воздейст виях и первых коэффициентов ошибок для соответствующих членов ряда (6.41) г = 0, 1, 2 и систем с v = 0, 1, 2 сведены в табл. 6.1.
По известным коэффициентам ошибок и заданному закону изменения входного воздействия x(t) можно определить состав ляющие ошибки системы в установившемся режиме по положе нию, скорости, ускорению и т. д., а затем результирующую ошибку системы как сумму составляющих.
Найдем ошибку установившегося режима для системы (см. рис. 4.1) с
использованием коэффициентов ошибок в случае подачи иа вход воздейст- dt2
вия |
х (t) = ~ 2 ~- |
где а =8 |
град/сек2. |
|
вии |
Учитывая значения |
коэффициентов а/, С/ системы (v = 1), в соответст |
||
с данными |
табл. |
6.1 |
имеем: |
|
9» |
131 |
Производные от входного |
сигнала |
равны |
|
х ' |
(0 = S t\ |
х " (t) |
= 8. |
Ошибка установишнегося |
режима |
|
|
вуст = D0 х (0 +■ D, х ' (0 + |
Ог х " (/) = |
||
= - А - < + 8-15-10- 5 = (0,091 + 1,2-10“ 3)l?/jr?f?J.
При определении ошибок АС с помощью коэффициентов ошибок представляется возможность знать их точное значение в любой момент времени, а также выбрать параметры АС с целью обеспечения условия еуст< > доп в необходимом интервале времени.
Таблица 6.1
Ошпбкя системы при постоянном значении
|
v |
Порядок |
астатизма |
Значение коэффициентов |
входного |
скорости |
из |
ускорения |
|
входного сиг |
|||||
|
сигнала |
менения |
вход |
нала |
|
ошибок |
* (/) = |
ного сигнала |
|||
х (/) _ |
|||||
|
= “ о 1(0 |
л: (/) = |
V/ |
||
|
(г = 0) |
(/ - = 1 ) |
(г « 2) |
||
|
|
|
|
||
|
п |
_ а0 |
Чо |
1 . |
|
|
|
|
|
0 |
О) |
+ |
1 "Ь^о * |
|
vt |
|
а/2 |
0 D i = - j r U h — ci Do) [сек]; |
_ £ о _ |
|
||||||
|
2(1+*о) + |
|||||||
|
l + k o ^ DlV |
|
||||||
|
|
с0 |
|
|
|
+ |
Di at 4- D j а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D 2= — (яо—С1Ох^ с г О0)[сек2\ |
|
|
|
|
|||
|
|
Со |
|
|
|
|
|
|
|
Do |
- 0; |
|
|
|
|
|
|
1 |
D\ — — = -^— \сек\\ |
0 |
V |
|
■ 4 - -i-o2a |
|||
|
с0 |
kv |
|
ку |
|
|||
|
D2 — - j r ("a — ci D j)[сек*\ |
|
|
Ку |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
Со |
|
|
|
|
|
|
2 |
Do = 0; |
Di = 0; |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
кг |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этой таблице коэффициенты c0 = cv, равные соответствен но k0, kv, hz — коэффициенты усиления разомкнутой АС по положению, скорости и ускорению.
132
Из рассмотрения данных табл. 6.1 видно, что величина И характер изменения установившихся ошибок зависят от соот ношений v и г, т. е. порядка астатизма системы и порядка про изводной, определяющей закон изменения входного воздейст вия x(t), а также от параметров АС. При v > r установившаяся ошибка, обусловленная принципом работы замкнутой АС, равна
нулю. Отсюда следует, что повышение |
порядка |
астатизма |
может рассматриваться в качестве одного из способов |
повыше |
|
ния точности АС. При v = г установившаяся |
ошибка |
имеет по |
стоянное значение, прямо пропорциональное скорости (ускоре нию и более высоким производным) изменения воздействия x(t) и обратно пропорциональное* величине коэффициента усиления
по скорости (ускорению и т. д.). |
Поэтому |
увеличение |
коэффи |
|||||||||||||
циента усиления |
разомкнутой АС |
может |
рассматриваться как |
|||||||||||||
другой способ повышения точности |
системы. При v < r |
устано |
||||||||||||||
вившаяся ошибка |
не остается |
постоянной, а растет с течением |
||||||||||||||
времени |
теоретически |
|
беспредельно. |
В Этом |
смысле |
изменя |
||||||||||
ющаяся |
с течением времени |
|
установившаяся |
ошибка является |
||||||||||||
динамической. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.1, |
динамические |
ошибки |
|||||
Как |
следует из данных табл. |
|||||||||||||||
при v < г определяются не только характером |
входного воздей |
|||||||||||||||
ствия и |
коэффициентом усиления |
разомкнутой системы, выра |
||||||||||||||
жаемым коэффициентом cv = Со полинома |
С(р), но также струк |
|||||||||||||||
турой системы и постоянными |
времени |
ее |
элементов, |
которые |
||||||||||||
выражаются через коэффициенты |
а,- полинома А (р ) — с возра |
|||||||||||||||
станием |
коэффициентов |
|
(/= |
1, 2, ..., г >v) |
|
и коэффициентов |
||||||||||
а,-(i= 0, |
1, 2, .... г) растут динамические ошибки. |
|
||||||||||||||
Для выявления зависимости динамических ошибок от пара |
||||||||||||||||
метров |
и структуры |
системы |
рассмотрим |
|
логарифмические |
|||||||||||
амплитудно-частотные характеристики двух |
систем с одинако |
|||||||||||||||
выми значениями |
порядка |
астатизма v, |
коэффициента |
усиле |
||||||||||||
ния kv и одинаковой частотой среза соср |
(рис. |
6.5, а). |
|
|||||||||||||
Вид передаточных функций обеих систем одинаковый: |
||||||||||||||||
|
|
W ( p ) = |
|
|
|
+ |
Тгр) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p Q + |
T l P ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Однако частоты сопряжения системы I (со^, со' ) больше со |
||||||||||||||||
ответствующих частот сопряжения |
системы 11 (со" и ccQ: |
|||||||||||||||
|
|
со |
с, |
> со |
; |
« V |
|
со„ |
|
|
|
|
|
|||
благодаря чему |
|
|
^ |
|
с,’ |
идет выше, чем ЛАЧХ си- |
||||||||||
ЛАЧХ |
системы |
1 |
||||||||||||||
стемы И. |
|
|
|
системы |
I (Tj и Т') |
меньше соответст |
||||||||||
Постоянные времени |
|
|||||||||||||||
вующих постоянных времени системы |
II |
(Т] |
и Т"2у. |
|
||||||||||||
т\<т\- т : , < т ■
т. е. система I менее инерционна.
133
При заданной структуре системы коэффициенты «, обеих систем будут представлять собой одинаковые комбинации про изведений и сумм постоянных времени их элементов. Поэтому соответствующие коэффициенты о,- для системы 1 будут мень ше, чем для системы II, а значит, и динамические ошибки этой системы тоже будут меньше. Таким образом, чем менее инепциониа система и чем выше лежит ее ЛАЧХ, тем меньше дина мические ошибки в пей при прочих равных условиях.
На рис. 6.5, б приведены ЛАЧХ двух систем с одинаковым порядком астатизма v, коэффициентом усиления /г., и одннако вон частотой среза соср, но разной структурой. Система 1 имеет передаточную. функцию
kJl+_T ,p) W (Р) = pQ + Пр)
и может быть представлена последовательным включением звеньев интегрирующего, инерционного и форсирующего 1-го порядка.
134
Система II |
имеет передаточную функцию |
|
|||
|
|
м |
г ^ |
+ я у + |
i) |
|
|
W ~ р ( Ц р -’ + Ъ Т ур + 1 ) |
|||
и может |
быть |
представлена |
последовательным включением |
||
звеньев |
интегрирующего, |
колебательного |
и форсирующего |
||
LM'O порядка.
Можно показать, что система I, ЛЛЧХ которой лежит выше, будет иметь меньшие динамические ошибки, чем система II. Скорость возрастания ошибок тем больше, чем больше поря док входного воздействия г отличается от порядка астатизма системы v и чем более ■инерционна система, т. е. чем ниже лежит ее ЛАЧХ.