книги из ГПНТБ / Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны

оценки устойчивости АС. На самом деле, последовательное прохождение годографом Михайлова квадрантов комплексной плоскости означает, что годограф поочередно пересекает оси координат, т. е. поочередно становятся равными нулю то веще­ ственная часть P(w). то мнимая часть Q(c>) вектора С(/иЛ. Частоты, соответствующие точкам пересечения годографа с ося­ ми координат, являются корнями уравнений (5.24) и (5.25).

105

u>r^o)2-^i')3<w4, то система будет устойчива.

§ 5.7. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Критерий устойчивости. Найквиста позволяет судить об лстойчивости замкнутой АС-по амплитудно-фазовой характери­

ной связью, а в 1936 году обобщен и впервые применен в теории автоматического регулирования А. В. Михайловым.

Для определения устойчивости по АФХ разомкнутой систе­ мы W (jсо) удобнее всего использовать правило о числе пере­ ходов, вытекающее из критерия устойчивости.

Переход АФХ через вещественную ось комплексной плоско­ сти из верхней полуплоскости в нижнюю принято считать поло­ жительным, а из нижней полуплоскости в верхнюю — отрица­ тельным. С учетом знаков переходов правило о числе переходов можно сформулировать следующим образом: автоматическая система будет устойчивой, если разность между положительны­

устойчива), замкнутая система будет устойчивой, если разность между положительными и отрицательными переходами АФХ через отрезок (— зо; — 1) вещественной оси равна нулю.

Устойчивость разомкнутой АС часто можно определить без. всяких вычислений непосредственно по схеме системы. Так,

107

скон точки — 1; /0. Чем ближе будет проходить АФХ от точки

— 1: /0, тем ближе замкнутая система будет к границе устойчи­ вости.

Для характеристики степени устойчивости вводят понятия запаса устойчивости по амплитуде б и запаса устойчивости по фазе у.

Запас устойчивости по амплитуде б показывает, во сколько раз максимально может быть увеличен коэффициент усиления данной системы, чтобы она не вышла за границы устойчивости:

8 = - ^ , ■ (5.27,

где &,|.)Сд— предельный коэффициент усиления системы, при котором система выходит за границы устойчивости;

k — коэффициент усиления данной системы.

Из АФХ системы (рис. 5.19) запас по амплитуде характери­ зует расстояние между критической точкой и ближайшей точ­ кой пересечения АФХ действительной оси.

Запас устойчивости по амплитуде из АФХ с учетом выраже­ ния (5.27) может быть записан в виде

О С

Если выразить запас устойчивости в децибелах, то получим:

о с?0 —20 1?

1

О С

109

Метод позволяет судить об устойчивости замкнутой АС по логарифмическим амплитудно-частотной и фазо-частотной ха­ рактеристикам разомкнутой системы. .Метод наиболее простой* наглядный и широко применяется на практике.

Покажем метод определения устойчивости системы для слу­ чая, когда АС в разомкнутом состоянии устойчива.

Условие устойчивости для таких систем вытекает из правила о числе переходов: система автоматического управления, устой­ чивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом

Рис 5.21

111

Для систем, у которых ЛФЧХ пересекает линию — 180° толь­ ко один раз, это же условие устойчивости можно сформулиро­

теристики двух систем, которые отличаются друг ог друга толь­ ко коэффициентами усиления. Логарифмические амплитудночастотные характеристики систем сдвинуты одна относительно другой по вертикали, а фазо-частотные характеристики совпа­ дают.

Из характеристик видно, что система I с коэффициентом усиления устойчива, а система II с коэффициентом усиле­ ния k2 неустойчива.

Действительно, при выполнении требования устойчивости (система I) на частотах -со< шср коэффициент усиления системы больше единицы /гД>1 (соблюдается амплитудное условие само­ возбуждения), но отрицательный сдвиг по фазе меньше 180°, обратная связь остается отрицательной и не соблюдается фазо­ вое условие самовозбуждения; на частотах ю>(оср коэффи­

циент усиления системы меньше единицы и не соблюдается амплитудное условие самовозбуждения.

112

В системах, где не выполняется требование устойчивости (система II), имеется зона частот, в которой &>1. а |'-?|)>180°, т. е. соблюдаются амплитудное и фазовое условия самовозбуж­ дения.

Из характеристик (рис. 5.22) видно также, что с увеличе­ нием коэффициента усиления и отрицательного сдвига по фазе система приближается к неустойчивой.

По ЛЧХ запас устойчивости по амплитуде б дб определяется как взятое с обратным знаком значение ординаты ЛАЧХ на частоте, при которой ср(со)= — 180°.

Запас устойчивости по фазе у° определяется как разность между 180° и абсолютным значением ординаты ЛФЧХ на ча­ стоте среза (,оСр.

На рис. 5.22 показано определение запасов устойчивости по амплитуде и фазе.

С помощью ЛЧХ может быть также определен предельный коэффициент усиления системы £npC4, при котором система на­ ходится на грани устойчивости.

Запасы устойчивости по амплитуде и фазе могут использо­ ваться для ориентировочной оценки переходного процесса си­ стемы.

Имеются табличные зависимости, показывающие прибли­ женно связьосновных показателей качества переходного режи­ ма с запасами устойчивости системы.

Анализ переходного режима АС показывает, что для обеспе­ чения устойчивости и улучшения качества переходного процес­ са в ней необходимо или уменьшить коэффициент усиления, или

рис. 1.5, можно определить, что данная АС является устойчивой и имеет за­ пасы устойчивости у=>30°; 6 —12 дб-, к.-ипрсж я 360 сек- 1 .

§ 5.9. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА

Критерий устойчивости Гурвица позволяет судить об устой­ чивости замкнутой системы по коэффициентам ее характеристи­ ческого уравнения. Критерий имеет форму неравенств, кото­ рым должны удовлетворять коэффициенты ct характеристиче­ ского уравнения замкнутой системы (5.22), и может быть сфор­ мулирован следующим образом: для того, чтобы замкнутая АС, описываемая дифференциальным уравнением я-й степени, была устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, необходимо и доста­ точно, чтобы при с „> 0 все я определителей Гурвица были боль­ ше нуля.

Определители Гурвица составляются из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы (5.22). Исходным является главный определитель Ль который содер­ жит п столбцов и п строк. Он составляется следующим образом: по главной диагонали выписываются коэффициенты характери­ стического уравнения в порядке индексов от Со до c„ii, правее главной диагонали все строки заполняются коэффициентами по убывающим индексам, а левее — по возрастающим индексам. Оставшиеся пустые места заполняются нулями.

остальные определители: Л2, Лз...... An-i, А„. Определитель Л„ равен коэффициенту уравнения с„_ь

и т. д. Это — необходимое и достаточное условие устойчивости системы.

ского уравнения какой-либо коэффициент равен нулю или отри­ цателен, то система будет неустойчивой.

Критерий находит практическое применение при определе­ нии устойчивости АС, описываемых дифференциальными урав­ нениями не выше четвертой степени.

Для АС, описываемых уравнениями более высоких степеней, используются таблицы, в которых показаны неравенства, опре­ деляющие устойчивость системы (например, таблицы Рауса).