книги из ГПНТБ / Шаталов, В. А. Применение ЭВМ в системе управления космическим аппаратом

с центром масс которого совпадает начало координат системы о'хуг; их, иу, uz — проекции вектора управляющего ускорения на оси орбитальной системы координат.

Если начало системы координат совпадает с центром масс

г+ “г2= « г-

Винерциально-лучевой системе координат (см. рис. 2.6) при движении сотрудничающего аппарата по эллиптической орбите уравнения движения можно записать как [7]:

D — />>л.в=---- D [1— 3 cos2 (Vo — 0ц)] + uD, rl

мальная к вектору относительной дальности в сто­ рону возрастания угла ув;

гц — радиус-вектор КА, с которым управляемый кос­ мический аппарат осуществляет встречу. При движении сотрудничающего КА по круговой ор­ бите (прир./гЗ=св2) уравнения (2.30) примут вид

D — D(«L= —со2/) [1—3 cos2 (■yD— 9ц)]-f uD;

£ Ч .в + 2^ “л.в= —з®2D sin (Yo - 0Ц.) cos (Yo— 0ц)+ tin.

Для удобства решения уравнений движения на БЦВМ можно перейти к уравнениям с постоянной относительной скоростью между космическими аппаратами. В этом случае можно не учи­

40

тывать члены, содержащие со2, которые стремятся к нулю по мере

Термин «бессиловое пространство» применяют в случаях, когда на КА не действуют никакие силы, кроме тяги двигателя.

Были рассмотрены уравнения движения КА в основных систе­ мах координат, применяемых для расчетов траекторий движения космических аппаратов на различных участках движения. Сте­ пень учета влияния возмущающих факторов на траекторию Дви­ жения определяется двумя основными факторами:

—требуемой точностью описания движения КА;

—возможностями бортовой цифровой вычислительной ма­

шины.

Эти требования противоречивы. Действительно, чем точнее учитывать факторы, влияющие на движение КА, тем сложнее уравнения движения, а следовательно, к характеристикам БЦВМ необходимо предъявить более жесткие требования. Так, в рабо­ тах [6, 23] показано, что для расчета межпланетных траекторий движения необходимо учитывать с высокой точностью влияние возмущающих факторов на движение КА. Это объясняется большой длительностью полета и вследствие этого — отклонение фактических траекторий движения от расчетных под влиянием различного рода возмущающих воздействий.

В свою очередь, для участков коррекций или сближения двух космических аппаратов можно использовать уравнения относи­ тельного движения (2.28) или (2.29). Уравнения движения (2. 29) удобны для решения на БЦВМ, но вместе с тем следует учитывать, что их погрешность составляет для орбит средней высоты около 5% при относительной дальности —100 км.

Угловое движение неуправляемого КА вокруг центра масс описывают уравнениями Эйлера

at

где lx, Iv, Iz — главные моменты инерции тела;

сож, coy, o)z — проекции вектора угловой скорости вращения тела на координатные оси;

41

Мх, Му, Mz — проекции вектора возмущающего момента на координатные оси.

Уравнения Эйлера интегрируются в квадратурах только при отсутствии внешнего момента, т. е. при

Mx= M y= M z= О,

но и в этом случае они позволяют определить вектор угловой ско­ рости он только в системе координат, жестко связанной с телом.

2.3. ЗАДАЧИ ИНЕРЦИАЛЬНОИ НАВИГАЦИИ

Для любой инерциальной системы навигации требуются при­ боры, реализующие базовую систему координат, и акселеромет­ ры, неподвижно установленные на стабилизированном относи­ тельно базовой системы координат основании. На рис. 2.8 показана ориентация измерительных осей акселерометров, кото­ рые являются в настоящее время единственным автономным средством измерения приращения «кажущегося» ускорения.

Следует учесть, что задачи инерциальной навигации, т. е. определение параметров движения КА при работающей двига­ тельной установке, решаются на коротком временном интервале. Длительность Д/ин этого интервала легко может быть рассчитана по формуле

тк

где гщ — масса КА; т к — скорость изменения массы КА;

42

AV — приращение скорости К.А, реализуемое его двигатель­ ной установкой;

с — скорость истечения продуктов сгорания.

Для современных ЖРД в зависимости от задач, выполняемых КА, значение Д/ин лежит в пределах от долей секунды до сотен секунд [6, 22]. На коротких по времени участках движения вполне допустимо применять уравнения движения КА в центральном поле притяжения и не учитывать возмущающие воздействия. Тогда уравнения движения (2.34) могут быть записаны в виде

на БЦВМ будут поступать не составляющие вектора ускорения, а интеграл от проекций ускорения на оси базовой системы коор­ динат. Функциональная схема вычислений положения и скоро­ сти КА на участках движения с работающей двигательной уста­ новкой приведена на рис. 2. 9. Выходные величины интеграторов

кажущихся ускорений Va~ / u?dt после преобразования системы координат суммируются с интегралами компонент гравитацион­

ного ускорения VTP= j r d t . В результате получается вектор ско­ рости V, а последующим интегрированием — вектор положения г.

Решение системы дифференциальных уравнений (2. 35) можно получить численным способом. Исключение составляют уравне­ ния движения КА (2.29), полученные для частных случаев представления правых частей, например, при постоянных проек­ циях ускорения на орбитальные оси [20], решение которых имеет вид

где xo, Уо, 2o, xo, yo, zo — компоненты векторов положения и ско­ рости КА в начальный момент времени t0.

Решение системы дифференциальных уравнений вида (2.35) численным способом можно получить, например, при помощи метода Рунге—Кутта [12]. Рассмотрим четырехточечную схему

43

вычислений, которую необходимо реализовать на БЦВМ для чис­ ленного решения дифференциальных уравнений движения.

В общем случае система дифференциальных уравнений дви­ жения относительно вектора состояния Xlt. . Х„ имеет следую­ щий вид:

d X x

®1 {t, X b . ^ X t ) ,

dt

(2.37)

d X n

YnV» * 1 ,*„)■

dt

Если считать на каждом шаге интегрирования предыдущий результат за начальный, то значения параметров последующего шага будут

* ! = * „ + Д*1,

....................... (2.38)

х „ — Х пй-\- А Х п.

Значения приращений АХи . , АХп определяются соотношением

дХ 1 = ^ ( К 11+2/С 21+2/С31+ //С 41),

............................................................. (2.39).

А Х п= \ { К , Л Ж 2п+ 2К зп + K in).

Коэффициенты Кп, Д21, • ■■. Кы определяются из выражений

Хц —A^Pi^oi X w ,..., X па),

к1п—Д^РлС^» Х 10,..., Х п0);

К 2п

^ 3n = A ^A (4> + Y ’

^4i = A^Ti(^o+ ^ il.

К in= д^исрл ^ >

где At-a — шаг интегрирования.

44

Анализ приведенной схемы вычислений при использовании информации от инерциальных датчиков показывает, что для ее реализации требуются значительные затраты вычислительного времени и объема памяти. Повышенные требования к БЦВМ, реализующей эту схему решения дифференциальных уравнений движения, усугубляются следующими основными факторами:

— необходимостью определения параметров движения КА в реальном масштабе времени при получении исходной информа­ ции, поступающей от инерциальных датчиков;

— необходимостью использования малого шага интегрирова­

ся высокой точности определения текущих параметров движе­ ния КА.

Существенное сокращение вычислений можно получить, если использовать для определения местоположения и скорости КА системы разностных уравнений [6]:

Vи = Vk-i~\r bV ak-f y - {(ug\ + {Ug)k- 1 }Д^и

где Vak — интеграл по времени кажущегося ускорения для момента времени 4;

(ug)h — вектор гравитационного ускорения, являющийсяфункцией местоположения КА в момент времени А.-,

Этот метод получил название — метод «среднего ug», так как скорость КА вычисляется осреднением вектора ug за интервал одного шага интегрирования.

Метод «среднего Ug» удобно применять как в реальном мас­ штабе времени на активных участках движения КА, так и при выключенной двигательной установке (7а&=0) для экстраполя­ ции местоположения и скорости КА на сравнительно небольшие временные интервалы (порядка 1 ч). Так при движении КА на околоземной орбите по истечении 35 мин после начала вычис­

мирования до восьмого десятичного знака [6].

В вычислительном процессе при реализации приведенного ме­ тода преобладают операции сложения и умножения.

45

Диапазон изменения вычислительных величин достаточно велик. Так, изменение кажущегося ускорения для различного уровня тяг ЖРД может находиться в диапазоне величин 1 • 10~4— 1 -10—2 км/с2 [6, 10]. В то же время определение составляющих вектора гравитационного ускорения Ug связано с вычислением величин, соизмеримых с текущим расстоянием КА от центра при­

тяжения.

В настоящее время большое внимание уделяют инерциальным методам навигации без применения гиростабилизированной платформы. Системы, реализующие такие методы, называют «бескардановыми». В этих системах чувствительные элементы устанавливаются непосредственно на борту космического аппа­ рата [6]. Нагрузка на БЦВМ в этом случае значительно возра­ стает, так как ориентацию космического аппарата определяют интегрированием дополнительной системы дифференциальных уравнений, переменными которой являются измеренные угловые скорости аппарата.

Одним из возможных способов такого типа является способ, в котором выходные величины с установленных непосредственно на борту КА акселерометров преобразуются в проекции кажу­ щегося ускорения на оси инерциальной системы. Проекции век­ тора кажущегося ускорения в системе, неподвижной относитель­ но аппарата, к / и в инерциальной системе ыт связаны преобра­ зованием йт = Мсйт/, определенным матрицей направляющих косинусов Мс. Дополнительные вычисления, которые должна выполнять БЦВМ, сводятся к вычислению текущих значений мат­ рицы направляющих косинусов для преобразования вектора ускорения из одной системы координат в другую.

Обычно бесплатформенные навигационные системы находят применение как аварийные. На рис. 2. 10 приведена функциональ­ ная схема такой системы, основными узлами которой являются блок чувствительных элементов, состоящий из жестко установ­ ленных на борту трех гироскопов и трех акселерометров с уси­ лителями их сигналов, аналого-цифровой преобразователь и вычислительная машина.

Этот способ, реализуемый в реальном масштабе времени на участках движения КА с включенной двигательной установкой, требует больших объемов памяти для хранения результатов вычислений, связанных с пересчетами матриц направляющих косинусов.

Наиболее часто применяются матричные преобразования и вычисления тригонометрических функций. К инерциальной на­ вигации примыкают задачи определения параметров движения КА на участках полета после выключения двигательной уста­ новки (т. е. при йу = 0). Указанные задачи, как правило, решают численным интегрированием уравнений движения (2.25) или

Вместе с тем следует отметить, что в работах [9, 10] получено

46

замкнутое решение дифференциальных уравнений движения КА в поле Земли, потенциал которого с точностью до квадрата сжа­ тия аппроксимирует потенциал земного тяготения.

Общее решение задачи определения параметров движения КА с учетом приведенных допущений имеет вид

где

47

Коэффициенты md, nd, sd находят при помощи постоянных интегрирования Cdl, Cd2, Cds по формулам

md = Cdi, nd= C di-\-2Cda, sd= — C2d^-\-2Cda. (2.46)

Величины C dl, Cdi, Cda являются функциями начальных

условий.

Решение однородных уравнений (2.29) также известно в яв­ ном виде и может применяться для определения параметров ■движения при решении задач коррекции или сближения. Реше­ ние системы (2.29) в относительной системе координат имеет вид

2 (t) =. z 0cos (at-f- 4A sin at.

CO

Выбор метода для определения параметров движения КА при помощи БЦВМ зависит от нескольких факторов:

. — требуемой точности определения параметров движе­ ния КА;

—времени, отводимого для решения задачи на БЦВМ;

—величины временного интервала, на котором определяют

координаты и скорость КА.

Численное решение дифференциальных уравнений движения КА (2.27) можно применять для точной экстраполяции пара­ метров движения на сравнительно длительные временные интер­ валы Дt3. Время счета на БЦВМ существенным образом зави­ сит от величины Д/э.

Уравнения (2.25) удобно решать численным методом при полетах КА в окрестностях планет назначения или Земли на коротких временных интервалах, длительность которых меньше периода обращения A 4 < 7 kа- Время счета на БЦВМ сущест­ венным образом зависит от величины Д^э.

Решение уравнения движения с достаточной для практических целей точностью, полученное в виде (2.42) — (2.46), можно применять при полетах КА в окрестности Земли. Время счета на БЦВМ не зависит от длительности временного интервала, на который экстраполируются параметры движения. Этот метод

48

решения влечет за собой необходимость вычисления интеграль­ ных функций [см. выражения (2.44) — (2.46)].

Решение уравнений движения в орбитальной системе коорди­ нат не представляет большой сложности для реализации на БЦВМ. Однако точность решения сравнительно невысока и зави­ сит от расстояния КА от начала системы координат.

2.4. НАВИГАЦИЯ НА СВОБОДНЫХ УЧАСТКАХ ПОЛЕТА

На участках свободного полета уточняется положение кос­ мического аппарата, полученное численным интегрированием уравнений движения. Уточнение осуществляется по данным изме­ рений при помощи астросистем. Схема навигации для участков свободного полета приведена на рис. 2. 11, где га, Уа — векторы положения и скорости КА, соответствующие концу активного участка движения в момент времени t&\ Е — вектор измерений, например, угловые координаты астроориентиров с шумами изме­ рений; г, V — оценки векторов положения и скорости КА, полу­ ченные по данным статистической обработки результатов изме­ рений; (К) — ковариационная матрица параметров движения; Ец — вектор шумов измерений.

параметров движения; hn(t) — вектор шумов измерений; E(t) —

вектор измерения; П(/) — оценка параметров движения КА. Задача оценки вектора параметров движения может быть

рассмотрена в следующей последовательности.

Имеется ^-мерная статистическая выборка измерений E(h), используемая в дискретные моменты времени 4 (&=1, 2 ,..., п).

Измерения E(th)=Eu связаны с вектором состояния П (4 ) = П й функциональной зависимостью

Таким образом, измеряются не сами параметры, а некоторые функции параметров. На последние в процессе измерений накла­ дываются случайные шумы с известным или неизвестным распре­ делением.

Рассмотрим теперь возможные способы обработки стохастиче­ ской выборки измерений Eh, связанной с параметрами П& зави­ симостью (2.48). Любая оценка параметров движения, получен­ ная по информации, носящей случайный характер, будет иметь

49