книги из ГПНТБ / Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие

матическими конструкциями: для описания процессов функциони­ рования и взаимодействия подсистем, наряду с функциональными операторами, использовать логические операторы; для имитации случайных процессов и последовательностей разрабатывать раз­ личного рода датчики случайных чисел; при анализе многоканаль­ ных систем привлекать схемы и методы описания, которые отно­ сятся к теории массового обслуживания и т. д.

Несмотря на такое значительное многообразие способов описа­ ния реальных процессов, практически все реальные системы могут

[1] (подсистемами подобных систем являются агрегаты). Процес­ сы преобразования входной информации в агрегатированных си­ стемах осуществляются с учетом текущего состояния каждого агре­ гата. В агрегатах формирование выходных сигналов происходит в соответствии с некоторым заданным алгоритмом, который учиты­ вает не только вероятностную природу функционирования элемен­ тов агрегата, но и реально существующие обратные связи. Част­ ными случаями агрегатированных систем являются системы: дина­ мические, массового обслуживания, кусочно-линейные, введенные

впрактику И. Н. Коваленко [14] и т. д.

Вобщем случае при использовании того или иного способа

описания реальных подсистем моделирующий алгоритм может быть записан с помощью операторных уравнений вида [4, 6]

(4.1.6)

где zг- — текущее состояние i-й подсистемы в момент t; гi(t0) — на­ чальное состояние i-й подсистемы в момент начала ее функциони­ рования i0; xLj (0 — вектор-функция, определяющая входной про­

цесс i-й подсистемы; (i, Xl;][o — входное сообщение для i-й под­

системы (входное сообщение определяется совокупностью упоря­ доченных пар (i, x L[) для всех ie7\-, где 7\ — множество моментов

времени, в которых рассматривается функционирование i-й под­ системы). В каждой /-й реализации на модели i-й подсистемы вектор-функцию xL; (t) выбирают из некоторого известного мно­

жества функций L*(i), t^Ti.

Для различных подсистем функциональные зависимости (4.1.6) будут получаться, естественно, отличными друг от друга. Совокуп­ ность всех функций xlj (i) в пространстве их определения

60

входном сообщении (t, xL]Jo выражением [4]

Процессы смены состояний в такой системе описываются соот­ ношениями

z{t, c)={z1(0,..., zJOb z(f, c)£Z ,

где H — оператор функционирования сложной системы, опреде­ ляющий алгоритм взаимодействия ее подсистем.

Разработка алгоритма математической модели системы на этих принципах позволяет создать программу на ЭВМ, состоящую из субблоков, которые можно при необходимости заменить или скор­ ректировать по результатам физических экспериментов другими более точными аналогами. При этом модель взаимодействия под­ систем, которая обычно гораздо сложнее моделей элементов, остается без изменений, если в системе не нарушено функциональ­ ное взаимодействие ее.реальных элементов.

§ 4.2. ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Опытно-теоретический метод оценки показателей эффективно­ сти сложных систем основан на использовании результатов мо­ делирования и потому предусматривает создание математических моделей, которые должны с достаточной точностью описывать изучаемые процессы и явления. Для сложных систем разрабаты­ ваемые модели обычно получаются 'чрезвычайно громоздкими. В значительной степени сложность создаваемых моделей зависит и определяется математическим обеспечением моделей, разраба­ тываемым для обработки результатов моделирования. Основу ал­ горитмов математического обеспечения моделей составляют рас­ четные формулы методов, используемых при постановке экспери­ ментов на модели и обработке всех полученных результатов. По­ этому на этапе создания моделей сложных систем стремятся вы­ брать метод математического моделирования, удовлетворяющий следующим требованиям:

1. Расчет оценок выходных показателей должен осуществлять­ ся с использованием достаточно простых алгоритмов обработки; 2. Определение необходимого объема моделирования из усло­ вий достижения заданной точности оценок выходных показателей ■должно происходить на основании простых и в то же время доста­

точно точных соотношений;

61

3. Методика организации экспериментов на модели долж быть по возможности простой и реализуемой на средствах исполь­ зуемой вычислительной техники.

Наиболее полно всем указанным требованиям удовлетворяет метод моделирования, основанный на методе статистических испы­ таний [2], [11]. Этот метод обладает высокой помехозащищенностью к случайным ошибкам, возможным при проведении отдельных опытов.

Расчетные формулы метода статистических испытаний базиру­ ются на основном законе теории вероятностей — законе «больших чисел». Практическое использование этого закона гарантирует при увеличении числа статистических испытаний на модели получение все более и более точных оценок (алгоритмы обработки обеспечи­

вают при N-+оо сходимость по вероятности, т. е. R=ilim R:i:). Стрем-

N->-oo

ление достичь максимальной информации в результатах статисти­ ческого моделирования обычно приводит к очень простой схеме организации экспериментов на модели: для удовлетворения этому требованию эксперименты на модели осуществляют так, чтобы они были независимы по ансамблю реализаций. С практической точки зрения реализация метода статистических испытаний при оценке характеристик сложных систем связана с разработкой и включением в математическое обеспечение создаваемых моделей датчиков случайных чисел с такими законами распределения, ими­ тация которых не предусмотрена в математическом обеспечении используемых ЭВМ. При разработке датчиков анализируют до­ вольно широкий круг вопросов, среди которых основными явля­ ются [3, 21]:

1. Оценка качества генерирования случайных величин и слу­ чайных последовательностей (проверка законов распределения, определение циклов периодичности и случайности генерируемых чисел и т. д.) ;

2. Анализ возможности повышения быстродействия используе­ мых датчиков.

Изучение последнего вопроса особенно важно при статистиче­ ском моделировании сложных систем.

К недостаткам метода статистических испытаний следует от­ нести тот факт, что этот метод для точностей, предъявляемых при практических оценках, приводит к довольно большому объему мо­ делирования. Этот недостаток является следствием того, что метод статистических испытаний не полностью использует все априорные сведения о динамике функционирования системы и не учитывает особенностей законов распределения параметров системы. Более полно указанные свойства учитывают интерполяционный метод и метод Б. Г. Доступова [12, 13], которые наиболее широко применя­ ют при анализе точностных нелинейных автоматических систем сравнительно невысокой сложности. При определенных условиях, в частности, когда рассматривают задачи оценки первого и второ­ го моментов выходных характеристик, а функциональная зависи-

62

мость выходного показателя выражается квадратичной формой, удается достичь такого положения, при котором необходимое число интегрирований исходной системы уравнений линейно зависит от числа параметров, определяющих закон распределения входных случайных параметров и случайных начальных условий. При ана­ лизе более сложных систем, когда модель системы описывается сложными математическими конструкциями, преимущества рас­ сматриваемых методов по сравнению с методом статистических испытаний с точки зрения выигрыша в объеме моделирования рез­ ко уменьшаются.

Например, для метода Б. Г. Доступова, если не применять ни­ каких специальных мер, порядок роста числа реализаций, кото­ рые необходимы для оценки математического ожидания выходного

q= 5 получить N=2r2+ 1.

В этом случае квадратичная зависимость N от г приводит к тому, что при оценке характеристик сложных систем, для которых обычно г > 100, необходимое число реализаций уже получается сравнимым с тем, которое нужно при использовании метода стати­ стических испытаний. По этой причине и в силу того, что метод статистических испытаний более прост в программном исполнении, область эффективного применения метода Б. Г. Доступова, так же как и интерполяционного, получается несколько уже, чем метода статистических испытаний, в том отношении, что они дают выигрыш в объеме моделирования на уровне подсистем, а порой и чаще все­ го при рассмотрении элементов реальных сложных систем.

В настоящее время внимание широкого круга исследователей обращено на разработку аналитических методов анализа сложных систем.

Интерес к подобным вопросам в значительной степени обуслов­

охарактеризовать изучаемые процессы и явления.

Успех практического применения аналитических методов во многом зависит от обоснованности допущений, принимаемых при описании реальных систем. В этом отношении к интересным и практически важным результатам следует отнести результаты фор­ мализации процесса функционирования сложных систем с исполь­ зованием кусочно-линейных систем, введенных и теоретически обос­ нованных И. Н. Коваленко [14].

Выделение такого подкласса агрегатированных систем целесо­ образно, так как для анализа кусочно-линейных систем можно применить методы аналитического исследования и с помощью их изучить общие закономерности в сложных системах, которые с до-

63

статочной для практики точностью могут быть описаны подобными математическими конструкциями.

Если считать, что процессы изменения переменных осущест­ вляются в соответствии с некоторыми дифференциальными или другого рода функциональными уравнениями, то логическая струк­ тура кусочно-линейных систем дает возможность описывать более широкий класс реальных систем. Однако в последнем случае воз­ можности применения аналитических методов исследования резко сокращаются.

§ 4.3. ОГРАНИЧЕНИЯ НА СЛОЖНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

При анализе сложных систем возможность применения мате­ матических моделей в значительной степени зависит от сложности’ их программной реализации и времени моделирования, необходи­ мого для расчета искомых характеристик. Если оценку показате­ лей качества реальной системы осуществляют по результатам ста­ тистического моделирования, то достоверность принимаемых ста­ тистических выводов определяется точностью имитации процессов в реальной системе, временем проигрыша одной случайной ситуа­ ции и тем количеством реализаций, которые нужно провести на модели. Если точность рассчитываемых оценок задана, а время моделирования ограничено рядом технических условий или сооб­ ражений, разработка алгоритмов моделей, сравнительно просто реализуемых на средствах используемой вычислительной техники, приобретает важное практическое значение. Однако стремление к простоте математических описаний находится в известном проти­ воречии с точностью имитации исследуемых процессов. Поэтому при разработке допустимых вариантов структурного описания каждого оператора модели системы нужно учитывать:

1)требования к точности оценок характеристик качества ра­ ботоспособности или эффективности системы;

2)возможности практической реализации моделей на исполь­ зуемых ЭВМ;

3)ограничения на интервал времени, необходимый для полу­ чения оценок.

Указанные требования и ограничения определяют некоторую

совокупность условий, которые необходимо реализовать при выбо­ ре наилучшего варианта построения математической модели систе­ мы. Обычно эти ограничения, по своему физическому смыслу ха­ рактеризующие пределы изменения параметров системы, относят к ограничениям второго рода и записывают для каждого структур­ ного описания модели системы в виде системы неравенств:

где g ъ — некоторые функции вектора параметров модели с.

64

Кроме того, при разработке моделей сложных систем учитыва­ ют ограничения первого рода, которые выражают в виде некоторой системы равенств относительно известных функций:

(4.3.2)

К ограничениям первого рода относят уравнения, описываю­ щие процессы в реальной системе, а также некоторые другие усло­ вия, которые могут быть выражены с помощью подобных соотно­ шений.

Часто, чтобы учесть ограниченный объем информации, получае­ мой при проведении физических экспериментов, в системы урав­ нений (4.3.1), (4.3.2) вводят равенства и неравенства математиче­ ских ожиданий от соответствующих функций:

где у — вектор случайных последовательностей или процессов, полученный при проведении физических экспериментов.

Однако при недостаточной априорной информации записать в явной форме все ограничения не удается (такой случай характе­ рен для сложных систем). В связи с этим многие ограничения удается сформулировать только в виде некоторых рекомендаций, в форме словесных формулировок, а иногда и в виде общих поже­ ланий относительно допустимой сложности структурного описания разрабатываемой модели. Такая неопределенность значительно усложняет процедуру выбора наилучшего варианта построения математической модели.

§ 4.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К ТОЧНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОДСИСТЕМ

При разработке моделей важно организовать работу так, чтобы программирование моделирующих алгоритмов подсистем велось параллельно и была уверенность в том, что точность описания про­ цессов в подсистемах обеспечивает требуемую точность расчета выходных показателей эффективности всей сложной системы.

Чтобы удовлетворить этим требованиям на практике рассмат­ ривают целый комплекс задач, связанных с определением допу­ стимых ошибок в имитации процессов в каждой подсистеме. При­ чем на начальном этапе в условиях неполной информации при постановке этих задач обычно используют очень упрощенное описа­ ние для всей сложной системы, но такое, чтобы оно достаточно пол­ но отражало вероятностную природу функционирования реальной системы. Для этих условий, если не вводить новых обозначений для упрощенного оператора системы и предположить, что ошибки моделирования можно выразить через суммарные ошибки задания вектора параметров с, то на основании (4.1.7) для каждого фикси­

с отклонениями критерия качества от некоторого номинального значения:

мом описании систем (выход из строя элементов системы, разрывы непрерывности в моменты включения и выключения системы, в не­ которых случаях процессы преобразования z (t) в z(t + ht) для произвольных t и т. д.), то полная вариация 6R(t\c), когда опера-

тор Н* аддитивен и однороден по /f(H*(4, £0))= SH *(^, *\--i),

t0] при t= l, 2, ..., s — свойство дистрибутивности оператора Н*) может быть записана так [22]:

При записи (4.4.2) предполагалось, что текущие моменты про­ цесса функционирования системы t=ii (при t= l, 2,..., s) и вектор ее состояния z (t) являются функциями от вектора параметров мо­ дели с, а момент включения t0 системы не зависит от с. Вероятно­ стная природа процесса функционирования рассматриваемых си­ стем приводит к тому, что производную dz/dc необходимо понимать как производную случайной вектор-функции z(c, i) по вектору па­ раметров с. В дальнейшем будем определять указанную производ­ ную как производную Гато (слабая производная):

где ц — некоторое вещественное число.

Для определения производной dtjdc, входящей в (4.4.2), необ­ ходимо знать уравнение поверхности

66

цирования неявной функции, нетрудно получить:

При практических расчетах необходимо помнить, что для боль­ шинства реальных элементов эти уравнения определяют процессы скачкообразного изменения переменных F(t), z(t) в моменты вре­ мени ti~=ti—0. Производные, входящие в (4.4.5), как и производ­ ная dz/dc — слабые производные.

Так как ошибки моделирования являются в общем случае слу­ чайными величинами, то при разработке моделирующего алгорит­ ма системы с учетом принятых методов его дискретной реализации целесообразно потребовать, чтобы вероятность его последующей

где А — величина, характеризующая требуемую точность расчета показателя эффективности системы R(t/с).

При разработке моделей реальных систем величину А задают на основании опыта, с учетом целевого назначения системы и тех требований, которые предъявляют технические задания на точность оцениваемых показателей качества. Но так как уравнение связи между 5R(t\c) и 6с одно, то решений уравнения о распределении требований к точности моделирования подсистем может быть по­ лучено бесчисленное множество. Поэтому при разработке моделей сложных систем привлекают экспертов и на основании их оценок строят совокупность весовых коэффициентов рь р2, ..., Рь опреде­ ляющих алгоритм распределения А по каждой подсистеме:

Кроме рассмотренного выше способа, можно предложить и дру­ гие способы, среди которых нужно выделить один простой и в то же время достаточно наглядный способ деления А на части А,-. По этому способу весовые коэффициенты (5грассчитывают как суммы относительных ошибок оценки параметров Сш каждой г-й под­ системы:

по (4.4.7).

Необходимость постановки и решения подобных задач опреде­ ляется тем, что при известных требованиях значительно упрощает­ ся выбор метода моделирования и способов дискретной реализации

операторов, описывающих процессы в реальных элементах систе­ мы. Если модель разрабатывают для оценки векторного показате­ ля R j с), то задача распределения требований к точности моде­ лирования подсистем получается более сложной, чем в рассмотрен­ ном выше примере.

§ 4.5. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММ МОДЕЛЕЙ

Для сложных систем программная реализация моделирующих алгоритмов обычно начинается на этапе проектирования, когда степень разработанности моделирующего алгоритма является не­ достаточной, чтобы полностью исключить вероятность его после­ дующей доработки. В связи с этим на этапе анализа возможных способов построения блок-схемы программы необходимо преду­ сматривать требования, связанные с оперативным вводом измене­ ний в созданную программу. Для этой цели программа модели системы разбивается на ряд логически законченных модулей. На практике широко распространенным способом разбиения програм­ мы является трехуровневое разбиение на: укрупненные модули (макромодули), соответствующие принятому разбиению системы на подсистемы; модули, соответствующие функционально обособ­ ленным элементам каждой подсистемы; простые модули (микро­ модули), определяющие некоторые логически замкнутые опера­ ции, которые выполняют в соответствии с моделирующим алгорит­ мом для рассматриваемого элемента системы. Такое разбиение позволяет сравнительно просто реализовывать процессы доработ­ ки программ, если в этом есть необходимость после проведения испытаний на реальной системе.

Кроме указанного способа разбиения программ моделей слож­ ных систем, существуют и другие, которые при определенных усло­ виях могут стать доминирующими. Так, на начальной стадии кри­ териями оценки эффективности создаваемых программ являются результаты, получаемые при решении задач:

1) определения времени окончания разработки программы ма­ тематических моделей;

2)оценки экономических затрат, необходимых для разработки программ;

3)оценки необходимого количества исполнителей для разра­ ботки программ заданной сложности.

Сложность решения этих задач определяется недостаточной априорной информацией как о завершенности моделирующего ал­ горитма, так и о необходимых количественных оценках временных

иэкономических затрат, затрачиваемых программистом на коди­ ровку и отладку программы различного размера. Кроме того, не­ маловажное значение имеет если не полное отсутствие методик, то во всяком случае очень приближенный способ оценки сложности разрабатываемой программы.

68

Предложенная в работе [23] шкала логической сложности про­

стоту и обоснованность используемых терминов, является все же субъективной, так как оставляет значительный произвол в оценке сложности конкретной программы. Но тем не менее эта шкала вно­ сит определенный порядок в процесс оценки сложности програм­ мы и потому может быть использована при сравнительных оценках сложности двух или нескольких программ.

По своему содержанию первые две задачи являются задачами анализа, а третья задача относится к задачам синтеза.

Для постановки и решения первых двух задач необходимо иметь

шей квалификации в единицу времени; ASi — затраты на програм­ миста 1-й квалификации в единицу времени; ASM— стоимость экс­ плуатации машины в единицу времени.

В работе [23] приведена также шкала квалификации програм­ мистов в зависимости от времени его работы:

Если все исходные данные известны, то можно привести рас­ четные формулы, которые будут отражать временные и экономиче­ ские затраты на кодировку программы программистом i-й квали­ фикации:

Чтобы определить суммарные временные и экономические за­ траты на разработку программы, нужно знать этапы ее создания и долю каждого этапа в процессе разработки программы. Для гру­ бых оценок времени создания программы можно рекомендовать следующие результаты [23]:

69