книги из ГПНТБ / Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие

М А б А ?

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ И АНАЛИЗА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

§ 7.1. ТРЕБОВАНИЯ К МЕТОДАМ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Испытания любого устройства, подсистемы или системы в де­ лом неразрывно связаны с проведением измерений. Именно в результате измерений получают данные, характеризующие способ-, ность испытываемой системы решать те задачи, для которых ее со­ здавали. Поэтому успех испытаний зависит прежде всего от орга­ низации эксперимента, выбранных условий и метода измерений, который был использован при проведении наблюдений. Рассмот­ рим задачи, связанные с организацией вычислений при математи­ ческой обработке результатов измерений, так как только правиль­ ное их решение позволит оценить истинность полученного резуль­ тата в ходе испытаний, даст возможность установить необходимые закономерности и обеспечит безошибочность выводов и заклю­ чений.

При организации обработки результатов измерений следует прежде всего учитывать, что любые измерения содержат ошибки, По характеру ошибки измерений разделяют на систематические и случайные. Систематические ошибки порождаются определенными закономерностями, существующими при данных условиях экспери­ мента, или же объективными факторами, присущими данному объекту. Случайные ошибки при данных условиях эксперимента характеризуются непостоянностью, отражая суммарное воздейст­ вие большого числа различных, но не определяющих факторов.

Подобное деление ошибок измерений в какой-то степени носит условный характер, поскольку ошибки, являющиеся при данных условиях эксперимента систематическими, в других условиях могут быть случайными. Например, если имеет место реализация, полу­ ченная для нестационарного процесса, то ошибка, рассматриваемая как систематическая на малом промежутке времени, приобретет характер случайной при увеличении времени наблюдений. Именно отсутствие четко выраженной границы деления между системати­ ческими и случайными ошибками приводит иногда к необходимости выделения медленноменяющихся ошибок.

Поэтому одной из основных задач, которую следует решать при организации обработки, является установление способов получе­ ния оценок, обеспечивающих наилучшее приближение к истинным значениям параметров но результатам измерений, обладающих соответствующими ошибками. Выбранный метод обработки при этом не только должен обеспечивать достижение наилучшего при-

120

блнжения, но и позволять провести апостериорную оценку достиг­ нутой точности приближения.

Для получения оценок искомых параметров проводят статисти­ ческую обработку данных измерений, в результате которой в слу­ чае минимальных потребностей находят приближенные значения параметров распределения в виде математического ожидания и среднего квадратического отклонения. В большинстве случаев ис­ пользуют более полный аппарат математической статистики с при­ менением методов дисперсионного и регрессионного анализа, а так­ же методов проверки гипотез.

Оценки параметров распределения, полученные по результатам обработки измерений, иногда называют статистиками. Для оценки одного и того же параметра можно воспользоваться различными статистиками. При выборе конкретной статистики обычно учитыва­ ют их состоятельность, несмещенность, эффективность и доста­ точность.

Выполнение условий состоятельности означает, что полученная оценка сходится по вероятности при большом числе измерений к истинному значению оцениваемого параметра х, т. е.

Игл Я (| а:* — а: | < е) —» 1 ,

Л - * СО

где е — сколь угодно малое положительное число.

Несмещенность оценки говорит об отсутствии систематической погрешности, т. е. выполнении следующего равенства:

Е {х*„}=х.

Оценки, несмещенные и обладающие наименьшей возможной дисперсией, называют эффективными. Условие эффективности оце­ нок можно выразить в виде:

D{Xn\IDa= 1,

где Dn — представляет значение нижней границы дисперсии ста­ тистики х„* для данного объема выборки.

Оценку называют достаточной, если она построена на основа­ нии всей информации об искомом параметре, содержащейся в дан­ ном объеме наблюдений.

§ 7.2. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Результаты измерений, полученные при испытаниях, представ­ ляют собой фактические данные, на основании анализа которых можно придти к определенному заключению. Но для проведения анализа весь огромный массив наблюдений предварительно под­ вергают обработке, которую на практике обычно подразделяют на первичную и вторичную. К первичной обработке относят такие опе­ рации как сортировка и объединение данных, представление их в виде, удобном для дальнейшей работы, отбраковка грубых и ано­

мальных результатов. Вторичная обработка представляет собой проведение непосредственных вычислений интересующих парамет­ ров. Анализ результатов, полученных при вторичной обработке, позволяет исследователю придти к тому или другому заключению о полноте решения задач испытаний.

Совокупность наблюдений, полученная при испытаниях и пред­ ставляющая собой выборку из генеральной совокупности, может быть записана в виде упорядоченного или вариационного, возрас­ тающего ряда.

Если обозначить рассматриваемую дискретную случайную ве­ личину через х, то для вариационного ряда будет справедлива по­

нетрудно определить эмпирические вероятности Р* (x=s7x,) =k/n. Результаты наблюдений и обработки можно представить в виде

табл. 7.2.1.

Часто при большом объеме выборки для облегчения исследова­ ний прибегают к упорядочению и уплотнению статистических рядов путем построения интервального вариационного "ряда. Весь статис­ тический ряд разбивают на определенное число интер'валов, для которых подсчитывают частость попадания рассматриваемой слу­ чайной величины х. В этом случае принимают, что результаты на­ блюдений, попавшие в один интервал, обладают одним и тем же значением, соответствующим середине интервала. Тогда все данные могут быть сведены в табл. 7.2.2 в следующем виде:

В таком случае допускается погрешность, которая, однако, не будет превосходить половины длины выбранного интервала. Тем не менее это может привести к появлению систематических ошибок при определении параметров эмпирического распределения.

По данным, собранным в табл. 7.2.2, можно получить эмпириче­ скую функцию распределения, представляющую накопленные часто­

122

сти, отнесенные к серединам выбранных интервалов. Подсчет значений функции распределения можно произвести по формулам:

График полученной интегральной кривой функции распределе­ ния будет иметь вид, показанный на рис. 7.2.1.

Для характеристики непрерывных случайных величин часто ис­ пользуют плотность распределения вероятностей, которая представ­

выбранных масштабов по оси ординат и абсцисс. С увеличением длины интервалов и уменьшением их количества сложнее воссоз­ дать истинный характер кривой распределения, поэтому длину ин­ тервалов выбирают такой, чтобы количество последних составляло 10-4-20. Иногда для расчета длины интервала I используют фор­

где n —-число наблюдений.

Соотношение масштабов вдоль осей координат выбирают, руко­ водствуясь правилом «золотого» -сечения. При выборе интервалов и составлении вариационного ряда следует учитывать, что отдель­ ные результаты наблюдений могут резко отличаться от Есех осталь­ ных результатов вследствие появления грубых ошибок или недо­ пустимого нарушения условий измерений.

При натурных испытаниях сложных систем обычно привлекают большое количество измерительной техники, обслуживающий пер­ сонал которой имеет различный уровень подготовки. Вследствие этого, а также из-за случайной неоднотипности условий проведения натурных экспериментов порой возникают значительные ошибки в выходных результатах. При ограниченном объеме реальной инфор­ мации эти ошибки могут привести к неправильным статистическим выводам. Чтобы избежать подобные явления, при анализе сложных систем большое внимание уделяют определению условий, при кото­ рых можно исключить из рассмотрения резко выделяющиеся на­ блюдения.

При выявлении подобных аномальных результатов наблюдений прежде всего необходимо провести тщательный анализ измерений и проверить, не являются ли эти результаты -следствием грубого промаха или нарушения условий измерений. Если подобный анализ не устранит появившихся сомнений, то прибегают к помощи статис­ тических методов выявления грубых ошибок, позволяющих произ­ водить целесообразную отбраковку аномальных данных. Для этого можно использовать ряд различных критериев: Колмогорова; Пир­ сона; Шовенэ и др. В частности, если допустить предположение о нормальном распределении погрешностей измерений, то можно при­ бегнуть к-правилу «трех-сигма».

Учитывая, что появление значительной по абсолютной величине ошибки маловероятно, так как

Р (— Зо.г < х — т*х < За*} 0,997,

где Зет* — предельная ошибка измерений, то все |х*—т х*|, превы­ шающие величину За*, можно отнести к.категории грубых и из даль­ нейшего рассмотрения их исключить. Однако подобный подход к отработке результатов измерений требует особо тщательного ана­ лиза, так как при малой выборке оценить правильно предельную погрешность достаточно трудно.

Для отбраковки грубых ошибок молено также воспользоваться критерием Смирнова. При этом необходимо подсчитать среднюю

арифметическую величину

п

и эмпирическое среднее квадратическое отклонение

Затем необходимо найти отношение абсолютной величины раз­ ности между сомнительным результатом измерений х* и средним арифметическим значением к величине S„, т. е. рассчитать статис­

124

тику:

Бели для данного числа измерений п и выбранной надежности Р= 1—р величина | превосходит критическое значение £П(Р), то с вероятностью, большей Р, можно считать сомнительный результат измерения грубой ошибкой.

В табл. 7.2.3 приведены критические границы для различных |3. Если л>50, то верхние р-процентные точки статистики | (тх*, ох*) можно рассчитывать при j3=SC0,2 по формулам [39]:

u=W (l-P/2n),

где lF(p, п ) — функция, обратная функции нормального распреде­ ления.

125

Пример 1. Пусть в результате натурных испытаний получена выборка .v,, х2, .. . . хп, численные значения элементов которой совпадают с первой группой

На основании этих значений величина статистики:

£so ( m * . ° х ) = 2 , 8 5 1 .

Если принять вероятность ложной отбраковки анализируемых результатов, равной 0,05, то по табл. 7.2.3 при заданном а=50 нетрудно найти ей соответст­ вующее значение £ р =о,о5=3,16.

Нетрудно убедиться в том, что этот вывод справедлив и для (3<0,10.

Пример 2. Пусть для п = 15 независимых равноточных измерений некоторой величины получено среднее арифметическое значение, равное тх*= 10,17 и эмпи­ рическое значение среднего квадратического отклонения сг**= 0,73.

Пусть значение jci5= 11,5 будет сомнительным. Необходимо, используя ста~и- стические методы, решить, можно ли отбраковать этот результат?

Находим значение

S i 5 ( m * , а * ) = 1 , 8 2 .

Для и=15 и 1—Р—0,95 критическим значением £ р является величина 2,638,

что свидетельствует о том, что данный результат не следует относить к числу грубых ошибок.

§7.3. ОЦЕНКА ДИСПЕРСИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ

Врезультате измерений получают некоторую выборку, состоя­ щую из совокупности значений хи х2, х3, ..., хп. В общем случае каж­ дый замер отличается от других замеров и их отклонение от истин­

126

ного значения искомого параметра носит случайный характер (при этом предполагается, что результаты измерений уже свободны от грубых и систематических ошибок).

Чтобы по данной совокупности измерений получить приближен­ ное значение величины х, необходимо найти центр группирования последней и оценить рассеивание всех рассматриваемых результа­ тов относительно этого центра. В качестве числовых характеристик центра группирования обычно принимают математическое ожида­ ние, медиану и моду. Правда, последние две характеристики в этих целях используют сравнительно редко. На практике для характе­ ристики центра группирования определяют эмпирическую число­ вую характеристику, среднюю арифметическую величину, получен­ ную по совокупности значений хь х2, ..., хп. Среднее арифметическое значение х* в случае равноточных измерений находят по формуле:

П

Как следует из обоснований, приводимых в математической ста­ тистике, такая оценка является несмещенной и состоятельной. Если ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения, то эта оценка будет к тому же и эффективной. Последнее предполо­ жение о нормальном характере распределения ошибок измерения на практике в большинстве случаев оправдано.

Если же распределение ошибок измерений подчиняется другому закону, то эффективной оценкой может быть другая статистика. Так, для равномерного распределения ошибок измерений медиана является более эффективной оценкой, чем арифметическая средняя.

В случае неравноточных измерений в качестве оценки искомой величины х принимают взвешенное среднее арифметическое значе­ ние:

где pi —веса измерений, принимаемые обычно обратно пропорцио­ нальными значениям дисперсий ошибок, т. е.

Вследствие влияния различных случайных факторов данные на­ блюдений можно охарактеризовать определенным рассеиванием результатов измерений. В качестве характеристики рассеивания случайных величин при обработке результатов испытаний обычно

127

принимают эмпирическую дисперсию:

п

(7.3.4)

Приведенное выражение для эмпирической дисперсии позволяет получить несмещенную, 'состоятельную и асимптотически эффектив­ ную оценку. Последнее означает, что при п, стремящемся к беско­ нечности, отношение дисперсии D{SX2} к минимально возможной ее величине, неограниченно приближается к 1.

Для равноточных и независимых измерений дисперсию оценки можно охарактеризовать выражением:

Таким образом, средняя квадратическая ошибка средней ариф­ метической величины может быть представлена в виде:

т. е. средняя арифметическая величина х* в У п раз точнее отдель­ ного измерения Xi (i= 1, 2, ..., /г). В случае неравноточиых измере­ ний необходимо учитывать веса последних. Взвешенное эмпириче­ ское значение среднего квадратического отклонения величин хи Л'о, ..., хп от их среднего значения х* при этом можно определить по формуле:

Если же имеют к серий наблюдений, в которых было получено соответственно пи п2, ..., па количество измерений, то оценку диспер­ сии можно получить в виде средней взвешенной величины из эмпи­ рических дисперсий по сериям:

Для эмпирической оценки среднего квадратического отклонения величины х* в случае неравноточных измерений можно воспользо­ ваться формулой:

Рассуждая аналогично, находят погрешность, допускаемую при оценке среднего квадратического отклонения ах. В математической

128

статистике доказывается, что эмпирическая дисперсия распределе­ на по нормальному закону и характеризуется средним квадратиче­ ским отклонением:

а {S2x)— <sxJ y 2 (и— 1).

Рассмотренные эмпирические характеристики представляют со­ бой оценки искомых параметров в виде чисел, характеризующих распределение случайных величин в данной совокупности наблюде­ ний. Такую оценку параметров называют точечной. Кроме этого способа оценки параметров на практике прибегают к другому спо­ собу, основанному на определении интервала, накрывающего ис­ тинное значение искомого параметра с заданной вероятностью. Эту оценку называют интервальной, или доверительной.

Например, доверительная оценка для математического ожида­ ния в симметричном'случае может быть представлена в виде:

Доверительный интервал 1$ = (х*—е, х* + г) определяет область возможных значений полученной при обработке средней арифмети­ ческой величины х* для данного параметра х. Причем попадание х* в эту область гарантируется с заданной доверительной вероятно­ стью, т. е.

(|JC — JC* | < ep)= P,

где х* — среднее арифметическое значение, полученное в результа­ те обработки данных наблюдений; х — истинное значение искомого параметра; ер — наперед заданная положительная величина, опре­ деляемая по доверительной вероятности (надежности оценки), при­ нимаемой равной величине р.

В случае равноточных измерений, когда заранее известна точ­ ность измерений ах, доверительную оценку математического ожида­ ния можно представить через функцию Лапласа, предположив, что ошибки измерения подчинены нормальному закону. Тогда, прини­ мая во внимание, что

из уравнения

можно наити ер:

ер .= У1>аг* Ф -1ф ) = У 2 -Ц з - Ф -1 (р),

Уп

где Ф-1(р) — функция, обратная функции Лапласа.

129