книги из ГПНТБ / Цой, С. Синтез оптимальных сетей в системе управления горными предприятиями

t£-°=4, t™ = 0 .

Теперь по формуле (4.7) определим полные резервы времени работ:

Д£1= £ п.о_£Р.н_ £ 1==0_ 0 _ 0 = 0 ,

M2= t ™ —q-H—t2= 4 —о —1=3,

Д^ю—0, Д£ц—0, Afj2—0.

Полные резервы времени Att для критических работ, как известно, равны нулю, что подтверждается и нашими рас­ четами.

Как уже указывалось, продолжительность некритиче­ ской работы можно увеличить на полный резерв времени Д£г. Однако продолжительность выполнения каждой рабо­ ты, согласно формуле (4.3), ограничена сверху величиной Di. Таким образом, временную оценку i-й работы можно увеличить только в пределах dt и , т. е. + А Тогда фактическое значение отрезка времени 6tt выразит­ ся формулой

Найдем значения 6tt для нашего примера. Величины Dt возьмем из таблицы 4.1, Att уже известны, а продолжителы ность ?£ указана в квадратах возле вершин графа G](X, V)

(рис. 4.2):

6?i=m in{D i — 1\; A £i}=m in{0 — 0; 0} = 0 ,

6f2= min{Z)2— 12; A?2}= m in { 2 — 1; 3} = 1.

Аналогично получаем:

6?з— 0, 6t4— 3, 6^5— 2, '6tf> = 0, 6?7=2, 6^8— 1)

— 0, б?ю— 0, б£ц— 0, б?12= 0.

Чтобы выбрать работу, продолжительность которой нуж­ но увеличить на btt, рассмотрим коэффициенты аг. Как сле­ дует из выражения (4.1), at означает величину, на которую уменьшается объем ресурсов, когда продолжительность ра­ боты i возрастает на единицу. Следовательно, чтобы снизить общий объем используемых ресурсов, следует увеличить продолжительность той работы, которая имеет максималь­

80

ное значение коэффициента at. С помощью данных таблицы 4.1 находим тах(а^) = а3= 5. Но работа £ = 3 является кри­ тической и 66 = 0, поэтому выбираем работу со следующим максимальным значением at. В качестве такой работы мож­

лась. Длина критического пути осталась прежней: Ткр = 1 9 . Полученный граф обозначим через G + X , V).

Для работ графа G\{{X, V) снова определяем фактиче­ ский резерв времени б*£. При этом предварительно по фор­ мулам (4.8) и (4.9) находим полные резервы времени работ A*г. Проведя все вычисления, как показано выше, имеем:

66 = 0, 66 = 0, 6*з= 0, 6*4= 3, 6*5=2, 6*6= 0, 6*7=2,

6*8=1, 6*9= 0, 6*10= 0, 6*11 = 0, 6*12 = 0.

и 6 *£, а затем увеличиваем продолжительность работы £ = = 4 на величину 6*4= 2. Тогда суммарный объем ресурсов, используемых на весь проект, принимает вид

Z ^ = Z ^ —Дг4=101 —2*3=95.

С учетом найденного значения продолжительности работы £ = 4 *4= 5 + 3 = 8 и продолжительностей работ £ = 2 и £ = 5 снова определяем фактические резервы времени 6 6 . Они равны нулю для всех работ. Это означает, что нет работы, обладающей резервом времени.

При использовании резервов времени потребление ресур­ сов можно довести до общего уровня До» т. е .

В этом случае rpacJjG^CX, V) будет искомым и действия ал­ горитма закончатся. В противном случае(Z {u>>Ro) выполня­

уменьшения общего объема потребляемых ресурсов до за­ данного уровня ДоДобиться дальнейшего сокращения зна­ чения £ (1) можно только удлинением критического пути. При этом целесообразно выбрать хотя бы одну работу кри­ тического пути, увеличение продолжительности которой на фиксированную величину приведет к наибольшему уменьше­ нию расходуемых ресурсов. Такой критической работой бу­ дет та, у которой величина а г максимальна.

На первой итерации на шаге 3 получаем граф Gl(X, V) (рис. 4.2). На последующих итерациях имеем графы G2(X, V),. .. , Gk (X, V), где k — номер соответствующей ите­ рации (& = 1, 2, . . .).

Как уже отмечалось, критическими на графе Gl(X, V)

ку работы i= 3 увеличим на фиксированную величину Ah, значение которой задано предварительно. Пусть в нашем примере А/г= 1, тогда временная оценка работы г = 3 выра­ зится так: £3+ Д /г=3-{-1 = 4. Временные оценки всех осталь­ ных работ остаются равными dit а £3+Д/г — 3 + 1 = 4.

Так как одна и та же работа может неоднократно вхо­ дить в состав критического пути на предыдущих итерациях, то общую формулу для определения временной оценки лю­ бой работы можно представить в виде

где тi — количество изменений временной оценки рассмат­ риваемой работы. Очевидно, должно быть соблюдено условие

Если mi = 0 , то по формуле (4.12)

82

Далее переходим к шагу 3 второй итерации.

Шаг 3. Применяя алгоритм В к исходному графу с но­ выми значениями (4.15), получим граф G 2(Xt F), топология которого совпадает с топологией графа на рисунке 4.2. Вы­

Длина критического пути 1->3->-6->9-^10->-11->12 равна Ткр = 2 0 . Так как условие (4.6) для работ графа G2(X, V) не выполняется (Z(2) = 1 0 6 > Л о = 6 0 ), то переходим к следую­ щему шагу.

Шаг 4. Для всех работ графа G2(X, V) по формулам (4.7)— (4.10) определяем ранние начала работ £?-н , позднее окон­

чание £Р*°, полные резервы времени АЦ и фактические ре­ зервы времени бtt. Эти величины записываем в таблицу 4.2.

Используем резервы времени 6tt прежде всего на некри­ тических работах, у которых коэффициент а* максимален.

83

В нашем случае такой работой является i= 2, так как Пг= 4 будет максимальным среди а*. Заметим, что максимальное at выбирается только для тех работ, у которых резерв вре­ мени не равен нулю, т. е. 6^ > 0 . Увеличив продолжитель­ ность работы i= 2 на 8*2= 1 , тем самым уменьшим общий объем потребляемых ресурсов на Дг2= а2-6*2 = 4-1 = 4, т. е.

Z (2)==Z(2)__дг2=106—4—102.

Продолжительность работы i= 2 станет равной *2+ 8*2= = 1 + 1 = 2. При этом топология графа не изменится, воз­ растет лишь продолжительность одной из работ на величи­ ну 6*г. Полученный граф обозначим через G 2{X, V) и для него снова вычислим фактические резервы времени работ: 8*5= 2, 6*4= 3 , 8*8= 1, 8*7 = 2. Фактические резервы време­ ни остальных работ нулевые. Увеличим продолжительность работы i= 5, так как а^= Ъ максимален. Отсюда имеем:

*5+.8*5 = 2 + 2 = 4,

Лг5= а5•8*5 = 3 •2 = 6,

Z {22)= —Дг5—-102—6=96.

После внесения изменений *5= 2 + 2 = 4 в граф G^\X, V) получаем граф G22(X, V). Вновь найденные фактические ре­

После корректировки *4= 5 + 3 = 8 имеем граф G\(X ,V), то­

пология которого совпадает с топологией графа на рисунке 4.2. Вычислим фактические резервы времени для работ гра-

фа G3(Х, V): 8*8= 1, 8*7 = 2. Использовав фактический ре­ зерв 8*8= 1 , получим

*8+ 6*8= 3 + 1 = 4 ,

А г 8 = а 8 * б * 8 = 2 - 1 = 2 ,

Z \2)= Z^2)—Дг8= 9 0 —2=88.

84

С учетом t8= 3+6£g = 3 + 1 = 4 формируем граф G(2\X, V).

Фактические резервы времени работ этого графа равны ну­ лю. Проверим условие (4.11): £^2)= 8 8 >»До = 60. Это условие

не выполняется, поэтому переходим к шагу 5.

Шаг 5. Рассмотрим критические работы на графе

было равно верхней границе П3(£3=1)з = 4). Поэтому увели­ чиваем продолжительность другой критической работы (i = = 6), у которой коэффициент аь имеет наибольшее значение

ны в таблице 4.3, где приняты следующие обозначения: кон­ тур I включает работы 3 и 4— для них установлен порядок сле­ дования 3-^-4; для работ контура II выбран порядок 8-»-9->-

-> 7 ; Z(k)— объем ресурсов на работах графов Gk (X , V) (k =

85

Г л а в а V

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО СЕТЕВОГО ГРАФА ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ УРОВНЯХ НЕСКЛАДИРУЕМЫХ

РЕСУРСОВ

До сих пор мы рассматривали задачу синтеза и оптими­ зации сетевого графа при ограниченном объеме складируе­ мых ресурсов (денежные средства, материалы, сырье и энер­ гия). Однако на практике во многих производственных процессах используются нескладируемые ресурсы. Как уже указывалось, под нескладируемыми ресурсами подразуме­ ваются люди, оборудование, машины, станки и т. д. Если неизрасходованную часть складируемых ресурсов можно ре­ ализовать через некоторое время, то простои оборудования, машин, людей не восстанавливаются.

Ниже излагается синтез оптимального сетевого графа при ограниченном объеме нескладируемых ресурсов.

§ 1. Общие замечания

Предположим, что сетевая модель некоторого проекта задана ориентированным графом с полными контурами. Се­ тевая модель построена на языке «работа — связь». Работы в графе изображены в виде вершин i ( г = 1 , 2 , . . . , 2V), свя­ зи между работами — дугами иц .

Пусть для каждой работы i известен ее объем F*. Счита­ ем, что продолжительность выполнения работы обратно про­ порциональна интенсивности потребления ресурсов. Под интенсивностью понимается количество нескладируемых ре­ сурсов, используемых в единицу времени. Обозначим макси­ мальную интенсивность расходования ресурсов для i-й ра­ боты через pj. Очевидно, при такой интенсивности продол­ жительность работы будет наименьшей (обозначим ее через

87

Если обозначить через r t величину любой возможной ин­ тенсивности для работы i, то соблюдается условие

(Xz-CPi. (5.3)

Так как интенсивность потребления нескладируемых ресур­ сов меняется во времени при осуществлении данной работы, то ее продолжительность может быть определена по фор­ муле

где Vik — объем работы, выполняемой с постоянной интен­

Обозначим через R(t) переменный уровень нескладируе­ мых ресурсов, выделенных для осуществления работ проек­ та. Тогда суммарное значение интенсивностей всех работ, начатых в момент времени t, не должно превысить величи­ ны R{t). Ввиду того, что машины, оборудование, бригада и т. д. принимают целочисленное значение, функция /?(£) бу­ дет ступенчатой. Поэтому для большинства проектов ее мож­ но записать в виде

где ^k—1 и тА— соответственно начальный и конечный мо­ менты фиксированного отрезка времени;

Rk— постоянная фиксированная целочисленная величи­ на на каждом отрезке времени.

При решении задач % и t принимают целочисленные значения.

88

§2. Постановка задачи

Сучетом сделанных выше замечаний сформулируем за­ дачу синтеза сети. Требуется из данного графа с полными контурами выделить сетевой граф с минимальным значени­ ем длины критического пути посредством рационального подбора интенсивности использования ресурса на каждой работе при условии, что общий объем потребляемых ресур­ сов в любой момент времени t не превышает jR(f).

Как известно, в существующих постановках задач рас­ пределения нескладируемых ресурсов топология сети счи­ тается заданной, т. е. жестко зафиксированной. В предла­ гаемой постановке при решении отыскивается наилучшая топология, т. е. определяется оптимальный порядок следо­ вания работ каждого полного контура. Последнее сущест­ венно отличает рассматриваемую задачу синтеза сетевого графа проекта от общеизвестных постановок.

Предположим, что любая работа может выполняться с перерывами и на всех работах используется только один вид нескладируемых ресурсов.

§3. Алгоритм синтеза оптимального сетевого графа при переменных уровнях нескладируемых ресурсов

Предлагаемый алгоритм носит итерационный характер, при этом после каждой итерации число невыполненных ра­ бот уменьшается и на каждой последующей итерации рас­ сматривается новый допу­ стимый граф, в котором от­ сутствуют завершенные ра­ боты.