книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

Если обозначить максимальное значение скорости основ­

ного течения через Um, то, очевидно, всегда (U)2s^U2^ . U 2m. Знак равенства имеет место в случае [/=const. Тогда из (2.3.9) следует C\ = U, Cr= U —|3//г2, т. е. неустойчивости нет, а имеются две нейтральные волны, одна из которых распро­ страняется со скоростью основного течения, а вторая пред­ ставляет собой простую баротропную бездивергентную волну Россби (2.1.3). Этот результат является естественным след­ ствием наших предположений, так как, во-первых, мы прене­ брегли вертикальной стратификацией в (2.2.14), а во-вторых, предположение U = const, соответствующее отсутствию верти­ кального градиента скорости основного течения \ как это сле­ дует из соотношения геострофичности (2.2.4), эквивалентно отсутствию поперечного к основному течению наклона изопикнических поверхностей. Поскольку этот наклон является един­ ственным источником энергии для возникновения бароклинной неустойчивости, корни уравнения (2.3.9) при U=const всегда действительны.

Из формулы (2.3.9) также видно, что |3-эффект оказывает стабилизирующее действие на поведение крупномасштабных возмущений. С другой стороны, наличие противотечений в основном движении, приводящее к убыванию (U)2 и соответ­

ственно возрастанию отношения U2/(U)2, как это видно из формулы (2.3.9), способствует возникновению неустойчивости. Таким образом, наличие геострофически сбалансированных изменений с глубиной в знаке вертикального сдвига скорости, выражающееся в изменении знака наклона изопикн на гид­ рологическом разрезе, перпендикулярном к течению, может служить качественным критерием возможности возникнове­ ния меандров и вихрей в данном районе океана.

Если предположить, что профиль скорости близок к ли­ нейному и может быть представлен линейной функцией глу­ бины U— U2z, где сдвиг скорости t/z=const, и скорость ос­ новного течения обращается в нуль на нулевой поверхности z= 0 , то, как легко проверить интегрированием:

1 В дальнейшем мы вместо термина «вертикальный градиент ско­ рости» будем пользоваться более употребительным термином «вертикаль­ ный сдвиг скорости» или просто «вертикальный сдвиг».

70

'Зд есь.Um— максимум скорости основного течения, который в данном случае соответствует поверхности океана.

Эта формула показывает, что нарастающие неустойчивые волны (а также затухающие волны, которым соответствует отрицательный знак перед корнем) движутся с фазовой ско­

ростью cr=U—р/2£2, которая отличается от скорости обыч­

ных волн Россби (2.1.3) тем, что U — средняя по глубине скорость течения (скорость на среднем уровне £/(#/2)), а также двойкой в знаменателе второго члена в выражении для ст. Кроме того, формула (2.3.11) дает простой критерий не­ устойчивости:

• (2.3.12)

&и2т з

Эта формула показывает, что степень неустойчивости воз­ растает вместе с ростом вертикального сдвига скорости Uz, который в данном случае линейного изменения скорости про­ порционален скорости поверхностного течения (Uz— Um/H). Затем при любом фиксированном Um, (Uz), при й->оо (т. е. для коротких волн), коэффициент возрастания соi— kCi (мни­ мая часть комплексной частоты) такжебудет стремиться к бесконечности, так как в этом случае с* стремится к конечно­

ного сдвига скорости максимальная возможная длина неус­ тойчивых волн существенно увеличивается.

Ясно, что в области очень коротких волн квазигеострофическая аппроксимация становится непригодной и внутренними гравитационными волнами уже нельзя пренебречь. Тем не ме­ нее ниже будет показано, что учет вертикальной стратифика­ ции, которой мы пренебрегли, положив в (2.2.14) а = 0 , a также учет сил горизонтального турбулентного трения, позво­ ляет, оставаясь в рамках квазигеострофической модели, полу­ чить область неустойчивости, ограниченную и со стороны ко­

71

ротких волн. В частности, мы увидим, что реальные парамет­ ры океана таковы, что граница области неустойчивости со стороны коротких квазигеострофических волн будет все же еще соответствовать достаточно большим пространственновременным масштабам для того, чтобы можно было прене­ бречь внутренними гравитационными волнами. Влияние негеострофических эффектов на поведение самих градиентно­ вихревых волн, которое в некоторых важных для океаногра­ фии случаях может оказаться существенным, будет исследо­ вано позднее.

Полученный критерий неустойчивости (2.3.12) слишком слаб и не дает необходимого минимума информации о дейст­ вительной структуре неустойчивости возмущений. Поэтому мы должны рассмотреть задачу на собственные значения для си­

и w(z) с глубиной z, так как они зависят от конкретного ви­ да изменения по вертикали скорости основного течения U(z) и параметра статической устойчивости о(г). Для наших целей достаточно предположить, что первая собственная функция w(z) обращается в нуль на границах г = 0, z=H, не имеет узлов внутри области и, следовательно, имеет один экстремум где-то вблизи середины области (z=H/2).

В дальнейших расчетах будем учитывать только силы го­ ризонтальной турбулентной вязкости, поскольку опыт реше­ ния большого числа океанографических задач показывает, что вертикальная турбулентная вязкость сущес-твенна лишь в от­ носительно тонком экмановском слое трения. Поэтому в урав­

= 0) по z и подставляя результат в (2.2.14), получим диаг­ ностическое соотношение, связывающее w н v при заданном основном течении U(z) в один и тот же момент времени (от­ сутствие в этом уравнении с согласно волновому представле­ нию (2.2.1) эквивалентно отсутствию производных по време­ ни) . Это соотношение, вместе с первоначальным уравнением

Для приближенного определения первого собственного зна­ чения с как функции заданных параметров задачи перейдем от дифференциальных уравнений (2.3.14) и (2.3.15) к конеч­ но-разностным соотношениям, следуя обычному пути, приня­

72

тому в метеорологиипри построении «многоуровенных» мо­ делей. Для этого разобьем всю толщу основного течения Я, в котором приближенно будем считать о = const, на четыре

слоя точками z= 0 , z = H j 4, z=HI2 = AH, — Я, Я. Значению

4

каждой функции, отнесенному к данной дискретной точке, бу­ дем приписывать соответствующий индекс 0, 1, 2, 3, 4. Запи­

Уравнение (2.3.14) запишем для уровня ’/гЯ:

Здесь предположено, что можно заменить о2 на — (о34yi)-

Считая, как и ранее, что скорость основного течения линейно меняется с глубиной Uz= U zz, (Uz= const), составляя сумму и разность уравнений (2.3.16) и вводя обозначения

перепишем систему уравнений (2.3.16), (2.3.17) в виде:

(Я — с) о — ((5/&2 + ivk) v + AUAv = 0,

(2.3.19)

При выводе, этой системы использованы следующие выте­ кающие из определений (2.3.18) тождества

73

Чтобы однородная система (2.3Л9) имела нетривиальное

решение относительно неизвестных V, АК, w2, ее детерминант должен обращаться в нуль:

(2.3.21)

После некоторых преобразований равенство (2.3.21) при­ водится к алгебраическому уравнению:

ность растет с глубиной, ось 2 направлена вверх). В даль­ нейшем при производстве численных расчетов целесообразно

Обозначая действительную и мнимую часть подкоренного выражения через а и ib, получим:

74

Одно из двух решений (2.3.25), дающее с*>0, приводит к не­ устойчивости.

Если в формуле (2.3.24) произвести предельный переход к случаю отсутствия вязкости и вертикального сдвига скоро­ сти (v-»-0, £/m->0), то после простых преобразований получим для с два действительных решения:

Эти решения соответствуют существенно нейтральным вол­ нам, рассмотренным выше. А именно, с\ соответствует бездивергентным волнам Россби (2.1.3), а С2 решению (2.1.32) для дивергентных бароклинных волн. Имеется только неко-

торое. отличие в величине к о. Согласно определению (2.3.23) величина ко в (2.3.27) равна:

дают хорошее количественное приближение к первому собст­ венному значению (2.1.32), полученному на основании точного решения дифференциального уравнения ■(число 8 вместо я). Это дает достаточные основания полагать, что общая форму­ ла (2.3.24) также дает достаточно хорошее количественное приближение для первого собственного значения граничной задачи для системы двух дифференциальных уравнений пер­ вого порядка (2.2.14) и (2.1.24) (при v i= 0 ). (Эта система может быть, конечно, приведена к одному дифференциально­

му уравнению 2-го порядка для wt при граничных условиях ш(0) =до(А) = 0 ). Процедуру, приводящую к определителю (2.3.21), можно было бы распространить на большее число уровней по г с тем, чтобы вычислить собственные значения высших порядков и получить некоторые количественные уточ­ нения для первого собственного значения. Это, конечно, свя­

75

зано с очень громоздкими вычислениями. Мы не будем этого делать, потому что, как было показано, приближение для пер­ вого собственного, значения (2.3.24) является достаточно хо­ рошим для наших целей и затем, что более важно, высшие собственные значения обычно соответствуют более устойчи­ вым решениям, как это было, в частности, видно и при рас­ смотрении задачи о рэлеевской конвекции в I главе.

Для перехода к расчетам диаграмм устойчивости надо за­ даться численными значениями параметров основного состоя­ ния. Поэтому в следующем параграфе будут конспективно рассмотрены некоторые данные океанографических наблюде­ ний, которые могут представлять непосредственный интерес.

§ 2.4. Крупномасштабные меандры и вихри в системе Гольфстрима и в некоторых других районах океана

Изучение средних полей гидрологических характеристик было центральной задачей физической океано­ графии на протяжении всего времени ее существования’. Изу­ чение пространственно-временных колебаний стало возмож­ ным только в послевоенное время после создания новой изме­ рительной аппаратуры: батитермографа, глубоководных зон­ дов температуры и солености, самописцев течений БПВ и ЭМИТ, поплавков нейтральной плавучести и т. д.

Поскольку мы хотим связать характер и структуру иссле­ дуемых возмущений с параметрами среднего состояния океа­ на, то мы прежде всего остановимся на районе Гольфстрима, для которого имеются не только сравнительно детальные дан­ ные, характеризующие среднее состояние, но и данные «квазисиноптических съемок», полностью отсутствующие для боль­ шинства районов океана. Кроме того, вся система Гольфстри­ ма представляет собой часть одного из наиболее характерных звеньев океанической циркуляции в средних широтах: запад­ ное пограничное течение, отделенное от берега полосой холод­ ной воды и отходящее около 35° с. ш. от берега в открытый океан. На рис. 6, заимствованном из работы О. И. Мамаева (1959), использовавшего данные операции «Кабот» (1950), показано положение «теплого стрежня» Гольфстрима.

Участок течения от Флоридского пролива до мыса Гаттерас нанесен по данным рейсовых судов, положение которых определялось при помощи прецезионной радионавигационной системы «Лоран». Участок от м. Гаттерас до 55° з. д. нднесен по данным известной съемки «Кабот» (июнь 1950), в котсь рой одновременно участвовало шесть судов и самолет, снаб­ женный радиационным термометром (Fuglister, Wortington, 1951). На рис. 7 приведен характерный разрез температуры поперек Гольфстрима .(примерное положение этого разреза

76

Рис. 6. Схематическое положение «теплого стрежня» в системе ■ Гольфстрима в июне 1950 г.

Рис. 7. Температурный разрез через Гольфстрим от Чесапикского залива к Бермудам, сентябрь 1932 г. (по Айзелину, 1936). Поло­ жение разреза схематически обозначено цифрой 1 на рис. 5

июнь-июль 1965г.

указано на рис. 6 цифрой 1) (Iselin, 1936). Мы не приводим распределение солености, так как в районе Гольфстрима из­ менения солености невелики, и поле плотности определяется главным образом изменениями температуры. Обращает на себя внимание сильный наклон изотерм от холодных шельфо­ вых вод к теплым водам Саргассова моря, пропорциональный

.запасу «доступной потенциальной энергии».

Рис. 9. Распределение температуры на разрезе «Атлантиса» (26.VII— 6.VIII 1931) вдоль Срединного Атлантического хребта (30° з. д.) по Айзелину (1936). Рельеф дна показан густой штриховкой

• На начальном участке от Флоридского пролива до мыса Гаттерас Гольфстрим проходит над обширной мелководной областью материкового склона (плато Блейк), глубиной 800— 900 м. Течение достигает скорости 2—3 м/сек на поверхности, хорошо прогрето на глубине (температура придонных вод не опускается ниже 8—9°С), однако горизонтальный наклон изо­ терм имеет такую же (или даже большую) величину, как и на разрезе рис. 7 (рис. 8). Затем примерно около 33° с. ш., поток покидает материковый склон и выходит на глубокую воду с глубинами до 4000—4500 м. Далее до .60—55° з. д. течение следует в основном в восточном направлении. Это участок «собственно Гольфстрима» по терминологии Г. Стоммела (Stommel, 1963). Плотность «подстилающих» течение холодных глубинных вод постепенно увеличивается вниз по течению (Мамаев, 1959, табл. 1) от ot= 25,45 до а« = 25,85 (по определению аг= (р —1) ■103 «условная плотность»). На этом участке «собственно Гольфстрима» сохраняются большие ве­ личины скоростей течения (например, по данным Уортингто­ на (Wortington, 1954), до 2—2,5 м/сек на поверхности) и со­ ответственно большие значения вертикального сдвига скоро­ сти. К востоку от 60° з. д. картина течения становится весьма запутанной и нерегулярной. Данных наблюдений явно недо­

79