книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

что неравенства выполняются для любых разумных значе­

Мы видим, что формулы для скорости градиентно-вихре­ вых волн (2.1.29) и (2.1.32) совпадают с формулами (2.1.7) и (2.1.11), если в (2.1.32) положить U,=0. Некоторое разли-

,н н

чие между величинами gnH и g' ——— несущественно и

Нх+ Н2

связано только с заменой непрерывно стратифицированной _ среды двуслойной системой. В книге Ф. Томпсона (1962) на примере дивергентной баротропной модели показана экви­ валентность последовательного использования квазигеострофического приближения и использования приближенных кор­ ней в дисперсионном уравнении вида (2.1.28). Важно заме­ тить, что хотя с формальной точки зрения квазигеострофиче-

50

ское приближение сводится к понижению порядка уравнения вихря по времени, степень справедливости этой аппроксима­

ции, как видно из анализа общих дисперсионных уравнений (2.1.22) и (2.1.28), связана с тем реальным фактом, что скорости длинных гравитационных волн в океане (или атмо­ сфере) намного больше скоростей градиентно-вихревых волн.

Используя более сложные модели и метод элементарных волновых решений, можно, разумеется, получить дисперсион­ ные уравнения более высокого порядка, которые будут опи­ сывать одновременное существование волновых движений различной физической природы, содержащихся в общих уравнениях гидродинамики (градиентно-вихревые, поверх­ ностные и внутренние гравитационные волны, акустические волны и т. д.).

В связи с этим можно высказать следующий формаль­ ный принцип. Возможность реального выделения того или иного класса волновых движений в «почти чистом виде» обеспечивается тем, что размерные физические параметры океана (или атмосферы) таковы, что корни дисперсионного уравнения лежат далеко друг от друга. Иначе говоря, факти­ ческие скорости распространения волновых возмущений раз­ личной физической природы сильно отличаются друг от друга. В качестве наглядного примера укажем, что учет реальной плотностной стратификации практически не меняет выводов обычной теории приливов и, напротив, замена сво­ бодной поверхности океана твердой стенкой, фильтрующей поверхностные волны, практически не меняет вида внутрен­ них гравитационных волн. Это связано с тем, что в реальном океане стратификация столь мала, что скорость длинных внутренних волн оказывается намного меньше скорости длинных поверхностных волн. Следовательно, по крайней мере по отношению к волновым движениям, можно сказать, что наличие плотностной стратификации практически не меняет баротропной компоненты движения, но приводит к возбуждению новых «внутренних степеней свободы» (бароклинных компонент). С другой стороны, если бы угловая скорость вращения Земли была бы настолько большой, что скорость градиентно-вихревых волн стала бы приблизитель­ но равной скорости длинных внутренних гравитационных волн, квазигеострофическая аппроксимация не имела бы реального значения, иными словами, состояние океана и

атмосферы никогда бы не приближалось к геострофическому равновесию.

Таким образом, нам хотелось бы подчеркнуть, что хотя проблема отфильтрования представляет собой нечто боль­ шее, чем отбрасывание малых членов в уравнениях движе­ ния, она является не математической, а физической пробле­ мой и связана с реальными значениями размерных физиче­

ских величин, характеризующих состояние океана или атмосферы. Как было показано А. М. Обуховым (1949), большая скорость распространения негеострофических вол­ новых возмущений (внутренних гравитационных волн) в реальной атмосфере обеспечивает быструю адаптацию к со­ стоянию квазигеострофического равновесия медленных градиентно-вихревых волн, ответственных за погодообразую­ щие процессы. В основополагающих метеорологических ис­ следованиях И. А. Кибеля (1940), Дж. Чарни (Charney, 1948), А. М. Обухова (1949) были выяснены основные физи­ ческие аспекты проблемы отфильтрования. Вскоре оказалось, что эта проблема имеет решающее практическое значение для построения схем численных прогнозов погоды. А именно для перехода от дифференциальных уравнений к наиболее употребительным конечно-разностным схемам, шаги по вре­ мени и координатам во избежание чисто вычислительной неустойчивости должны удовлетворять известному нера­ венству:

где с — максимальная скорость распространения волновых возмущений, описываемых рассматриваемой системой урав­ нений. Поэтому с практической точки зрения очевидна жела­ тельность исключения из уравнений решений, соответствую­ щих быстрым звуковым и гравитационным волнам.

Как показывают наблюдения, в атмосфере амплитуды градиентно-вихревых волн на порядок и более превышают амплитуды внутренних гравитационных волн. Например, амплитуды • колебания давления (Томпсон, 1962, гл. VI) в волнах Россби нередко превышают 20 мб, а во внутренних гравитационных волнах и атмосферных приливах обычно составляют только доли миллибара. (Амплитуды акустиче­ ских волн, разумеется, еще меньше.) Поэтому квазигеострофические фильтрующие модели в принципе должны давать хорошее приближение для описания реального поля атмо­ сферного давления.

Хотя для всей толщи океана и атмосферы средние значе­ ния параметра статической устойчивости N, определенного формулой (2.1.20), имеют примерно одинаковый порядок (рис. 5), как показывают наблюдения, во многих районах океана (в отличие от атмосферы) относительные амплитуды внутренних гравитационных волн, связанных с вертикальной стратификацией N, могут быть не малы по сравнению с амплитудой крупномасштабных квазигеострофических меанд­ ров и вихрей, а также с амплитудой пространственных изме­ нений средних океанографических характеристик.

52

Приведенные на рис. 5 распределения частоты ВяйсяляБрента (Эккарт, 1963) очень грубо характеризуют некоторое среднее распределение статической устойчивости по высоте в океане и атмосфере. (Для удобства мы в отличие от

Эккарта даем значения в одних и тех же единицах для океана и атмосферы.) Слои сезонного и главного термо­ клина, а также свободная поверхность являются своего рода волноводами, в которых концентрируется энергия высоко­ частотных внутренних гравитационных волн. Распределение

53

статической устойчивости в приводных (или приземных) слоях атмосферы, которые (в отличие от океана) нагревают­ ся главным образом снизу (от подстилающей поверхности), является весьма нерегулярным и подвержено сильным изме­ нениям. Поэтому «чисто турбулентные» процессы, осложнен­ ные явлениями конвективной неустойчивости и приводящие к резкому увеличению диссипации кинетической энергии, по-видимому, имеют в нижних слоях атмосферы большее зна­ чение, нежели более или менее регулярные колебания типа внутренних гравитационных волн. Напротив, многие наблю­ дения в океане (в частности, экспрессные съемки с помощью буксируемых систем) указывают на довольно регулярные колебания в поле гидрологических характеристик (обычно измеряется температура), связанные, по всей вероятности, с внутренними волнами. В частности, недавние измерения Э. Смита (Smith, 1967), проведенные с помощью термисторной системы «Чейн» в Северном экваториальном течении Тихого океана, обнаружили ряд крупномасштабных цикло­ нических и антиклонических вихрей с характерными мас­ штабами порядка 70—140 км и амплитудой колебания изо­ терм от периферии до центра вихрей до 120 м. Исследование более детальной термической структуры этих вихрей (имею­ щих, по-видимому, квазигеострофический характер) показы­ вает наличие более мелкомасштабных колебаний, имеющих характерную длину волны порядка 3,3 км и амплитуду коле­

баний изотерм до 37 м, которые естественно интерпретировать как свободные длинные внутренние волны, имеющие сущест­ венно негеострофическую природу. Таким образом, если бы по аналогии с метеорологическим краткосрочным прогнозом, речь шла о прогнозе будущего состояния данного района океана, основанном на -использовании какой-либо квазигеострофической модели, реальная ситуация в океане сущест­ венно отличалась бы от вычисленной именно за счет наличия внутренних высокочастотных волн значительной амплитуды. Тем не менее для нас важно подчеркнуть, что согласно из­ ложенной выше процедуре отфильтрования, реальные свойст­ ва океана таковы, что с теоретической точки зрения оба класса волновых движений (градиентно-вихревые и негеострофические внутренние волны) могут быть изучены не­ зависимо, с хорошей степенью приближения, а реальное состояние океана удовлетворительно может быть описано простой суперпозицией таких решений. Впрочем, едва ли вероятно, что даже в далеком будущем процессы, соответст­ вующие таким относительно высокочастотным и мелкомас­ штабным явлениям, как внутренние гравитационные волны

вокеане, могут быть предсказаны чисто динамическим пу­ тем. К внутренним гравитационным волнам мы возвратимся

вIII главе, а сейчас, закончив рассмотрение вопросов от-

54

лых зональных пространственных масштабов {kx~>ky), отра­ жающиеся от западной стенки, диссипируются под влиянием трения вблизи стенки.

Все вышеприведенные соотношения имекй1 существенно дисперсионный характер, т. е. для полной определенности формул следует задать волновое число или частоту. Из фор­ мулы для частоты бароклинных волн Россби (2.1.11) в дву­ слойной модели легко получить, что максимальное абсолют­ ное значение частоты соответствует

для баротропно_й_дивергентной волны Россби (2.1.10) дают

Tmin ~ 7 сут. VgH=200 м/сек, С= <втах/&о« 20 м/сек, L0 = = 1200 км. Как видим, в баротропной модели длина волны вполне сравнима с размерами океанов. Поэтому М. Лонге-

Хиггинс (Longuet-Higgins, 1966), М. Раттри и Р. Чарнелл

(Rattray, Charnell, 1966) и другие исследователи уделили значительное внимание исследованию собственных квазигеострофических колебаний в замкнутых бассейнах. _В этом

случае уравнение для амплитуды функции тока ф (х, у) сводится к хорошо известному уравнению Гельмгольца при нулевом граничном условии на твердых границах

Мы не будем останавливаться на исследовании собственных колебаний такого вида, а также на вопросах отражения планетарных волн Россби от твердых границ, а скажем только несколько слов о вынужденных решениях.

Наиболее важной проблемой динамики градиентно-вихре­ вых волн в физической океанографии является вопрос о ме­

56

ханизме возбуждения этих волн. Г. Стоммел и Дж. Веронис (Stommel, 1956) рассмотрели действие периодического во времени и пространстве ветра на неограниченный двуслой­ ный океан. М. Лонге-Хиггинс (Longuet-Higgins, 19656)

исследовал вопросы возникновения планетарных волн на основе уравнения

для более общего случая ветра, ограниченного во времени и пространстве, а также для движущегося шторма. Оказалось, что при обычных величинах тангенциального напряжения ветра скорости возбуждаемых нестационарных квазигеострофических течений не превышают нескольких сантиметров в секунду. Употребляемая в этих моделях запись тангенциаль­ ного напряжения ветра в виде фиктивной массовой силы,

действующей на слой океана, толщины Н: —г ■, по-види-

РН

мому, слишком груба при описании неустановившихся дви­ жений и совсем не годится в области высоких частот изменения ветра, соответствующих периодам, меньшим поло­ вины маятниковых суток. Во всяком случае численные оценки величины возбуждаемых скоростей имеют весьма ориентиро­ вочный характер. Более подробный обзор некоторых послед­ них работ дан в статье А. С. Монина, В. М. Каменковича, Р. В. Озмидова, Б. А. Тареева (1966). Большие величины возбуждаемых скоростей течений могут быть получены в слу­ чаях резонанса (Pedlosky, 19656). Однако эти случаи кажутся слишком специфичными, чтобы ими объяснить ши­ рокое распространение неустановившихся течений значитель­ ной амплитуды. Более того, мы покажем, что собственные пространственные и временные масштабы систем движения в океане существенно отличаются от таковых в атмосфере, что в среднем уменьшает возможности резонансного взаимо­ действия.

Механизм бароклинной неустойчивости, к рассмотрению которого мы переходим, позволяет, по-видимому, наиболее естественным путем объяснить флуктуации океанских тече­ ний на больших глубинах, возникновение крупномасштаб­ ных меандров и вихрей, а также до некоторой степени воз­ никновения крупномасштабной турбулентности.

Как мы увидим, бароклинные градиентно-вихревые воллы, которые лежат в основе этого механизма, будут сущест­ венно изменены вследствие взаимодействия с полем средней циркуляции. Во-первых, и это самое важное, их амплитуда будет возрастать по мере распространения, а скорости рас­

57

§ 2.2. Постановка задачи о бароклинной неустойчивости в океане в квазигеострофическом приближении

. с учетом сил горизонтального турбулентного трения

Проблема устойчивости крупномасштаб­ ных волновых квазигеострофических возмущений возникла в метеорологии (Charney, 1947; Eady, 1949; Kuo, 1952, 1953; Fjortoft, 1950; и др.) как основа для объяснения физической природы циклогенеза, рассматриваемого в качестве некото­ рого вида гидродинамической неустойчивости (главным об­ разом, бароклинной неустойчивости).

Ввиду чрезвычайно больших трудностей анализа даже в линейной постановке задачи с помощью метода элементар­ ных волновых решений были исследованы сильно идеализи­ рованные модели при ряде ограничивающих предположений.

скорости. Поле возмущений предполагалось квазигеострофическим и также не зависящим от широты, влиянием турбу­ лентного трения и теплопроводности пренебрегалось. Кроме того, различные авторы в процессе решения использовали другие упрощения. Так, например, Р. Фьортофт (Fjortoft, 1950) и Дж. Холомбо (Holomboe, 1959) предполагали от­ сутствие вертикальной 'статической устойчивости (верти­ кальной стратификации), Э. Иди (Eady, 1949) и Р. Фьор­ тофт (Fjortoft, 1950) пренебрегали влиянием р-эффекта.

Во всех случаях задача устойчивости рассматривалась не как задача с начальными условиями (задача Коши), а рас­ сматривались решения вида элементарных волн, аналогичных

(в предположении независимости решения от одной из про­ странственных координат у или z) к задаче на собственные значений для ©быкновенного несамосопряженного дифферен­

циального уравнения, где амплитудный множитель ср являет­ ся неизвестной функцией. Волновое число k по определению считается действительным, а фазовая скорость волн с (или частота со) играет роль собственного значения задачи и

может, вообще говоря, принимать комплексные значения, т. е.

58

Из выражений (2.2.1) и (2.2.2) видно, что в этом случае величина сг сохраняет смысл фазовой скорости волны, а ве­ личина an= Cik — коэффициент при мнимой части комплекс­ ной частоты может быть назван коэффициентом возрастания, так как он характеризует степень экспоненциального изме­ нения амплитуды волны по мере ее распространения. Очевид­ но, если а - > 0 , то амплитуда волновых возмущений экспонен­ циально нарастает и такие решения соответствуют неустой­

няющимся без изменения амплитуды. Все рассмотренные в предыдущем параграфе примеры соответствуют как раз таким волнам, т. е. все дисперсионные уравнения дают только действительные значения для с при любых действительных k. Это объясняется тем, что все рассмотренные в § 2.1 модели были слишком просты и не содержали никаких источников энергии для роста волновых возмущений и, следовательно, никакого механизма для развития возмущений. Если, нако­

ность (см., например, Линь, 1958), что в ряде случаев позво­ ляет существенно упростить вычисления, решение задач на собственные значения с комплексным параметром является очень трудным. Поэтому в большинстве упоминавшихся выше метеорологических работ исследователи ограничива­ лись нахождением нейтральной кривой, ограничивающей область неустойчивости. Тем не менее сравнение с синопти­ ческими данными показало, что многие важные черты цикло­ генеза, такие, как скорости распространения и размеры цик­ лонических волн, правильно объясняются теорией бароклинной неустойчивости. Во всяком случае, на начальном этапе развития циклонических волн может быть получено удовле­ творительное соответствие между теорией и наблюдениями. Поэтому можно полагать, что в основе теории лежит правильный физический механизм. Конечно, модельные линейные задачи принципиально не в состоянии детально описать преобразование нарастающей волны в циклонический

или антиклонический вихрь, и поэтому на поздней стадии циклогенеза возможно только качественное сопоставление.

Поскольку возникновение (и само существование) цикло­ нов является одной'из наиболее характерных особенностей атмосферы, а бароклинная неустойчивость является, по край­ ней мере, одной из важнейших причин циклогенеза, можно поставить вопрос, могут ли существовать циклонические вол­ ны и циклоны в океане, возникающие под действием анало­

59