книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

конвекции. Во 2-м столбце таблицы в скобках даны значе­ ния потенциальной температуры. Как видно, на трех нижних горизонтах отсутствует сверхадиабатическое повышение тем­ пературы и отрицательная статическая устойчивость обязана своим существованием только уменьшению солености с глу­ биной. Другие приложения рассмотренной теории, в частнос­ ти к изучению режима придонных вод Средиземного и Чер­ ного морей, были сделаны Ю. А. Владимирцевым (1964) и Е. А. Плахиным (1968).

§ 1.5. Другие граничные условия. Вариационный метод

Влияние вида граничных условий на па­ раметры конвекции было подробно исследовано с учетом вращения системы координат в работах Чандрасекхара (Chandrasekhar, 1961) при ограничении случаем, когда век­ тор угловой скорости вращения параллелен ускорению силы тяжести. Чандрасекхар рассмотрел три вида граничных усло­ вий: скольжение или прилипание на обоих границах слоя, а также прилипание на одной и скольжение на другой гра­ нице. Оказывается, что прилипание (по сравнению со сколь­ жением) при слабом вращении (малых числах Тэйлора) дей­ ствует стабилизирующим образом, однако при больших чис­ лах Тэйлора, напротив, приводит к уменьшению критических чисел Рэлея. Другой предельный случай, когда вектор угловой скорости перпендикулярен ускорению силы тяжести (экватор),

был рассмотрен в § 1, 2, 1.3 применительно к океанологиче­ ским проблемам. Из результатов этих параграфов видно, что

условия возникновения конвекции оказываются существенно иными, однако в целях упрощения вычислений был рассмот­ рен только случай скольжения на границах. Ниже эта задача обобщается применительно к другим граничным условиям (прилипание и прилипание со скольжением). Ввиду сущест­ венно возрастающих трудностей прямого решения задачи будет, как и в работе Чандрасекхара (Chandrasekhar, 1961), Пеллыо и Саусвелла (Pellew, Soushwell, 1940), использован приближенный вариационный метод. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах автора и О. П. Ни­ китина (1971, 1971а).

Если исключить давление из линеаризированных уравне­

задачи в безразмерных координатах (х, у, z)=h~1(x\ у г ' ) можно записать в виде:

30

(вектор вращения направлен вдоль оси у), i1 — отклонение температуры от невозмущенного распределения температуры с постоянным градиентом Р, направленным противоположно вертикальной оси z, как и сила тяжести g; w, Z, — вертикаль­

Здесь D — djdz-, а2 = 12+ т 2\ Q= f2hi\ - 2\ R=py¥ (kv)~1— числа Тэйлора и Рэлея. Если выбрать начало координат в середине

тегрирования по частям при любом виде граничных условий

ное условие D% = 0.

31

Как следует из уравнений (1.5.2), если О и ш — вещественны, то £ должно быть чисто мнимым, так что I2— положительно определенный функционал.

Равенство (1.5.6) дает вариационный принцип для опреде­

уравнение (1.5.3) для w. Рассмотрим случай прилипания на

функции 'fl'(z), w(z), не имеющие узлов внутри области. По­ этому для F(z) в качестве пробной функции естественно взять удовлетворяющую (1.5.4) четную функцию вида:

Задача состоит в нахождении таких значений вариацион­ ного параметра А и горизонтального волнового числа а (яв­ ляющегося фактически вторым вариационным параметром), которые соответствуют минимальным значениям R в (1.5.6) при заданном числе Тэйлора Q. Поскольку (D2—a2)F = —Ra2w,

то из (1.5.3) следует (D2—a2)3w—Qm2w —(D2—a2)F. Если F

задано (1.5.7), решая это неоднородное уравнение и сохраняя только четную часть решения, получим:

з

w = £ В,- ch q-z + С1у1cos nz + А (С0у0 -f С2у2 cos 2яг).

(1.5.8)

Из второго уравнения (1.5.2) при ш, заданном (1.5.8), по­ лучим выражение для £ (достаточно взять только частное ре­ шение неоднородного уравнения):

Cn = n2л2 -f a2; Yn = [Cn -f (m2Q)]~l.

Подставляя (1.5.8) и (1.5.9) в граничные условия (1.5.4), получим:

з

ch f = A(Ciy2- C 0yQ) ^ A A 1,

/=i

32

Определитель этой неоднородной относительно Bj системы равен:

Здесь (и далее):

Выражения для алгебраических дополнений Bj, в которые также входят определенные выше величины, здесь не приво­ дятся ввиду громоздкости формул. Ниже дается только окон­ чательный вид интегральной формулы (1.5.6) после подста­ новки в нее явных выражений для ш, £ с коэффициентами Bj, определенными из (1.5.10):

s- 4я2 [I (с2 + х) + l/Зт] (с2 — х)] +

+ ? 2Ахх —А1с1— А3 ( — + —

(As = дс» (Y0 — Ya), Р« = *2 —спл: + с2п).

Далее

В соответствии с обычной методикой из (1.5.12) определим

dR/da = 0. После подстановки сюда значения /? получаем урав­ нение для вариационного параметра Л:

Коэффициенты в (1.5.13) зависят от а и Q. Поэтому, фикси­ руя параметр вращения Q (число Тэйлора), для каждого из (1.5.13) определяем Л. (Заметим, что при вычислении в (1.5.13) берется арифметическое значение корня, так как от­ рицательное значение соответствует высшему собственному значению или большим R и должно быть исключено.) Затем,

данном Q), определяет горизонтальное волновое число конвек­ тивных ячеек. Для каждого заданного Q вся вычислительная процедура повторяется.

34

Если для вычисления w, как и в предыдущем случае, вос­ пользоваться уравнением

в решении необходимо считать отличными от нуля все шесть произвольных постоянных. Однако, как показывают предыду­ щие вычисления, выражение (1.5.7) для F можно упростить, положив Л = 0. Это приводит к относительной ошибке, мень­ шей 1% в определении Rc. Поэтому при вычислениях доста­ точно ограничиться использованием одного вариационного параметра а (учет А находится за пределами точности графи­ ческого представления результатов на рис. 2а). Тогда общий интеграл (1.5.14) можно записать в виде:

зз

систему для Aj, Bf.

3

V B , ch-3L = 0,

1 2

/=i

36

3

;=i

3 3

(1.5.18)

Определяя отсюда Aj, Bi и подставляя результат в (1.5.17), получим:

Aj нужны только в промежуточных вычислениях для опреде­ ления Bj из (1.5.18). Сами Aj не входят в выражение (1.5.17) ввиду четности пробной функции F. В (1.5.19) использованы следующие обозначения:

37

Здесь 6 i— определитель системы (1.5.18), остальные обозна­ чения использовались выше.

Путем вычисления min R (а) при фиксированном числе Тэйлора Q была построена кривая 2 RC=RC(Q) на рис. 4. Эта кривая занимает промежуточное положение по отношению к кривым 1 (прилипание) и 2 (свободные границы). При Q>105 различие в граничных условиях практически перестает'сказы­ ваться. Существенной особенностью случая смешанных гра­ ничных условий является монотонное убывание горизонталь­ ных размеров конвекционных ячеек (возрастание горизон­ тального волнового числа а) с увеличением Q (кривая 2а на рис. 4). Поскольку меридиональное волновое число, как ука­ зывалось выше, должно соответствовать фактической протя­ женности конвективного слоя вдоль меридиана, увеличение а с ростом Q соответствует увеличению зонального волнового числа конвективных ячеек. Как видно из рис. 4, при малых числах Тэйлора (до Q ~103) прилипание на границах оказы­ вает стабилизирующее действие (как и в классическом случае Q = 0), однако при больших Q ~ (103—104) кривые, соответст­

вующие смешанным граничным условиям и свободным грани­ цам, поднимаются вверх несколько круче кривой 1 (жесткие границы), так что при IgQ 5*3,5 порог устойчивости дости­ гается снизу сначала для кривой 1 (прилипание), затем для

соответствует случаю свободных границ, однако порог устой­ чивости достигается снизу ранее всего для случая смешанных граничных условий (у Чандрасекхара Т= ?2г№/у, где fi — вертикальная компонента параметра Кориолиса). При Q> 105 кривые Rc=Rc(Q) в логарифмическом масштабе практически

сливаются в одну кривую, т. е. значения Rc практически пере­ стают зависеть от использовавшихся граничных условий.

Случай свободных границ, наиболее простой в вычисли­ тельном отношении, был также исследован с помощью вариа­ ционного метода. Представляло интерес сравнить результаты

существенно упрощаются ввиду симметрии граничных усло­ вий, и выражение для R принимает, в конце концов, следую­ щий вид:

38

(Пробная функция F (z) в (1.5.7) была взята при Л = 0.) Здесь

S2 = qxth — 2 -f 21, остальные обозначения прежние.

2

На рис. 4а показаны кривые RC=RC(Q). Кривая 1 соответ­ ствует Rc, вычисленному по формуле (1.5.21), кривая 2 полу­ чена в § 1.3 при использовании приближенного граничного

условия D4w = 0 при г = + . Как видно, отличие кривых

•друг от друга невелико и соответствует ограниченному диапа­

что в рассмотренных конвекционных задачах этот метод осо­ бенно эффективен в смысле точности. Это связано с тем, что в соответствии с принципом Рэлея задача конвекции являет­ ся сама по себе в некотором смысле экстремальной задачей и, кроме того, в процессе решения примерно «три четверти»

уравнений интегрируются точно.

Заметим, в заключение, что хотя во все наши формулы входит потенциальная температура, поток тепла, связанный с молекулярной теплопроводностью, определяется градиен­ том фактической (а не потенциальной) температуры. Поэто­ му если жидкость, находящаяся в поле тяжести, приходит с течением времени к тепловому равновесию, то это соответ­

39