книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

Наименьшим действительным положительным корням этого

уравнения соответствует минимальное значение s = n, (К= 1). Полагая в (1.3.7) Qz= 0, находим один нетривиальный ко­

Зя2

рень

2 2

Rc рэлеевское приближение (Rayleigh, 1916):

Re = Зос2= - j - л4 ^657,5.

Заметим, что если вместо условия скольжения использовать условие прилипания на граничных поверхностях, то в ка­ честве собственных функций получим вместо sinsz линейную комбинацию гиперболических функций. Соответствующие вычисления, проделанные без учета вращения системы коор­ динат Пелью и Саусвеллом (Pellew, Soushwell, 1940) и дру­ гими авторами, дают значение Rc^1708. Если принять условие скольжения на верхней граничной поверхности и условие прилипания на нижней, то получается некоторое промежуточное значение Rc = 1100. Таким образом, прилипа­ ние на твердых стенках, как и следовало ожидать, оказы­ вает стабилизирующее действие и увеличивает критическое значение числа Рэлея, при котором оказывается возможной установившаяся конвекция. Ниже будет показано, что при значениях Qz, соответствующих”реальным условиям в океане, величины критических чисел Рэлея практически зависят толь­

ко от Qz, однако прежде рассмотрим пространственную структуру конвекционных ячеек в рэлеевском приближении.

Предполагая квадратной структуру ячеек в горизонталь­ ной плоскости (поскольку теоретически определить симмет­ рию все равно нельзя), получим:

/2 + fn2 —о, —s2 = — s2 —s2 = — .

больше вертикальных, так как на расстоянии длины волны возмущения К укладываются две конвективных ячейки.

Пусть теперь Qz=^=0. Приведем несколько числовых при­

20

= 2т2 = ас—s2.) Для Qz = 0,2-106 получим Rc= 33075, A=0,91 h.

Таким образом, действие вертикальной составляющей пара­

(п + а) Ф = — w.

Здесь уже заранее принято 1=т, так как только вхождение в виде квадратичной комбинации o — l2 + m2 + s2 позволяет понизить степень получающихся алгебраических уравнений.

dR

Из минимизирующего условия----= 0 находим:

da

а2

21

зонтальная составляющая угловой скорости вращения Земли не влияет на величину циркуляционных ячеек, но критическое число Рэлея линейно растет вместе с Qy.

~ -Таким образом, влияние горизонтальной и вертикальной составляющих параметра Кориолиса приводит к увеличению критического числа Рэлея (хотя и по разным законам), но влияние fz и fy на горизонтальные размеры циркуляционных

ском масштабе», т. е. по оси ординат для X — кривых отло­ жены значения безразмерной длины волны X/h в зависимости от логарифма Q. Поскольку горизонтальная компонента па­ раметра Кориолиса не влияет на величину циркуляционных ячеек, кривая l = A,j/(Q) есть просто прямая, соответствующая постоянному рэлеевскому значению X/h—4.

Следует заметить, что один частный случай рассмотрен­ ной нами задачи, а именно случай высоких широт, был рас­ смотрен Л. С. Гандиным (1947) применительно к мезо-

22

метеорологическим явлениям и С. Чандрасекхарой (Chand­ rasekhar, 1953), применительно к астрофизическим пробле­ мам (конвекция в атмосферах звезд). В следующей работе (1954) С. Чандрасекхар (Chandrasekhar) рассмотрел также стабилизирующее действие магнитного поля нй конвекцию для частного случая, когда векторы силы тяжести, угловой скорости вращения и напряженности магнитного поля парал­ лельны. Следуя Чандрасекхару, легко показать, что ввиду малой электропроводности морской воды и малых значений напряженности земного магнитного поля влияние магнитного

случай высоких широт, но принят во внимание более слож­ ный характер термодинамических процессов в реальной атмо­ сфере (влияние влажности).

Возвращаясь к нашей океанографической задаче, оценим реальную величину параметра Q, характеризующего враще­ ние Земли. Пусть характерная толщина конвективного слоя имеет порядок 104 см. Характерное значение молекулярной кинематической вязкости морской воды v~10~2 см2/сек. Так

асимптотическими выражениями. Тогда для случая высоких

различие влияния горизонтальной и вертикальной составля­ ющей угловой скорости вращения Земли на критические па­ раметры конвекции.

Оценим теперь фактическое значение числа Рэлея. Пусть

могут быть получены из асимптотических формул. Представ­ ляется естественным при оценке критических параметров кон­ векции использовать молекулярные значения диссипативных коэффициентов k, v, как если бы движение начиналось из состояния покоя. Однако, когда фактическое число Рэлея

23

намного превышает критическое значение, конвекция будет иметь турбулентный характер и для расчетов значений ско­ рости конвективного движения, по-видимому, следует ис­ пользовать некоторые эффективные значения коэффициентов турбулентного обмена.

Так, например, если заменить в предыдущих оценках мо­ лекулярные коэффициенты на обычно используемые в океа­

место. В следующем параграфе сравнение с данными наблю­ дений будет проведено более систематическим образом.

§ 1.4. Сравнение теоретических результатов с данными наблюдений (некоторые замечания)

В изложенной выше теории уравнения для возмущений и граничные условия однородны, как это обычно бывает в линейных задачах гидродинамической устойчивости. Поэтому система решений вида (1.3.3) опреде­ лена с точностью до общего всем решениям постоянного амплитудного множителя. Чтобы определить этот множи­ тель, а вместе с ним и абсолютные значения всех неизвест­ ных величин, достаточно измерить значение одной из зави­ симых переменных в какой-либо точке в выбранной системе координат. Помимо определения критических параметров конвекции существенный интерес представляет определение абсолютных значений вертикальной компоненты скорости конвекции w, а также величины отклонений потенциальной температуры Ф от равновесного значения 0(z)= pz + ©o1. Только эта последняя величина может быть непосредственно найдена из данных по измерениям температуры в глубоко­ водных впадинах. Поскольку в решениях (1.3.3) физический смысл имеют только действительные части, для результи­ рующей температуры в размерных величинах имеем:

т = е (z) й(*, у, z) = pz + е0+

К сожалению, при стандартных гидрологических исследова­ ниях измерения температуры на больших глубинах редко

1 В этом параграфе для удобства письма перейдем к новой систе­

ме обозначений: величины без штрихов будут обозначать размерные переменные.

24

производятся чаще, чем через 1000 м. Анализ немногочислен­ ных материалов наблюдений показывает, что наибольшая толщина конвективных слоев имеет место в Филиппинской и

Отклонения температуры от равновесного распределения,

изображенного на рис. 3 прямыми линиями 0г0о, с большой степенью точности совпадают с полученным ранее теоретиче-

3788 м для Филиппинской впадины и 3400 м для Бугенвиль­

соответствует на рис. 3,1 расстоянию 1894 м от дна), и най­ дем из рис. 3, что соответствующее отклонение температуры

25

можно определить величину вертикальной скорости. Исполь­ зуя (1.3.3), а также вторую формулу (1.3.9) при п = 0 и фор­ мулы (1.2.7), получим.

Заметим, что для определения наибольших фактических ве­ личин нужно иметь достаточно подробные измерения темпе­

ческой серии, очевидно, никак не позволяют судить, в какой

ная величина w будет не меньше по абсолютной величине, чем

Поскольку Филиппинская впадина расположена в низких широтах, для а можно принять рэлеевское значение сг=1,5л2.

должна иметь смысл коэффициента турбулентной теплопро­

океана, для абиссальных областей слишком велико и оцен­ ки, следующие из теорий абиссальной термохалинной цир­ куляции, дают для величины k порядок 1 CGS. Если принять, что условия по горизонтали одинаковы и конвекция вызвана геотермическим притоком тепла, среднее значение которого известно (g=l,3-10-6 кал/см2сек), то учитывая, что равно­

х = 2L ~ 2CGS.

Р

Так как удельная теплоемкость Ср и плотность р равны в

единицах CGS примерно единице, то k = и =2см 2/сек,

срР

26

и, следовательно, по формуле (1.4.3) Шо~0,16-10 4 см/сек. Аналогичным путем для Бугенвильской впадины найдем при­

мерно такое же значение 0 = 0,2 и тот же порядок вертикаль­ ной скорости ш0~0,18-10~4 см/сек.

Теперь можно оценить полное время подъема частиц со дна на верхнюю границу конвективного слоя, соответствую­ щее полученным порядкам вертикальных скоростей. По­ скольку скорость изменяется по вертикали по синусоидаль­

равна соответственно 3788 и 3400 м, а порядок вертикальных скоростей 0,16-10-4 и 0,18-10-4 см/сек для полного времени подъема (или опускания), получим значения примерно 1100 и 900 лет.

Следует подчеркнуть, что такие оценки имеют весьма ориентировочный характер, так как данных о фактическом характере турбулентности на больших глубинах не имеется. Можно предположить на основании косвенных доводов (Robinson, Stommel, 1959), что в глубинных областях океана величины k, v имеют порядок 1 CGS в случае устойчивой стратификации. Однако в случае неустойчивой стратифика­ ции, рассмотренном здесь, не исключена возможность, что величина k будет порядка 102 CGS, т. е. такой же, как и в поверхностных слоях океана, и соответствующее время подъема будет приблизительно в 100 раз меньше, т. е. 11 и 9 лет.

Что касается «индуцированной турбулентности», т. е. тур­ булентности, связанной с влиянием постоянных течений, приливов и т. п., то ее влияние едва ли может быть велико за исключением тонкого придонного слоя трения. В самом деле, горизонтальные градиенты плотности в абиссальных районах океана очень малы и, следовательно, малы пропор­ циональные им вертикальные градиенты горизонтальной ско­ рости dU/dz (если предполагать условие геострофического баланса). Скорости обычных приливов имеют баротропную структуру (U = const) и более того, как это будет показано в последней главе, скорости длинных бароклинных внутрен­ них волн имеют баротропную кинематическую структуру в глубинных областях, ниже главного термоклина. Но наложе­ ние постоянной по глубине горизонтальной скорости U не оказывает влияния на ячеистую конвекцию (это может быть просто доказано путем перехода к системе координат, дви­ жущейся со скоростью U).

Более подробно, с привлечением других данных из облас­ тей физической океанографии и морской гидробиологии эти

27

вопросы рассмотрены в работе В. Г. Богорова, Б. А. Тареева (1960) в связи с чисто практической проблемой захороне­ ния радиоактивных отходов в глубинах океана. Результаты

в 1960 г., послужили одним из существенных доказательств невозможности использования океанских глубин для этих целей, во избежание радиоактивного заражения обширных водных пространств.

В отдельных районах океанской абиссали в отличие от типичных случаев, рассмотренных выше, основным фактором, формирующим отрицательную статическую устойчивость вод, является убывание солености с глубиной. Гидрологические работы, проведенные во время 33-го рейса э/с «Витязь» (1960—1961 гг.), обнаружили два таких района в централь­ ной части Аравийского моря и в Яванской глубоководной впадине. В районе глубоководной части Аравийского моря, как правило, начиная с глубин 2500—3000 м наблюдается весьма слабое (порядка сотой градуса на 100 м) понижение температуры с глубиной и несколько более сильное (в смыс­ ле влияния на плотность) уменьшение солености. Можно по­ казать (Тареев, 1964), что учет влияния солености (который в рассматриваемых случаях играет решающую роль) может быть произведен путем очень простого обобщения изложен­ ной выше теории. Именно, если привлечь уравнение соленос­ ной диффузии и предположить, что коэффициенты темпера­ туропроводности и диффузии соли равны, то в получающих­ ся соотношениях градиенты потенциальной температуры должны быть заменены градиентами потенциальной плот­ ности. (Заметим, что ввиду однородности граничных условий и малости характерных значений изменений температуры и солености такой подход эквивалентен использованию «урав­ нения плотностной диффузии» П. С. Линейкина 1957.)

В частности, число Рэлея может быть определено сле­ дующим соотношением:

и верхней границах конвективного слоя, определяемого как слой, в котором потенциальная плотность убывает с глу­ биной.

В качестве примера в табл. 3, 4 приводятся величины - статической устойчивости, рассчитанные по реальным значе­ ниям температуры и солености.

28

Таблица 3

Градиенты потенциальной плотности в придонных слоях Аравийского моря

Поскольку рассматриваемые районы находятся в эквато­ риальной области Индийского океана, для расчета критиче­ ского числа Рэлея следует использовать формулу (1.3.11) (практически можно использовать асимптотическое выраже­

числа Рэлея рассчитывать по формуле (1.4.4), то для стан­ ции 4318 получим

значительно превышают критические значения и конвекция будет иметь место, несмотря на стабилизирующее влияние вращения Земли.

Для глубоководной станции 5020, расположенной в Яван­ ской впадине значение статической устойчивости между край-

ними горизонтами 4839 м и 6334 м равно -2 ,3 -1 0-8 м-1, так

'что соответствующее число Рэлея Д= 2,12-1018; Дс= 1,5-1016. Таким образом и здесь установлено существование ячеистой

29