книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

В этом состоянии П = 0, и кинетическая энергия конвекцион­ ного движения будет в конечном счете диссипирована в тепло.

Очевидно, когда П<0, вертикальные движения в жид­ кости не могут возникнуть без внешних источников энергии, так как при положительной ' стратификации вертикальные движения связаны, вообще говоря, с совершением работы против действия архимедовых сил. Следовательно, можно предположить, что положительная стратификация подавляет вертикальную турбулентность и приводит к уменьшению эф­ фективной величины коэффициента вертикального турбу­ лентного обмена.

Статическая устойчивость, или просто «устойчивость»,

как ее принято называть в океанографии, обычно определяет­ ся так:

Здесь рп — потенциальная плотность, Т — температура, 5 — соленость, 0 — потенциальная температура. Производные р

по температуре и солености, вообще говоря, являются слабо меняющимися функциями температуры, солености и давления

(Зубов, 1947). Хотя водные массы Мирового океана, как правило, стратифицированы устойчиво, имеются важные исключения. К этим исключениям принадлежат, в частности, явления зимней вертикальной конвекции в высоких широтах, связанные с охлаждением поверхностных вод. Другим при­ мером отрицательной статической устойчивости, на которой будет сосредоточено наше внимание в этой главе, могут слу­ жить некоторые глубоководные районы океанов и, в част­ ности, придонные воды многих океанических впадин. Отри­ цательная стратификация придонных вод глубоководных океанических впадин обычно связана со сверхадиабатически­ ми градиентами температуры, так как соленость глубинных

Б. Щульца, приведенным Н. Н. Зубовым (1947).

Обращает на себя внимание полное постоянство соленос­ ти на глубинах больших 5000 м и заметное сверхадиабатиче­

ское повышение температуры на тех же глубинах. В табл. 2 даны примеры распределения температуры по В. Г. Богорову и Б. А. Тарееву (1960) для некоторых других глубоководных впадин, расположенных в различных географических облас­ тях Мирового океана.

10

Из этой таблицы также можно заметить, что сверхадиа­ батические градиенты температуры имеют место в некоторых придонных слоях, хотя эти градиенты очень малы и не пре­ вышают величины порядка нескольких сотых градуса на 1000 м. Существование сверхадиабатических градиентов

может быть связано с наличием геотермического притока тепла. Возникает вопрос, достаточны ли такие в общем малые

сверхадиабатические градиенты для фактического возникно­ вения вертикальной конвекции. Хорошо известно, что увели-

Т а б л и ц а 1

чение удельной энтропии с глубиной или соответствующее уменьшение потенциальной плотности (в частности, невыпол­

нение неравенства (1.1.1') при постоянной солености) являет­ ся необходимым, но еще не достаточным условием для возникновения конвекции. Для установления достаточных условий необходимо привлечь динамические уравнения, кото­ рые позволяют в принципе не только определить критические

параметры, но дать описание характера конвекционной циркуляции.

Классическое исследование Рэлея (Rayleigh, 1916) стало отправным пунктом для последующих работ в этом направ­ лении. С помощью метода малых колебаний Рэлей опреде­ лил критические параметры, при которых возникает конвек-

11

Т а б л и ц а 2

ция. Было выяснено, что конвекционное движение имеет ячеистый характер, и зоны подъема и опускания жидкости периодически чередуются друг с другом. Еще раныйе эти ячейки были экспериментально обнаружены Бенаром (Веnard, 1901), который рассматривал конвекцию в тонком гори­ зонтальном слое жидкости, ограниченном двумя теплопрово­ дящими поверхностями и подогреваемом снизу.

Конвекция Рэлея является характерным примером важ­ ного класса задач гидродинамической неустойчивости, для которых имеет место так называемый «принцип изменения устойчивости» (см. § 1.3). Физически этот принцип связан с тем, что возникающая конвекция является вторичным тече­ нием и соответствует стационарному решению уравнений воз­ мущенного движения. К этому же классу задач принадлежит задача устойчивости течения Куэтта между коаксиальными вращающимися цилиндрами, впервые теоретически и экспе­ риментально рассмотренная Дж. И. Тэйлором (Taylor, 1923). Джеффрис (Jeffreys, 1968) обратил внимание на математи­ ческую аналогию между задачами Рэлея и Тэйлора. Эта фор­ мальная аналогия становится полной, когда цилиндры вра­ щаются в одном направлении и зазор между ними мал по сравнению с радиусом внутреннего цилиндра, так что угловая скорость вращения основного течения может быть заменена подходящим средним значением. Хотя физическая природа дестабилизирующих сил в обоих случаях различна (центро­ бежные силы инерции у Тэйлора и архимедовы силы у Рэ-' лея), механизм'действия этих сил существенно одинаков. Увеличение скорости вращения по направлению от центра соответствует устойчивому расслоению жидкости в конвек­ ционной задаче. Напротив, при убывании скорости от центра вращения, центробежные силы инерции стремятся «вытес­ нить» быстро вращающиеся частицы в сторону внешнего

12

цилиндра, что в конвекционной задаче соответствует неустой­ чивому расслоению («тяжелые частицы тонут, а легкие — всплывают»). Диссипативные факторы в обоих случаях ока­ зывают чисто стабилизирующее действие, в отличие от «вяз­ кой неустойчивости» Гейзенберга — Линя.

Вопрос о возможности возникновения конвекции рэлеев-

ний (1959, 1960). Помимо океанографического интереса, это рассмотрение было стимулировано обсуждением вопроса о возможности захоронения радиоактивных отходов в глубоко­

ском исследовании метод возмущений. Во-первых, сверхадиа­

Затем условия практически стационарны, так как основной действующий фактор — геотермический приток тепла, по-ви­ димому, не испытывает заметных вариаций в пределах рас­ сматриваемых временных масштабов. Поэтому конвекцион­ ное движение, если оно вообще имеет место, будет факти­ чески установившимся вторичным течением. Это обстоятель­ ство делает задачу гораздо более простой и поддающейся теоретическому рассмотрению, по сравнению, например, с задачей о зимней вертикальной циркуляции в поверхностных слоях океана, где существенно изменение притока тепла во времени, и нижняя граница конвективного слоя является фактически неизвестной.

С другой стороны, как было видно из приведенных выше примеров, в глубоководных впадинах сдои отрицательной стратификации имеют значительную вертикальную протяжен­

обычное приближение Буссинеска, состоящее, грубо говоря, в том, что изменения плотности (или температуры) учитывают­ ся только в архимедовых силах, может быть использовано и

практически не налагает никаких ограничений на рассматри­ ваемую толщину конвективного слоя (очевидно, это не так при рассмотрении вертикальных движений большого масшта­ ба в атмосфере, где относительные изменения плотности могут быть порядка единицы). Как будет показано в следую­ щих параграфах, большой вертикальный масштаб движения приводит к тому, что учет вращения Земли и ускорений Ко­ риолиса играет решающую роль при установлении критиче­ ских параметров конвекции. Более того, толщина конвектив­

13

ного слоя и горизонтальные размеры ячеек имеют одинако­ вый порядок величины. Поэтому возникает необходимость учета и горизонтальной, и вертикальной компоненты силы Кориолиса, если не ограничиваться предельным случаем очень высоких широт (заметим, что большая часть глубоко­ водных впадин находится как раз в низких широтах). В обоб­ щении задачи Рэлея на случай возможно более полного уче­ та вращения Земли состоит теоретическая часть результатов, излагаемых ниже. По-видимому, это единственный пример океанографической задачи, в которой учет вертикальной ком­

поненты силы Кориолиса (или горизонтальной компоненты вектора угловой скорости вращения Земли) имеет реальное значение.

§ 1.2. Конвекция Рэлея на вращающейся Земле. Формулировка задачи

На основании замечаний, сделанных в предыдущем параграфе, мы будем пренебрегать изменения­ ми солености и сначала рассмотрим чисто термическую кон­ векцию. Верхней границей конвективного слоя будем считать поверхность, на которой градиент потенциальной температуры

переходит через нуль, а-нижней границей—дно океана. Будем также считать эти границы бесконечно протяженными и гори­ зонтальными.

Векторное уравнение движения и уравнение теплопровод­ ности могут быть записаны в виде:

скорости, о) — вектор угловой скорости вращения Земли, р' — давление, р — плотность, Т — потенциальная температура, g— ускорение силы тяжести, k' — единичный вектор по вертикали,

сятся к размерным переменным. Легко усмотреть, что в слу­ чае однородных условий по горизонтали вертикальный гра­ диент температуры в стационарных условиях и при отсутствии конвекции должен быть постоянным, так что распределение температуры будет иметь вид:

14

температур малыми, можно записать приближенное уравне­ ние состояния в виде:

где р0 — значение плотности при характерной температуре 0О, а — коэффициент термического расширения морской воды. Если расположить начало координат на дне и направить ось 2 вертикально вверх, то при отсутствии конвекции и распреде­ лении температуры (1.2.3) статическое распределение давле­ ния будет, очевидно, иметь вид:

где у= ag, р0= —gpo^+const — статическое давление при тем­ пературе 0.

Обозначим далее через ^ и — отклонения в распределе­ нии температуры и давления, связанные с возникновением конвекции, от невозмущенных значений (1.2.3) и (1.2.5), т. е. положим:

р' (*', у', z’, f ) = Рст(z) + <р' (х\ у', г', Г)

и

Г (х', у', г', t') = %{z') Г (x',y',z', П .

Считая эти отклонения и соответствующие скорости возмущен­ ного движения малыми, можно записать полную линеаризи­ рованную систему уравнений для малых возмущений в сле­ дующем виде:

dv’

kA’v — рш',

df

Po = Pol1 — a (0 — 6o)I-

15

Здесь fz= 2coz, fy=2(i)y — составляющие параметра Кориолиса на вертикаль и меридиан (ось у' — направлена на север, ось х ' — на восток, так что сож= 0), и/, v', w' — компоненты ско­

рости по осям у, х, z'\ При выводе системы использовано приближение Буссинеска, обычное в задачах свободной кон­ векции. Для выяснения минимального числа существенно не­ зависимых безразмерных параметров задачи, перейдем к сис­ теме новых безразмерных переменных по формулам:

Тогда система (1.2.6) приводится к виду:

Граничные условия наиболее естественным образом могут быть сформулированы для вертикальной компоненты скорости и возмущения потенциальной температуры ф. Поэтому из системы (1.2.8) целесообразно исключить и, ■&, ф, после чего получим-

16

§ 1.3. Решение задачи для предельных случаев высоких и низких широт

Исследование системы (1.2.10) в общем виде затруднительно, поэтому мы ограничимся рассмотре­ нием предельных случаев Fy или Fz (высокие и низкие широ­ ты). Полагая Fy = 0, вместо (1.2.10) получим

(L12 + F2z) -^=- = — АX (Loo — G#),

dz2

(1.3.1)

— A~j O'= — w.

Ввиду однородности физических условий по горизонталь­

ным осям решение должно быть периодической функцией х, у, иначе говоря, будет иметь ячеистую структуру и вопрос о

граничных условиях по х, у не возникает. Поскольку коэффи­ циенты в рассматриваемой системе не зависят от времени, как это обычно бывает в задачах гидродинамической устой­ чивости, целесообразно искать решение в виде:

В этом выражении волновые числа I, т по определению действительны и характеризуют пространственную структуру

колебания будут нарастать с течением времени. Таким обра­ зом, возникновение неустойчивости связано с обращением пг в нуль при переходе от отрицательных к положительным значениям. Для нас наибольший интерес представляет тот случай, когда конвективная циркуляция является установив­ шейся, т. е. когда пг= п {= 0. Пеллью и Саусвелл (Pellew, Soushwell, 1940) смогли доказать, в случае отсутствия вра­ щения, что если щ ф 0, то пг< 0, т. е. осциллирующее движе­ ние может быть только затухающим. С другой стороны, если tir>0, то п; = 0 и порог неустойчивости соответствует значе­ нию п = .п г= П{= 0. В этом состоит так называемый принцип изменения устойчивости. При наличии вращения строгое до­ казательство становится затруднительным и нам не удалось его найти. Тем не менее мы будем использовать этот принцип как эвристический принцип, основанный на достаточно веских физических соображениях ’. Во всяком случае ясно, что если

1 Для предельного случая низких широт этот принцип может быть строго доказан.

>-Tt > hlS4C'C'!-- я I

Р>0 (стратификация устойчива), то решением будут^ инер­ ционно-гравитационные волны, затухающие под действием

диссипативных сил, т. е. при щ Ф 0 будет пг< 0 и первая часть принципа не нуждается в специальном доказательстве. На­ хождение нетривиального установившегося решения при отрицательной стратификации будет в определенном смысле

ности раздела между конвективным слоем и вышележащими

ности температура поддерживается постоянной и равной 0ь так что возмущение температуры должно обращаться в нуль.

показать, что все высшие производные четных порядков, от # и w должны также обращаться в нуль при 2 = 1'.

Покажем, однако, что'условие прилипания на дне может быть заменено на условие d2w/dz2 = Q при 2=0. Тангенциаль­ ные напряжения на дне, вообще говоря, пропорциональны выражениям Pxz= dw/dx+du/dz, Pyz— dw/dy+dv/dz. Посколь­ ку дно считается горизонтальным и на дне <а = 0, то, очевид­

вместо скольжения на дне можно было бы выполнить точ­

ное условие прилипания, однако скольжение в данном случае представляется более естественным, так как наблюдения

указывают на существование придонного теплового погра­ ничного слоя толщиной порядка нескольких метров. По­ скольку мы рассматриваем крупномасштабную конвекцию в слоях порядка сотен метров, то граничные условия ставятся фактически на внешней границе придонного пограничного слоя. Забегая вперед, заметим, что влияние вращения Земли

18

цессов рассматриваемого здесь масштаба, что относительные изменения критических параметров конвекции, связанные с тем или иным видом граничных условий, практически не­ ощутимы.

Итак, приняв условие скольжения на дне, потребуем, что­ бы Ф и w (а также и четные производные высших порядков)

где w, v — постоянные амплитудные множители. Подставляя выражения (1.3.3) в (1.3.1) и сокращая на #=^0, получим:

[а (п -f Ра)2 + P'zS2] (п + а) + (а —s2) (п + Ра) G = 0,

сующего нас случая неустойчивой стратификации, очевидно, Р > 0, так как 0i—0о<О. Параметр Qz характеризует роль вертикальной компоненты параметра Кориолиса. Уравнение (1.3.5) позволяет теоретически определить периодичность (но не симметрию) циркуляционных ячеек. Фактически возникаю­ щая стационарная конвекция соответствует таким значениям