Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2015 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

ного слоя скачка), а другой лежал на дне вблизи верхней границы главного термоклина (500 м). Амплитуда таких «вынужденных» вертикальных смещений, связанных с кине тическим условием на дне, вблизи дна будет, очевидно, зна чительно больше, чем вблизи свободной поверхности.

	§ 3.2. Квантовомеханическая аналогия.
	Случай N = const. Внутренние			волны
	в слое скачка. Дисперсионные кривые
	Перепишем уравнение		(3.1.7)	в виде:
- 5 b +	а 2 — /	[ЛР (г) -<в*].ф =	0	(3.2.1)
dz2
и упростим граничное условие на свободной			поверхности (3.1.8)
	Ф(0) = 0.			(3.2.2)

Используя условие (3.2.2) вместо (3.1.8), мы отфильтро вываем обычные поверхностные волны и практически не ме няем вида внутренних волн или, иными словами, теряем одно решение (соответствующее нулевому собственному значению) из всего бесконечного множества собственных решений уравнения (3.2.1). Известно, что амплитуда внут ренних волн становится очень малой в непосредственной близости к свободной поверхности, что, с другой стороны, объясняет возникновение бароклинных волн значительной амплитуды внутри жидкости за счет малых смещений сво бодной поверхности. Очевидно, уравнение (3.2.1) имеет соб

ственные	решения,	удовлетворяющие	нулевым	граничным
условиям,	лишь	когда m a x N > a > f	(другой	возможный
случай f>b)>maxN не реализуется			в океанских	условиях,
где всегда	/V>f).	Соответствующие	собственные значения

образуют дискретную монотонно возрастающую последова тельность, не имеющую точек сгущения в конечной области. При больших п для собственных значений (если перейти к


безразмерной	переменной		z' = z/H)			имеет место			оценка
Хп~ пя . Некоторые		общие	свойства			решений		легко	могут
быть установлены		по аналогии			с одномерным			уравнением
Шредингера	(см., например,			Л.	Шифф,		1959):
	- ^ г	+ - \| г [ -		v (*) +		Е]^	= 0-		(3.2.3)

Так, например, каждой собственной частоте соп соответ ствует интервал глубин г{п < г < ггп, где соn<N(z), и реше ние имеет осциллирующий характер, причем решение номе ра п имеет п экстремальных точек и (п—1) узловых точек (если не считать двух граничных точек). Вне этого интер-

140

вала решение носит затухающий характер (в квантовой механике это соответствует быстрому затуханию волновой функции в классически запретной области). Однако следует

отметить, что		формальная	аналогия уравнений (3.2.3) и
(3.2.1)	не может быть проведена до конца,			так как	-часто
та со	входит	иным образом	в уравнение	(3.2.1),	нежели

энергия Е в (3.2.3). Кроме того, произвольные постоянные, на которые умножаются собственные функции, в квантовой механике однозначно определяются из условий нормировки, а в гидродинамической задаче могут быть определены толь ко из решения начальной задачи Коши.

Простейшее решение (3.2.1) соответствует случаю N = const. В этом случае при любой длине волны не имеется решений, удовлетворяющих (3.2.2) и обращающихся в нуль на бесконечности, и в качестве второго граничного условия надо использовать .условие на горизонтальном дне (3.1.4). Тогда собственные функции, очевидно, будут иметь вид

= Л*,sin - ^ р - г {п= 1 ,2 ,3 ...) ,

что для каждого п дает на плоскости [со, k] дисперсионную кривую

соП

Д/2

(гея) 2 /

/ 1 _|_

{ п п ) 2

*/г

(3.2.4)

1 '

т 2 1 [ 1 («о*.

Все эти кривые

начинаются

из точки со = /,

й= 0 и располо

жены в полосе,

ограниченной прямыми со = f

и co = iV,

парал

лельными оси- k. Можно

показать,

что

при

любом

п:

дш/dk—yO

при

£->-0

/г-voo. Кроме

того, при

п->оо

<Эсо/<?£->0 при любом k, т.

е.

внутренние

волны

высокого

порядка по п вырождаются в инерционные

колебания

без

градиентов

давления

и без

волнового

переноса

энергии.

Частотный

спектр при

любом k имеет точку сгущения на

инерционной частоте.

Эти

общие

свойства

дисперсионных

кривых, как видно из дальнейшего, сохраняются и в случаях более сложной стратификации (Марчук, Каган, 1970).

Из (3.2.4)	при ()2<С 1 следует формула
	с	л /	N2H2	+	f2 .			(3.2.5)
	п	V	п2п2 +		к2
Очевидно, эта	формула	совпадает с			(2.1.33)		при	U= 0. Для
групповой скорости из (3.2.5)			получаем:
	_ да		/		!	f 2 ^	I
	_ да	N2H2	/	N2H2	!	f 2 ^	0
s	dk	n2n2	\	n2n2	'	k2 j\|	•	(3.2.6)

141

Сравнение (3.2.5)	и (3.2.6)	с известной		формулой Рэлея
„	скорости	,	, дс	показывает, что
для групповой	скорости	с . = с -+-	k ----	показывает, что
		s	dk

влияние эффекта вращения Земли на длинные волны приво дит (если воспользоваться оптической терминологией) к нормальной дисперсии. Как видно из (3.2.6), групповая ско рость (в противоположность фазовой скорости) имеет мак

симум на экваторе (при /=0).	соответствует одному из.
Заметим, что формула (3.2.4)	соответствует одному из.
простейших случаев (N—const),	когда функция о> = оэ(/е)

может быть выражена в виде явной аналитической зависи мости, но при наличии слоя скачка плотности, модель кото рого рассматривается ниже, это уже не удается сделать, и для расчета дисперсионных кривых приходится прибегать к численным и графическим методам.

Рассмотрим	слой	скачка [—а,		+а\, внутри	которого
N= const, выше	[ + а,	оо]	и ниже [■—а, — оо ] которого плот
ность постоянна	(рис.	23)	и N = 0.	Постоянному	значению

соответствует экспоненциальное (или «почти линейное») из менение плотности с глубиной. Влиянием свободной поверх ности и дна, а также параметра Кориолиса f будем пренеб регать, что вполне допустимо в случае не очень низких ча

стот. (Влияние параметра Кориолиса									в области		частот
порядка f легко может быть					учтено			впоследствии.)			Если
обозначить		через	ф<!> решение		для		верхнего			однородного
слоя,	через	<р<3>— решение		для	нижнего				однородного		слоя,
через ф<2>— решение в слое скачка						с постоянным из уравне
ния	(3.2.1)	(при f = 0),		учитывая			ф<1)(со)=0			и ф®(—о о ),
получим
		фй) = Ae~kz				(а <		2 <	о о )
	ф ( 2 )	ф(2> = Be1'1'-2 + Се--1'12				( - а < 2 < 1 о )					(3.2.7)
		Ф<3>= Dekz				( —	ОО <		г < — а)
			Y=		№ — со2
					со2

Удовлетворяя			условиям	непрерывности					ф(г)	и dq>ldz при
2 = ±а, получим			систему	четырех			линейных			однородных
уравнений		относительно		произвольных					постоянных А, В,
С, D. Приравнивая к нулю определитель									этой	системы, по
лучим дисперсионное уравнение
			I (ф— 2av) _	р— Ш	— 2ау)						(3.2.8)
	tg ф = t --------------------------- =tg(2ay — ф).
Это уравнение			можно	упростить,				положив		tgф = &/Y, и,
следовательно,

142

1 4- i k

e±l(f . Тогда вместо (3.2.9) получим

УCOS ф

tg<p = i

e i(<p— 2 a y )

e—£(ф—2av)

= tg (2ay— ф),

ei(<p—2av).’ |_ е- 1(ф—2av)

откуда <p = ay -f

n ~~> гДе n — целое

число или

нуль. Таким

образом, имеем

tgay

при п = 0 или четном.

— ctgy при п нечетном,

(3.2.10)

Обозначая

Е =

№ —<о2 ka, вместо

(3.2.10)

имеем два

/ ■

дисперсионных уравнения

ctg Е =

п — четное

(3.2.11)

Н----— ,

tg Е = ------— ,

п —нечетное.

(3.2.12)

k a

Значения |

при любом

фиксированном

ka легко

могут

быть найдены

графически

или

с помощью

таблиц

(Янке,

Эмде, 1959). Соответственно уравнениям (3.2.11),

(3.2.12)

решения также

можно

разделить

на два

класса:

четные

(симметричные относительно точки 2 = 0)

и нечетные.

Выра

жая В и С в

(3.2.7)

через А и отделяя действительную часть

в выражении для

получим

фО = Ае~ак

cos y (2 — a) •

■sin y(z — a)

где k/y = tgay — для четных решений и k/y = —ctgaY — Для нечетных решений. В первом случае в (3.2.7) D = A h а во втором D = —А. Первое четное и первое нечетное (для п= 0 и п= 1) решения схематически изображены на рис. 31. Дис персионные кривые, построенные по уравнениям (3.2.11) и (3.2.12), показаны на рис. 32. Влияние вращения Земли, существенное только вблизи начала координат (в области малых частот и волновых чисел), -учтено путем замены в

выражении для | знаменателя со на V ®2—/2. Тангенс угла наклона прямой, проведенной из начала координат в какуюлибо точку дисперсионной кривой номера п, численно равен фазовой скорости cg — da>jdk волны /г-ного порядка. Тангенс угла наклона касательной равен групповой скорости cg = da/dk. Как видно из рис. 24 (правда, в выбранном мае-.

143

штабе этот эффект почти не заметен для волны нулевого порядка), Cg-vO для очень длинных и очень коротких волн, соответствующих граничным частотам, • близким к f и N.

Волновой перенос энергии происходит на промежуточных частотах.

Интересно, что рассмотренная задача во многом анало гична квантовомеханической задаче о частице в потенциаль ной яме конечной глубины. Однако имеется и существенное различие: если в квантовой меха нике при конечной глубине по тенциальной ямы число собствен ных решений (связанных состоя ний) конечно, то в рассмотренной гидродинамической задаче число собственных волновых решений бесконечно. Это связано с упоми навшимся выше отличием урав-

(О


Рис. 31.	Первое		четное	(п=0) и	Рис. 32. Дисперсионные кривые для
первое	нечетное		(я=1) решения,		волн первых		порядков,		соответст
соответствующие			N =const при		вующих	распределению			плотности,
а^гг;э= —а и		Л!=0 при		\|г \|> а .	изображенному			на рис,		23
Соответствующее			распределение
невозмущенной		плотности р0 (г)
	показано слева
нения	(3.2.1)		от уравнения Шредингера				(3.2.3).	Если		на се
редину слоя скачка z = 0 поместить						свободную поверхность,
на которой		должно выполняться граничное условие							(3.2.2.),

то в качестве допустимых решений останется только множе ство нечетных решений, соответствующих дисперсионному соотношению (3.2.12). Эти решения дают приближенное пред ставление о внутренних волнах в слое главного термоклина [0, —а\] с учетом того, что в нижележащих водах океана плот

ность почти постоянна.

Однако для изучения изменения с глубиной амплитуды внутренних волн во всей толще океана рассматриваемая простая модель слишком груба. Поэтому в следующем пара графе будет рассмотрена плотностная модель, соответствую-

144

щая характерному распределению плотности в океане в средних и низких широтах.

§ 3.3.	Плотностная	модель	для	средних
и низких широт. Зависимость изменения
амплитуды с глубиной от распределения
плотности и длины		волны.	Замечание о
внутренних волнах		приливного		периода
Пусть	имеется распределение			плотно-
стй:
р0 = const	при 0 < z <	h
р = Др (1 — er Pz),	Др = р» — Ро при 0 > г > —Я.
				(3.3.1)

Эта модель учитывает существование верхнего однород ного слоя толщиной h, а также слоя существенного измене

ния плотности — главного			термоклина,	толщину которого
удобно	определить	как	Яг = 2/р. Начало координат для
удобства	выбрано	на нижней границе		однородного слоя.

Такое распределение плотности типично для океанов в сред них и тропических широтах, рде имеется верхний однород ный слой толщиной порядка 100 м, затем плотность возра стает, существенно изменяясь в пределах слоя так называе мого «главного термоклина» (600—1000 м), и становится практически постоянной и равной р<х, на глубине около 3 км. Др — величина порядка 10~3 г/см3, порядок р равен

10-5 см-1. Учитывая зто, с большой степенью точности будем иметь:

1	dpо ^	____ АрР е&г	АрРеР*		se®z.
Ро	dz	ро _j_ Др (1 _ е+ Р г)	Ро		se®z.
Ро	dz	ро _j_ Др (1 _ е+ Р г)

Другими словами,
	N2=	0	при 0 < 2 <	/г,	(3.3.2)
	N2=	Др авг =	при 0 > 2 > — Я.		(3.3.2)
	gP —^ -e $ z = gse$z		при 0 > 2 > — Я.
		Ро
После замены независимой переменной еРг = g уравнение
(3.2.1)	приводится к виду
	S V	+ &Ф' + (V I -	Ф = 0.		(3.3.3)
Здесь
	q2= gk2s/Р2 (со2 — /2); v		- 2£со/р ]Ло2 — /2.

Ю Б. А. Тареев

145

Уравнение (3.3.3)	интегрируется в цилиндрических функциях
Ф =	ci/v т ' / ‘) + c2Nv (2^*/,),	(3.3.4)

Iv, Nv — функции Бесселя и Неймана порядка v.

Если не учитывать поверхностных волн, не представляю щих в данном случае интереса, то для верхнего однородного

слоя решение может быть взято в виде:
		Ф0 (г) = c0sh&' (г— К),					(3.3.5)
где k =	/г J/"со2/(со2	—\|/2) .
Зто	решение	удовлетворит условию		отсутствия			верти
кальных движений на свободной поверхности: <р0(/г) =0.
Если глубина океана конечна,			то на	горизонтальном дне
2 = —Н вертикальная компонента			скорости также			должна
обращаться в нуль.
Таким образом
		Ф о И1) г= Ф ( — Н ) = 0 .					( 3 . 3 . 6 )
На уровне z = 0 должны выполняться условия:
	Фо(0) = Ф (0),		при z =		0.		(3.3.7)
		dz	dz
Возвращаясь в		(3.3.4) к старой	переменной		г,	из	(3.3.4)
(3.3.5),	(3.3.6), (3.3.7) получим:

Фо« = С, Iy (x/z)	lv (xnb)	sh k' (h — z)
Фо« = С, Iy (x/z)	/ йЧ	(-^/г)
		sh k'h

, (0 < z<h),'

(3.3.8)

%n = Ci Iv (x„eP/2z)	lV	Nv (хпе$/2г) , ( 0 < z > — H),
	N v (xn6)

где x — корни дисперсионного уравнения:

/v (х)-		Nv (x)	' /у (xS)	Nv+i (x) — /v+i (x) -I-
-lv (xb)
N v (л-8)			Nv (хб)
Ж__	M *)	^ V(xb)	iV(x)	cth^'/i = 0.		(3.3.9)
(5 x		Nv {x6)
Здесь обозначено:			— L я		и использова
Здесь обозначено:		2q == лг, 6 = e		2	и использова
но соотношение	—— /v (z) = — /v — Ai+i-				Вместо	р можно
ввести обратную	dz	г
ввести обратную	величину, толщину «главного термоклина»:

146


hw= 2/p,	которая в каждом конкретном случае должна							быть
подобрана		из наблюдений.	В реальных условиях				hT/ H ~
~2-10-1 и,		следовательно,	—Ё. /j					Опре
			б = е	2	= е ~ н/кт<^1.
деление	нулей уравнения (3.3.9)			на	плоскости	х, у	связано
с большими		вычислительными		трудностями.		Однако		неко
торые	предельные случаи,		представляющие			вместе		с тем

наибольший практический интерес, допускают сравнительно простое рассмотрение.

Воспользовавшись тем,		что 6<Sl и Nv (z)	велика при
малых значениях аргумента,		вместо (3.3.9) запишем
_1_	v -J---- —cth kh Iv (х) — /v+i(x) =		0.	(3.3.10)
X	Р
Это уравнение можно еще упростить.
Положив, что kh мало, получим
	/v(x) =	6'x/v+1 (х).		(3.3.11)

Здесь 6' = h/hT также в реальных условиях малая величина. Когда длина волны значительно больше толщины термо клина hT, т. е. v = 2k/fi = khT-+0, то, учитывая также ма лость б, вместо (3.3.11) приближенно запишем /0(х)=0, т. е.

(если	[= 0)	x = 2q = - ^ ^ / rq-^~ = хп, где х п—корни бессе
левой	функции нулевого порядка			(xi = 2,40;		х2 = 5,52		и т. д.).
Для больших п верна асимптотика хг ~ пп .						Отсюда для ско
рости	длинных волн порядка		п получаем выражение:
	сп	со						(3.3.12)
		kn

так как /гт =2/\|3. (Если учитывать f,					то получим еще слагае
мое f2/k2.)
Следовательно, в этом предельном случае скорость рас
пространения		длинных волн	определяется			глубиной термо
клина	hT. Более подробные		расчеты		показывают,			что учет
правой части (3.3.11) приводит к некоторому							уменьшению
корней	уравнения. Так, например, имеем для						6i = 0;	6i = 0,l;
6i = 0,5	соответственно *! = 2,40;			Х!= 2,20;		ЛГ! = 1,60.		Иначе

говоря, скорость внутренних волн увеличивается. Это, оче видно, связано с тем, что учет ненулевой толщины однород ного слоя как бы увеличивает «эффективную глубину» океана. С другой стороны, учет того, что ёфО, т. е. глубина океана Н конечна, приводит к небольшому увеличению кор ней хг.

Графическое решение общего уравнения (3.3.9) для слу чая длинных волн (v—>-0) при" реальных значениях величин:

10;

L47

/1 = 100 M, hT= 1000 м, Я =4000 м, т. е. 6' = hlhT= 0,1;

8=e~H/hT~0,2 дает для первых трех корней этого уравнения следующие значения: *1 = 2,75; х2 = 6,00; х3 = 9,35, т. е. значе ния, мало отличающиеся от разобранного выше предельного


случая 6' = 6' = 0.		Это	позволяет		исследовать		дисперсию
внутренних волн исходя из приближенного							уравнения
(3.3.11)	при 6= 0.	При	произвольном v = khT вместо					(3.3.12)
для волны первого порядка можно записать
	c1M = ~ }^			- ] / r — ghT.			.	(3.3.13)
			*1 (v) У		Ро
Здесь	хДх)	(значение		первого		корня	уравнения
7v(x)=0)	— непрерывная, монотонно					возрастающая		функ

ция v, значения которой для различных v легко вычислить,

используя графики, приведенные у Янке и Эдме				(1959). ■
На рис. 33 показано изменение амплитуды " внутренних
волн с глубиной при		различных	значениях параметра
v = 2kl$ = khT	= 2nhT/L,	где7.^длина волны.		(Здесь к' за
менено на к, т. е. пренебрегается влиянием f.)				равной 1 км,
Толщина	главного	термоклина	принята

толщина однородного слоя ft~100 м, глубина океана 4 км. Из рис. 33 видно, что короткие волны (соответствующие большим значениям khT) сосредоточены в основном в слое максимальных градиентов плотности, движение в них быст ро затухает с глубиной, поэтому для расчетов можно вос пользоваться только одним из решений (3.3.4), затухающим при z-*— оо. Однако уже при khT = 1 (L = 6,28 км) движе ние распространяется на глубины, значительно большие, где плотность вод практически постоянна, Как уже указывалось, этот эффект, аналогичный туннельному эффекту квантовой механики, играет существенную роль в динамике длинных

внутренних	волн. При	khT< 1 первое	решение (3.3.4) зату
хает слишком медленно, и для построения решения, обра
щающегося	в нуль при	z —■—Н, надо	использовать оба ли

нейно независимых решения (3.3.4), что приводит к общим формулам (3.3.8). Иначе говоря, волны, для которых £/н<Я при принятых здесь характерных численных значениях па раметров задачи, следует считать длинными. Для этих волн

третье уравнение	системы (3.1.2) переходит в	уравнение
гидростатики, а решение <p(z) для волны первого		порядка,
не имеющее узлов,	максимально вблизи нижней	границы

термоклина и практически линейно убывает от этого макси мума до нуля на дне.

Как следует из уравнения неразрывности, линейному убыванию вертикальной компоненты скорости с глубиной соответствует постоянная по глубине горизонтальная компо нента скорости. Таким образом, в глубинных областях океа-

148

на,	почти однородных					по плотности, эти		длинные волны
имеют ту же				кинематическую структуру,				что и обычные
длинные			баротропные			волны,	Z m
однако		в	противоположность

последним			бароклинные длин
ные волны обязаны своим су
ществованием				не	колебаниям
свободной поверхности, а на
личию		слоя		главного		термо
клина.
на	В заключение остановимся
	возможности				существова
ния в непрерывно стратифици
рованном			океане		внутренних
волн,		вызванных			непосред
ственно		приливообразующими
силами.		Пусть оси координат
направлены так, что приливо
образующая сила имеет толь
ко одну компоненту
X	—X(x,t) =			a0e^k“x~ <i,i‘t\
						(3.3.14)

направленную вдоль оси х.

В(3.3.14) а0, k0, «о заданы.

Вэтом случае в правую часть первого уравнения системы

(3.1.2)

надо

еще

добавить

Х(х, i). Если затем последова

Рис. 33. Изменение ампли

тельным

дифференцированием

туды

вертикальной

компо

исключить из

(3.1.2) все неиз

ненты скорости при рас

вестные,

кроме w (но не пре

пределении

плотности

(3.3.1).

Значения

khT при

небрегая

изменением

плотно

hT= 1 км

соответствуют

сти po(z)

с глубиной в уравне

длинам

волн

0,8;

2,08;

ниях

по

горизонтальным осям

6,28

км.

Кривая khT=0 со

ответствует длинной

волне

координат),

то получим

(Я=оо). Наличие тонкого

L ( a , )

_ L

однородного

приповерх

ностного

слоя

учтено толь

- Ф а . * ( * , * )

кривой

khr=0. Аб

ро

ко для

Д/2

солютные

величины

ампли

туд

определены

точ

----fe0co0aje£(ft«Jf_“«<), (3.3.15)

ностью

до

постоянного

множителя

где

L — дифференциальный оператор,

соответствующий

од

нородному уравнению

(3.1-.3).

Если при выводе

(3.3.15)

пре

небречь изменениями плотности в уравнениях движения по горизонтальным осям, то правая часть (3.3.15) обратится в нуль. Иначе говоря, в приближении Буссинеска вынужден

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2015 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.2023956.29 Кб16Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб15Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб23Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб10Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб313Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб14Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб25Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб12Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб18Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб56Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf
#
23.10.20237.09 Mб8Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf