книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

Поскольку нормальная к береговой черте компонента ско­ рости должна обращаться в нуль, граничные условия для

(2.9.17): р = 0 при у = 0, р — ограничено при г/->— оо (2.9.18).

Если ехр(—ху)_— х, то вместо (2.9.17) получим

хЦх — 1) ^ Е - + х ( х — 1) -£ -+ [* ,' — a'2x) — k'2(x— \)]p=0.

т — а — — V k '2 + а'2 < 0 и т — р = V k'2 + а’2 > 0 ,

поэтому условие ограниченности р (оо) приводит к С2= 0 , и решение для р с учетом использовавшихся выше обозначений:

130

(Такое же соотношение получим и для отрицательного т.) Из (2.9.27) получаем дисперсионные соотношения

Как видно из (2.9.28), характер дисперсии существенно зависит от ширины материкового склона х~1 и отличается от простейшего случая малых относительных изменений глубины, когда дисперсия аналогична дисперсии волн Россби (сэ-/г~2). При и—0 и a2= f 2lgH получим сп— —fn.-1(2&+>m)_1. Отсю­ да для первой моды получим:

Следовательно, фазовая и групповая скорости волн (отно­ сительно воды) направлены одинаково (влево, если смотреть в направлении берега). Этот пример наглядно показывает су­ щественное отличие дисперсии рассматриваемых волн от дис­ персии бездивергентных волн Россби, для которых фазовая и групповая скорости имеют противоположное направление. Когда длина волн велика по сравнению с шириной матери­ кового склона |(и~1~100 км), фазовая и групповая скорости

совпадают по величине и равны fxr1. Хотя для каждого кон­ кретного профиля дна характер дисперсии будет меняться,

можно полагать, что рассмотренный пример соответствует типичным реальным условиям на материковом склоне.

изложены основные принципы отфильтрования и разделения решений, поэтому мы не будем к ним возвращаться, а рас­ смотрим вопросы динамики внутренних волн, выделенных в «чистом виде», основываясь, главным образом, на изуче­ нии характерных и достаточно общих свойств собственных решений.

Свободные вйутренние волны являются по отношению к градиентно-вихревым волнам высокочастотными движениями

с наклоном изопикнических поверхностей в среднем движе­ нии, и возбуждение таких волн всегда связано с увеличе­ нием полной потенциальной энергии. Внутренние гравита­ ционные волны «не замечают» наклона изопикнических по­

верхностей, и как видно из качественного рассмотрения, проведенного в § 2.5 (в связи с обсуждением рис. 18), меха­ низм бароклинной неустойчивости не имеет отношения к внутренним волнам и не может служить объяснением воз­ никновения внутренних волн.

Если основное движение является течением с разрывом скорости и плотности (как течение, рассмотренное в § 2.6), то возникающая неустойчивость Гельмгольца в принципе может служить причиной возникновения внутренних волн, рассматриваемых как малые возмущения, наложенные на основное движение. Однако в действительности действие диссипативных факторов приводит к сглаживанию поля

132

гидродинамических элементов в океане, поэтому двуслойная модель § 2.6 является слишком грубой для объяснения ме­ ханизма возникновения внутренних волн с точки зрения неустойчивости Гельмгольца и не имеет практического зна­ чения.

Имеется ряд гидродинамических работ (например, Чер­ кесов, 1967; Войт, 1958; Черкесов, 1962; и др.), в которых рассматривается возникновение внутренних волн на поверх­ ности раздела под действием внешних вынуждающих сил (обычно изменений давления, приложенного к свободной поверхности). Однако большие математические трудности решения таких задач вынуждают ограничиваться рассмот­ рением очень специальных случаев, что сильно затрудняет использование результатов этих работ в океанографии. Во всяком случае, при теоретическом изучении внутренних волн учет непрерывного изменения плотности с глубиной, как правило, оказывается необходимым для объяснения боль­ шей части наблюдаемых экспериментальных фактов. Меха­ низм возбуждения, основанный на резонансном взаимодей­ ствии внутренних волн с низкочастотными компонентами двумерного спектра поверхностного волнения (см., в частно­ сти, Phillips, 1966), представляет значительный интерес, но исходит из чисто качественных соображений и пока может быть оценен только как перспективная гипотеза.

В связи с таким положением экспериментальное изуче­ ние внутренних волн приобретает очень важное значение и необходимо для определения наиболее интересных направ­ лений развития теории. Поэтому после изложения теорети­ ческих вопросов мы опишем постановку и некоторые резуль­ таты специальных экспериментов по изучению внутренних волн, проведенных под руководством автора. Проведение таких экспериментов в области относительно высоких частот потребовало создания новой методики наблюдений и обра­ ботки и, что самое важное, новой аппаратуры. В качестве индикатора внутренних волн была использована наиболее просто измеримая величина —температура.

* Так как наблюдающееся в океанах и морях поле внут­ ренних волн обычно отличается большой степенью нерегу­ лярности в связи с разнообразным характером источников возбуждения и сложными интерференционными явлениями, при анализе данных эксперимента трудно отличить поле собственно внутренних волн от поля турбулентности в соот­ ветствующем диапазоне частот. Однако с теоретической точки зрения различие между этими явлениями может быть проведено достаточно четко, так как энергия чисто турбу­ лентных движений определяется кинетической энергией турбулентных вихрей и переносится со скоростью движения частиц воды, а энергия внутренних волн переносится с груп­

133

повой скоростью волн. Поэтому внутренние волны должны играть важную роль в общем энергетическом балансе океана. Кроме того, неустойчивость внутренних волн, рас­ сматриваемых как основное движение, может приводить к возникновению турбулентности в области более высоких частот. Следует, однако, признать, что такие задачи слиш­ ком сложны и пока не доступны теоретическому анализу!

поэтому один из последующих параграфов будет посвящен возникновению установившихся внутренних волн при обте­ кании неровностей дна стратифицированным течением.

Изложение материала этой главы, основанное главным

образом на работах автора (-Тареев, 1963, 19656, 1965в, 19666, 1967а; Иванов, Смирнов, Тареев, Филюшкин, 1968),

рассматривает внутренние гравитационные волны как один из важнейших типов движений, возможных в стратифици­ рованном океане и, конечно, не охватывает всего круга вопросов, связанных с внутренними волнами. Тем не менее мы надеемся, что при изложении некоторых общих вопросов теории (дисперсионные свойства, изменение амплитуды с глубиной) на примере конкретных задач нам удалось до­

биться большей физической ясности, чем это было сделано до сих пор. Список теоретических и экспериментальных работ, касающихся этой быстро развивающейся области океанографии, далеко не'является исчерпывающим. Следует отметить, что в связи с возрастающим интересом к неста­ ционарным движениям в океане и некоторыми" прикладными задачами (прежде всего задачами гидроакустики) экспери­

ментальное и теоретическое исследования внутренних бароклинных волн привлекает в последние годы пристальное внимание океанографов. Экспериментальные работы состоят в основном в получении достаточно длинных рядов наблю­ дений и последующем статистическом анализе этих рядов. Чрезвычайное разнообразие волновых и турбулентных дви­ жений, возможных в бароклинной среде, существенно за­ трудняет физическую интерпретацию данных наблюдений.* Другая трудность состоит в том, что во многих случаях энергию высокочастотной части спектра внутренних волн нельзя считать малой, и, следовательно, если измерения имеют дискретный характер, интервалы между измерениями должны быть достаточно малы даже в том случае, если нас интересуют колебания в области относительно низких частот. Это обстоятельство предъявляет довольно жесткие требова­

ния к конструкции измерительной аппаратуры и инерцион­ ности датчиков. Кроме того, при наблюдениях с помощью автономной аппаратуры с ограниченным запасом питания требования к получению максимальной длины ряда наблю­

134

дений и минимального интервала между наблюдениями, очевидно, взаимно противоречивы и могут быть приближен­ но удовлетворены только в результате некоторого компро­ мисса. (Эти вопросы будут подробнее изложены при обсуж­ дении наших экспериментов.)

Гидродинамическое изучение внутренних волн, начатое Лявом и Лэмбом (1947), было продолжено применительно к океанографии в известных работах Фьельстада. Достаточ­ но полное представление о направлениях теоретических исследований можно получить из сборника «Внутренние волны» (1964), где также приведена библиография работ, опубликованных на русском языке. Конспективное описание последних исследований дано в обзоре (Белоусов, Монин, Тареев, • 1968). Значительная часть книги «Гидродинамика океана и атмосферы» (Эккарт, 1963) посвящена лучевой трактовке динамики внутренних волн. Среди немногочислен­ ных работ по математическим аспектам теории внутренних волн в непрерывно стратифицированной жидкости укажем работы (Тер-Крикоров, 1962, 1965), где доказан ряд общих теорем и исследованы методом малого параметра некото­ рые нелинейные эффекты. В подавляющем большинстве работ рассматриваются лишь установившиеся волновые дви­ жения, так как задача Коши для случая непрерывной стра­ тификации слишком сложна.

В связи с этим при рассмотрении теоретических задач динамики внутренних волн не удается достигнуть той сте­ пени общности и математической глубины, которая харак­

терна для классической теории поверхностных волн (см., на­ пример, Сретенский, 1936). Поэтому можно сказать, что

общей теории внутренних волн не существует, и решение частных задач, соответствующих тому или иному характер­ ному распределению плотности по глубине, сохраняет свое значение. Некоторые задачи такого рода будут рассмотрены ниже наряду с более общими вопросами дискуссионного характера, как, например, вопрос о возникновении внутрен­ них волн приливного периода в открытом океане. Уравне­

(точнее изэнтропическим). Параметр Кориолиса будет при­ нят не зависящим от широты, чтобы отфильтровать движе­ ния типа волн Россби.

Поскольку горизонтальные изменения плотности в океане на расстоянии, сравнимом с длиной внутренних волн, обыч­ но малы, плотность в невозмущенном состоянии можно считать зависящей только от глубины. Тогда, если в невоз-

135

ние индексы указывают на дифференцирование по соответ­

ривается только устойчивая стратификация, т. е. dpo/dz^.0. Из системы (3.1.2) удобно исключить все неизвестные, кро­ ме вертикальной компоненты скорости w, для которой наи­

Здесь N — частота Вяйсяля—Брента; А, А2 — трехмер­ ный и двумерный операторы Лапласа.

При выводе уравнения (3.1.3) было использовано так называемое приближение Буссинеска, т. е. пренебрегалось изменениями p0(z) в уравнениях движений по горизонталь­

136

нулю на бесконечности, то при конечной длине волны всегда существуют решения, обращающиеся в нуль на бесконеч­ ности.

Поскольку рассматриваются бароклинные движения, и интеграла Бернулли не существует, то граничное условие на свободной поверхности должно быть получено непосред­

отклонение свободной поверхности от невозмущенного поло­

Система (3.1.2) и уравнение (3.1.3) инвариантны относи­ тельно сдвигов по горизонтальным осям координат и оси времени, и, следовательно, для w (и других зависимых переменных) всегда существуют решения, имеющие вид плоских волн,

137

чисел (kx, ky). Подставляя (3.1.6) в (3.1.3), (3.1.4) и (3.1.5),

получим:

кальной оси 2 в (3.1.7), (3.1.8), во все последующие соот­ ношения kx и kv будут входить в виде симметричной комби-

нации k2 = kx +ky. Уравнения (3.1.7), (3.1.8) немедленно приводят к одному важному следствию, касающемуся коле­

дует, что ду/дг=0, т. е. Ф — const. С учетом граничных усло­

произвольная функция 2. Следовательно, инерционные коле­ бания с частотой f представляют .собой чисто горизонталь­ ное бездивергентное движение без градиентов давления, никак не связанное со стратификацией и архимедовыми си­ лами. («Длина волны» таких колебаний равна бесконечности

носа энергии на инерционной частоте не происходит (этот вопрос подробнее рассмотрен ниже). Движение частицы жидкости в инерционных колебаниях можно интерпретиро­ вать как движение по инерции (без трения) материальной

точки на вращающейся плоскости. Все частицы движутся в одной фазе по инерционным кругам, радиус которых опре­

138

деляется начальной скоростью (движение происходит по ча­ совой стрелке в северном полушарии). Инерционные коле­ бания обычно возбуждаются в ограниченных областях океана, и на границе этих областей могут быть существен­ ными горизонтальные напряжения сдвига. В этом случае за пределами области инерционных колебаний движение будет

затухать на характерном расстоянии D ~ Y A J f , где Ае— коэффициент горизонтального турбулентного трения. В ра­

из сказанного выше следует, что инерционным колебаниям не может быть приписана определенная длина волны, а ве­ личина-' D является просто горизонтальным аналогом глу­ бины трения в смысле Зкмана. В связи с этим можно заме­ тить, что довольно распространенный термин «инерционные внутренние волны» едва ли можно признать удовлетвори­ тельным, так как, являясь предельным случаем внутренних волн, инерционные колебания не будут внутренними волна­ ми в строгом смысле слова. В частности, они не связаны ни с архимедовыми силами стратификации, характеризуемыми параметром N, ни с волновым переносом энергии. Выводы автора справедливы только для случая, когда изменения параметра Кориолиса с широтой не учитываются. Вблизи предельных широт этот эффект важен.

Таким образом, хотя инерционные 'колебания всегда мо­ гут быть отмечены с помощью измерителей течений, в от­ крытом океане нет оснований ожидать заметных колебаний температуры, солености и плотности на инерционной часто­ те, так как колебания этих характеристик связаны главным образом с вертикальными движениями. Положение, однако, изменится, если наблюдения проводятся вблизи берегового склона, на шельфе, т. е. в тех районах, где глубина заметно

частоте будут наблюдаться колебания плотности (или тем­ пературы). По-видимому, такие колебания температуры с инерционной частотой, описанные в работе (Haurwitz, Stommel, Munk, 1959) !, были отмечены на береговом скло­ не одного из Бермудских островов. Удачным для наблюде­ ний обстоятельством следует считать то, что один из термо­

139