книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

щие справа от нейтральной кривой, действительно слабо не­ устойчивы, так что можно отметить некоторое качественное

совпадение. Однако в рассматриваемом диапазоне при малых Р в точной фронтальной модели тг существенно отличны от нуля (см. рис. 25), в то время как в модели Филлипса все неустойчивые волны неподвижны относительно среднего те­

чения и (тг= 0), так что собственные значения точной фрон­ тальной модели за счет грубых приближений сдвинуты либо на вещественную, либо на мнимую ось плоскости т. Удовлет­ ворительное приближение к точной модели формула Филлип­ са дает для хг только при малых р и весьма больших а. На­ пример, при а = 1 0 0 и р = 0,02 значения точной модели

|Тт-1 =0,052; |Тг| =0,491, а модели Филлипса тГ= 0 , |тг|~0,95.

Как видно, значения |т*| завышены в два раза.

Общее поведение |тг| при больших а можно видеть из рис. 26. При а > 6 и фиксированном р соответствующие бароклинной неустойчивости |тг| монотонно убывают с ростом а. При а > 8 и р>0,4; |т,| очень малы (порядка 10~3 и менее), так что волны практически устойчивы, хотя точное значение т = 0 лежит на нейтральной кривой Кочина.

2. Случай ВфО (бэта-плоскость).

Поскольку из параметра В, входящего в (2.8.14), может, быть выделен существенно переменный множитель а :В =

= =аВ, где B=$l/2f (при вычислениях для определенности было принято В = 0,05, что соответствует ширине фронта по­ рядка 103 км). Значения т при промежуточной ширине фронта легко могут быть оценены простой интерполяцией значений для /3= 0,05 и /3= 0. Введение бэта-эффекта !(градиента пла­ нетарной завихренности, направленного на север) нарушает симметрию фронтальной системы Кочина и симметрию соб­ ственных значений (сохраняется только симметрия относи­ тельно мнимой оси плоскости т). Корни на плоскости т сдви­ гаются влево, что соответствует увеличению западной ком­ поненты скорости возмущений.

Более неожиданным является факт, обнаруженный в ре­ зультате численного анализа и состоящий в том, что модули т для «корней», лежащих в левой полуплоскости, оказывают­ ся больше соответственных |ti| правой полуплоскости. На рис. 27 показана верхняя полуплоскость т. Внешняя полуок­ ружность на рис. 28 показана [тг-| в левой полуплоскости, где бэта-эффект оказывает дестабилизирующее действие. Сравне­ ние с рис. 24 показывает, что влияние бэта-эффекта на деста­ билизацию (или, напротив, на стабилизацию для правой полу­ плоскости) существенно только для длинных волн (это, впро­ чем, относится и к фазовой скорости волн тг) . Уже при р ^0 ,4 влияние бэта-эффекта несущественно при выбранном нами

120

значении 5 = 0,05 (ширина фронта ~ 103 км). Для узких оке­ анических пограничных течений шириной порядка 102 км, В будет порядка 5-10~3 и разница в значениях т* (при одинако­ вых Р) на рисунках 24 и 28 будет, грубо говоря, на порядок меньше. Тем не менее для широких атмосферных и океани­ ческих фронтов этот эффект может иметь существенное зна-

кости соответственно. Кривые 2 занимают промежуточное по­

(3-—0) простую алгебраическую систему Н. Филлипса на бэтаплОскости. В этой системе отсутствуют неустойчивые волны, распространяющиеся на восток, так как хг, обязанные в мо­ дели Филлипса своим существованием только бэта-эффекту, всегда отрицательны (при Tj=^0). В модели Филлипса (и аналогичных моделях, в которых не учитывается изменение параметров основного течения с широтой) бэта-эффект ока­ зывает чисто стабилизирующее действие и возможность деста­ билизации течения за счет бэта-эффекта полностью теряет­ ся. Физическое объяснение дестабилизирующего действия бэ- та-эффекта в терминах градиента — завихренности основно­ го течения особенно наглядно может быть дано на примере бездивергентного течения Куо (Кио, 1949), где необходимое

121

условие неустойчивости — изменение знака градиента абсо­ лютного вихря zv= § —d2uldy2.

В зависимости от характера профиля скорости и (у) бэтаэффект может способствовать либо сохранению, либо изме­ нению знака zy в области течения.

Можно заметить, что в окрестности .нейтральной кривой Кочина (малые числа Ричардсона или очень короткие волны) влияние бэта-эффекта не существенно и сказывается главным образом в появлении отличных от нуля (но малых, порядка 10~2) тг (на нейтральной кривой Кочина при отсутствии бэтаэффекта имеет место «принцип изменения устойчивости», т. е.

Tj = Tr = 0) .

Значения % для геострофической системы (2.8.17) были также рассчитаны для ряда значений а, {$ (см. Приложение).

с потерей .первых производных при использовании стандарт­

Диаграмма устойчивости рис. 26, дополненная в случае необходимости учетом бэта-эффектр, может быть полезной при рассмотрении течений, свойства которых параметрически ме­ няются вдоль течения ^возможность учета изменений харак­ тера течения неявным, параметрическим путем, ограничена, по-видимому, условием малости изменений режима течения на расстоянии характерной длины волновых возмущений).

122

Если принять, что основным механизмом меандров Гольф­ стрима является бароклинная неустойчивость (а на это опре­ деленно указывают результаты наблюдений Д. Ханзена, при­ веденные в § 2.6), то на участке от Флориды до м. Гаттерас в связи с малой глубиной, большим сдвигом скорости число Ричардсона достаточно мало невозможно, течение находится вблизи нижней части нейтральной кривой на рис. 26. Ниже м. Гаттерас увеличение глубины и уменьшение сдвига приво­ дит к увеличению числа Ричардсона, что, согласно рис. 26, соответствует резкому усилению неустойчивости и, в конечном счете, интенсивному образованию меандров. Такой характер движения в целом соответствует данным наблюдений в Гольф­ стриме. В численном решении использовался вариант метода

прогонки, предложенный в цитировавшихся выше работах А. А. Абрамова. Путем введения новых зависимых перемен­

ных q= (dPi/dr), dP2/dr\) система (2.8.14) переходит в систему 4-х уравнений первого порядка. Для отхода от особых точек

т) = ± 1 (отгонка) используется подстановка q = w{r\)P. Реше­ ние уравнения (нелинейного) для матрицы w(r\) в окрестно­ сти особых точек ищется в виде степенных рядов с учетом характера особенностей. Первый член ряда определяется с

учетом граничных условий: w(—Ц )=ш 0, w(-\-l)— w0. После отхода от граничных особенностей уравнение для ®(ri) оказы­ вается неудобным для интегрирования, так как оно может со­ держать особенности внутри области интегрирования (напри-

мер, там, где Р = 0), поэтому вводится другое, эквивалентное первому уравнение для некоторой функции (матрицы) ф(г]), не содержащее отмеченных недостатков. Прогонка слева и справа и условия склейки в нуле приводят (после отделения вещественных и мнимых частей) к условию D(а, (3, В, тг, т,) = = 0, где D — некоторый определитель восьмого порядка.' (В процессе вычислений методом покоординатной минимиза­ ции минимизировался квадрат модуля этого определителя с точностью |Дт| = 10-3—10-5.)

§ 2.9. Градиентно-вихревые волны на материковом склоне океана

Уже было отмечено (§ 2.1), что с точки зрения принципа сохранения потенциального вихря эффект влияния топографии дна в баротропном океане качественно аналогичен |3-эффекту. Для того, чтобы выделить эффект из­ менения глубины в чистом виде, будет рассмотрен баротропный океан |(Тареев, 1971). Обобщение на двуслойный случай не представляет принципиальных затруднений. Для квазидву-

123

Т а б л и ц а собственных значений

1. Случай В = 0. Система (2.8.14). Собственные значения, принадлежащие «второму собственному решению» , отмечены индексом (II).

Значения т для гравитационной волны, приведенные для примера, отмечены индексом (Г. В.).

124

Продэлжгние таблицы

мерного гидростатического движения условие сохранения по­ тенциального вихря может быть записано в виде:

< 2 ' 9 Л )

/ — параметр Кориолиса, Я — глубина. Если считать /=const,

стицы движутся приближенно вдоль изобат. Если пренебречь кривизной изобат, то можно считать Н = Н ( у ) , если ось х направить вдоль изобаты. Тогда для малых неустановивших-

изобаты (и невозмущенное течение) направлены зонально, то, учитывая изменения / в приближении |3-плоскости, вместо пре­

125

же порядка, что и |3. Таким образом, планетарные |3-волны должны существенно видоизменяться под влиянием изменений глубины. В районах'больших уклонов дна, например на ма­ териковом склоне, градиент «топогенной завихренности» (по

Нду

шем будем пренебрегать p-эффектом, который в случае не­ обходимости легко может быть включен в рассмотрение. С дру­ гой стороны, поскольку к районам материкового склона-часто приурочены системы интенсивных океанских течений, учет невозмущенного течения в ряде случаев представляет интерес. Поэтому предположим, что невозмущенное состояние описы­ вается уравнениями:

U — U (у) — скорость невозмущенного течения, направлен­ ного вдоль изобат, и зависящая как и глубина Н(у), только от поперечной к течению координаты у (кривизной изобат пре­ небрегаем и считаем их направленными параллельно оси х).

Линеаризированные относительно (2.9.3) - уравнения дви­ жения:

дают уравнение вихря (при /=& const):

(значок у внизу’'означает дифференцирование по у). Линеа­

волн в чистом виде целесообразно ввести квазигеобтрофическое приближение, фильтрующее гравитационные волны:

126

г/г нормальная компонента скорости должна обращаться в

амплитуда волновых возмущений экспоненциально затухает: р = ех р (± % ) где k = ]/& а + &о , ko=--f2/gH, а знак выби­

рается, чтобы обеспечить затухание при у-^+оо. Это приводит к другому виду граничных условий: •

Границы могут находиться и на бесконечности. Уравнение (2.9.8) при условиях (2.9.9) или (2.9.10) может, вообще го­ воря, иметь решения с комплексными собственными значения­ ми C= Cr-\-iCi, которые приводят к неустойчивости. Условия, необходимые для неустойчивости, легко, доказать, следуя обычной методике. Обозначая выражение в последних квад­ ратных скобках (2.9.8) через К (у), полагая p — pr+ipi,

(U—c) _1 = ai+ ta2, где а \= (Я—с2) | U—с\~2; a2=Ci\U—c\-2,

отделяя вещественную часть (2.9.8) от мнимой, получим

127

Отсюда следует (после умножения первого уравнения на * Pi, второго на рти вычитания):

Следовательно, если с^Ф0 (неустойчивость), суммарный гра-

нять знак внутри области. Полученный простой критерий так называемой баротропной неустойчивости (т. е. неустойчиво­ сти, источником которой является кинетическая энергия не­ возмущенного движения) может иметь интересные приложе­ ния к анализу баротропной компоненты течений, проходящих вблизи материкового склона (например, начальный участок Гольфстрима, Г. Стоммел (1963)).

На материковом склоне А Н /Н ~\ и при U~ 1 м/еек, Дг/~100 км (оценки, характерные для Гольфстрима) первый член в выражении для К {у) будет на порядок больше кривиз­ ны поперечного профиля скорости.

Отсюда следует, что расчеты баротропной неустойчивости Гольфстрима, основанные на бездивергентных моделях (Гаурвитц и Пановски, 11950), недостаточны для определения фак­ тического характера движения.

Конечно, само по себе изменение глубины без поперечного

изменения скорости течения не может служить причиной неус­ тойчивости. В этом смысле полученный критерий не являет­ ся достаточным. В частности, при U = const, после умножения (2.9.8) на р— рг—ipi, интегрирования по частям и использо­ вании граничного условия (2.9.9) получим:

128

Уг

j {lpl3+ (Й3+ _£г)|р|2}^

Hi

Следовательно, если U = const, то с*=0 и течение устойчиво. Это очевидно также из энергетических соображений, так как для нарастания волновых возмущений, как известно, необхо-

(симметричный относительно гребня подводный хребет или

т. е. волны, распространяющиеся вдоль симметричных под­ водных хребтов, сводятся к установившимся отклонениям, движущимся со скоростью среды.

На материковом склоне условия существенно несиммет­ ричны, поэтому целесообразно подробнее рассмотреть пример достаточно простого, но характерного изменения глубины.

Когда Я меняется линейно, глубина по мере отдаления от берега стремится к бесконечности. В действительности, ма­ териковый склон имеет конечную ширину, поэтому ниже будет рассмотрен достаточно типичный случай

Начало координат возьмем на береговом крае материко­ вого склона. Как видно из (2.9.15), в открытом океане (г/-*— оо) Я = Я 0. Для U—const (и, следовательно, веще­ ственных с) уравнение (2.9.8) перепишем в виде: