книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

масштабов, так что для масштабов, больших La, турбулент­ ное перемешивание также должно уменьшаться в полном со­ ответствии с нашими результатами. Таким образом, общий характер распределения энергии по пространственному спект­ ру (в частности, схема, предложенная Р. В. Озмидовым, 1965) в настоящее времяможет быть существенно уточнен на ос­ новании изложенных теоретических и экспериментальных со­ ображений.

Что касается временного спектра, то здесь оценки не мо­ гут иметь столь определенного характера в связи с довольно широким диапазоном возможных скоростей движения цикло­ нических возмущений. Поскольку на начальном этапе разви­ тия возмущения имеют преимущественно волновой характер, то полученная в предыдущем параграфе, хорошо согласую­

да волновые возмущения вырождаются в вихри, они будут двигаться со скоростью окружающего течения («заморожен­ ная турбулентность»), которая может меняться в довольно широких пределах в зависимости от конкретного географиче­ ского района (например, 1 м/сек в Гольфстриме и 2—3 см/сек в Саргассовом море). Тем не менее можно предположить, что для характерных районов океана величина xd имеет вполне определенное значение, аналогичное синоптическому макси­ муму на метеорологическом частотном спектре В. Н. Колес­

очень высоких и очень низких широт), во всяком случае, та­ ковы, что т<г1§>тг= 2я//. Со стороны высоких частот по отно­ шению к инерционному периоду т находятся внутренние гра­ витационные волны, которые будут рассмотрены в следующей главе. Р. В. Озмидов (1965), анализируя данные наблюде­ ний самописцев течений, показал, что на инерционной часто­ те f наблюдается резонансное поглощение энергии ветра, «то приводит к возникновению инерционных колебаний вектора горизонтальной скорости. В следующей главе будет доказа­ но, что инерционные колебания соответствуют чисто горизон­ тальному и бездивергентному движению при отсутствии воз­ мущений в поле давления и вертикальной скорости и, следо­ вательно, такое движение не зависит от стратификации океа­ на. С точки зрения динамики бароклинных движений колеба­ ния вблизи инерционной частоты соответствуют простейшему виду движения, для которого отсутствует волновой перенос энергии и возмущения в поле плотности. Следовательно, в от­

110

личие от спектров горизонтальной скорости спектр низкочас­ тотных колебаний в поле плотности (или температуры) дол­ жен быть отделен минимумом в окрестности инерционной ча­ стоты от высокочастотных колебаний, соответствующих внут­ ренним гравитационным волнам.

Взаключение сделаем несколько замечаний о возможнос­ тях численного предсказания «океанической погоды», если под этим понимать эволюцию океанографических полей, связан­ ную с возникновением и распространением рассматриваемых циклонических возмущений.

Вметеорологии циклогенез и циклоны являются основны­ ми факторами, формирующими погоду. Для типичных пара­

метров атмосферы Md~2-^3-103 км (см., например, Holomboe, 1967), т. е. по крайней мере на порядок превышает доми­ нирующую длину волны океанических крупномасштабных воз­ мущений. Отсюда видно, что «океаническая погода» опреде­

менные масштабы не столь различны: характерное время про­ хождения циклона в атмосфере 3—4 дня, а в океане, как оце­ нивалось выше, ~ 10 дней).

Относительно густая сеть наземных метеорологических

станций позволяет на площади Ld адекватно задать началь­ ное поле гидродинамических элементов, необходимое для краткосрочного прогноза погоды. В океане в настоящее вре­ мя имеются только единичные корабли погоды, которые си­ стематически ведут далеко не полный комплекс океанографи­ ческих наблюдений. Поэтому пока не может быть и речи о задании начальных условий, хотя бы с той же пространст­ венной густотой, что и в атмосфере.

Между тем поскольку Ld~ 200 км, то для детального опи­

сания начального состояния нужно на площади L\ = = 40000 кв. км разместить сотню буйковых станций, если счи­ тать буи расположенными в узлах сетки с шагом ~ 2 0 км. Хотя динамическое предсказание «океанической погоды» в принципе возможно, о чем свидетельствует схема, предложен­ ная Г. И. Марчуком i(1967), фактическое задание начально­ го состояния, как показывают эти оценки, связано с больши­ ми техническими и экономическими трудностями. Эти трудно­ сти, по крайней мере частично, удается преодолеть при чис­

ленных расчетах относительно медленных процессов установ­ ления осредненных океанографических полей с масштабом времени порядка 100 суток (Саркисян, 1966) и пространст­ венным шагом сетки порядка нескольких сотен километров.

Конечно, при таком подходе теряются многие важные особен­ ности тонкой структуры океанографических полей и, в част­ ности, «океаническая погода».

111

Можно заметить, что в очень высоких широтах, где бароклинный циклогенез не должен играть существенной роли, численные расчеты, основанные на баротропных моделях, при­ водят к удовлетворительным результатам (Фельзенбаум, 1960). Однако в большинстве динамических процессов средних широт бароклинность океана играет решающую роль.

§2.8. Бароклинная неустойчивость

вдвуслойной фронтальной модели

Кочина на бэта-плоскости

Как было отмечено в § 2.6, теория Ко­ чина (1931) существенно отличается от двуслойной модели Филлипса (Phillips, 1951) и других квазигеострофических мо­ делей.

В квазигеострофических моделях бароклинная неустойчи­ вость возникает при достижении критического значения сдви­ га скорости снизу, причем степень неустойчивости возрастает с увеличением сдвига, а в модели Кочина неустойчивость воз­ никает при уменьшении сдвига (увеличении числа Ричардсо­ на). Кажущийся характер этого противоречия был объяснен в § 2.5 на основе приближенных уравнений, в которых фак­ тически переменные коэффициенты, характеризующие изме­ нение толщины слоев, были заменены постоянными средними значениями. Дело преимущественно в том, что нейтральная кривая Кочина ограничивает область неустойчивости со сто­ роны малых чисел Ричардсона (негеострофического режима), когда наклон поверхности раздела велик, а ширина течения мала. С другой стороны, двуслойная модель Филлипса соот­ ветствует широкому течению и малым наклонам свободной поверхности (большие числа Ричардсона и квазигеострофич­ ность).

Уравнения Кочина в области комплексных собственных значений были исследованы Орлански (1968) с помощью чис­ ленного анализа, причем был обнаружен новый вид неустой-- чивости, соответствующий малым числам Ричардсона (малой статической устойчивости). Этот вид неустойчивости был наз­ ван автором неустойчивостью Рэлея, так как в предельном случае нулевой статической устойчивости поверхность раздела становится вертикальной и неустойчивость становится прос­ той неустойчивостью сдвига.

Ниже задача Кочина будет рассмотрена с учетом гради: ента планетарной завихренности (широтного изменения пара­ метра Кориолиса), который оказывает существенное влияние на скорость распространения и свойства устойчивости крупно- * масштабных возмущений. Будет показано, что результаты Филлипса являются простым предельным случаем уравнений Кочина, учитывающих широтное изменение параметра Корио-

112

лиса. Поскольку диссипативные факторы в действительности сглаживают разрыв скорости на поверхности раздела, неус­ тойчивость Рэлея ч неустойчивость Гельмгольца, существую­ щие в двуслойной модели, едва ли имеют реальное геофизи­ ческое значение, так как их свойства существенно зависят от вида вертикального профиля скорости. С другой стороны, свойства бароклинной неустойчивости в непрерывной и дву­ слойной моделях отличаются незначительно (Holomboe, 1967).

Рис. 23. Поверхность разрыва скорости и плотности, пересекающая дно и сво­ бодную поверхность. Ширина фронта I, глубина Н

Ввиду очевидных трудностей аналитического решения ис­ пользуется численный метод, развитый в работах А. А. Абра­ мова (1961). Этот метод позволяет распространить решение в область достаточно больших чисел Ричардсона и тем самым свободен от некоторых существенных ограничений метода, ис­

В. И. Ульяновой. Можно заметить, что если в метеорологии двуслойная модель в большинстве случаев является лишь удовлетворительной, аппроксимацией непрерывного по высоте течения, то в океане в связи с наличием главного термокли­ на исследование устойчивости двуслойного течения имеет са­ мостоятельное значение.

Геометрия двуслойного течения показана на рис. 23. По­ перечный наклон невозмущенной поверхности раздела опре­ деляется формулой Маргулеса:

Индексы 1, 2 здесь и далее относятся к нижнему и верхнему слою, р — среднее значение потенциальной плотности. Ось у направлена на север. Для учета широтного изменения пара­ метра Кориолиса будет использоваться приближение бэта-

плоскости: f — fo+fiy, если дифференцирование по у не про­ водится, то /=/о- Уравнения для малых возмущений относи­

ростатики и свободная поверхность заменена твердой крыш­ кой, что исключает баротропные гравитационные волны. Со­

Здесь $= df/dy. В соответствии с обычным приближением бэ­ та-плоскости, изменениями / в знаменателях (2.8.7) пренебрегается. С учетом (2.8.6), (2.8.9) и (2.8.4) для амплитуд воз­ мущений давления из (2.8.5) получим систему двух уравне­ ний:

114

Очевидно, в ; (2.8.10) члены, включающие р, множителем при dpj/dy взаимно уничтожаются, так что (2.8.10) эквивалентно

уравнению (2.8.5), в котором множитель и, при р сразу выра­ жен через давление путем использования геострофического соотношения.

Следуя Н. Е. Кочину, удобно перейти к системе безразмер­ ных переменных

С учетом (2.8.12) и (2.8.11) система (2.8.10) может быть записана в виде

смысл соответственно числа Ричардсона и числа Кибеля (Россби) в двуслойной модели.

Параметр £ = р/2/4ы характеризует влияние бэта-эффекта. Собственные значения т зависят в общем случае от трех па­

раметров а, р, В, однако, выделяя из В существенно перемен­

По своему физическому смыслу величина т — безразмер­ ная фазовая скорость возмущений (в общем случае комплекс­ ная) в системе координат, движущейся со средней скоростью

и. Поскольку г]= :± 1 — особые точки системы (2:8.14), пер­ вая пара граничных условий состоит в требовании регулярно­ сти Pi и Р2 соответственно в точках т)= — 1 и т] = + 1. Вторая пара граничных условий следует из требования обращения в нуль горизонтальной дивергенции скорости вне области те­

системы (2.8.14) с граничными условиями (2.8.15), (2.8.16) представляет собой задачу на собственные значения с пара­ метром т, причем наибольший интерес представляют вычис­ ление комплексных значений т, соответствующих бароклинной неустойчивости и градиентно-вихревым волнам. Однако нефильтрованная система (2.8.14) содержит также значения т, соответствующие внутренним гравитационным волнам. Ис­ ключение гравитационных волн из исходных уравнений мо­ жет быть произведено различными способами, из которых наи­ более очевидный— положить р2= 0 в первых частях систе­ мы (2.8.14) К

Стандартный способ отфильтрования (использование геострофических соотношений в уравнении вихря 2.8.5) приводит к системе:

принципиальных трудностей для численного анализа, им можно пре­ небречь при вычислении горизонтальной дивергенции, приводящей к (2.8.15). Ошибка несущественна, пока рассматриваются волновые числа

& > Р /2/~10~9 см~1, т. е. во всех случаях, когда имеет смысл прибли­

жение р-плоскости.

116

Система (2.8.17) в отличие от (2.8.14) не содержит пер­ вых производных от pj. В § 2.6 было отмечено, что чле­ ны с первыми производными малы только тогда, когда малы относительные изменения толщины слоев ADj/Dj — на ширине течения. В точной фронтальной модели (когда нет боковых стенок) ADj/Dj не малы по сравнению с единицей, поэтому приближение (2.8.17) является довольно грубым. Численные

расчеты в самом деле показывают, что ошибки при вычисле­ нии собственных значений из (2.8.17) могут быть довольно значительны даже при малых р, когда правые части (2.8.14) и (2.8.17) практически совпадают. Поэтому в дальнейшем основное внимание сосредоточено на исследовании точных нефильтрованных уравнений (2.8.14).

При численном анализе условия регулярности (2.8.16) за­ меняются количественными граничными условиями. Условие ограниченности d2PJdr\2 при т) = —1 , сРР2/с1т]2 при г| = + 1 и уравнения (2.8.14) дают вместо (2.8.16) пару граничных ус­ ловий:

117

и (2.8.16) и таблицы собственных значений даются в При­ ложении.) На рис. 24 и 25 показаны значения |тг|, |тг| в за­ висимости от а при фиксированных р, ( т = т + 1тг-). Как вид­

но из рис. 24, степень неустойчивости с ростом а быстро воз­ растает до максимума и затем монотонно убывает, причем степень убывания растет с увеличением каждого фиксирован­

мых т выклиниваются при а = 6, Р = 0 и становятся комплекс­ ными при а > 6. Как видно из рис. 26, область максимальной неустойчивости оказывается ограниченной, кроме того, диапа­ зон существенно неустойчивых длин роли сужается с ростом а. При больших а асимптота нейтральной кривой Кочина Р =1 по существу соответствует при т = 0 нейтральным инер­ ционным колебаниям, без градиентов давления. (Это очевид­ но из (2.8.8), так как при (3 = 1 , т = 0 определитель неоднород­ ной относительно Н,-, Vj системы (2.8.2) обращается в нуль и нетривиальное решение возможно, только когда Pj = 0.)

При а ^ б появляются новые т, соответствующие «второ­ му собственному решению», однако расчеты показывают (как и можно было ожидать), что эти новые т всегда имеют мень­ шие значения |ti| по сравнению с «основным собственным

118

ственному решению», а «основному собственному решению» соответствует тг= 0, Тг = 0,505. Все собственные значения рас­ полагаются четверками: т,—т, хх, —т*, (что следует также из очевидной симметрии системы (2.8.14) по отношению к

преобразованию Р1-+Р2, г]->— ц, т->—т при В = 0). С по­ мощью интегральных соотношений, следуя, например, Педлоски (Pedlosky, 1946), можно доказать, что при р2= 0 в пер­ вых частях (2.8.14) (вариант геострофического приближения) эти четверки располагаются внутри единичного круга на комплексной плоскости т парами, симметричными относитель­ но вещественной и мнимой оси. Однако при р2=т^0 в системе имеются быстрые внутренние гравитационные волны, которые в рассмотренном диапазоне параметров соответствуют веще­ ственным т (неустойчивость Гельмгольца отсутствует) и, как

правило, лежат за пределами единичного круга.

Так, например, при р= 0,4; ос—9 имеется внутренняя гра­ витационная волна тг=4,496; Тг = 0; наряду с собственным значением, соответствующим бароклинной неустойчивости,

тг=0,53Г, п = 0,055.

При вычислении «корней» i(собственных значений), соот­ ветствующих гравитационным волнам, в качестве начальных приближений удобно использовать т, которые дает некоторое видоизменение формулы Лагранжа для длинных гравитаци­

Эта формула получается из системы (2.8.14), если пре­ небречь изменениями р,- по у, считать ширину фронта беско­

неустойчивости Н. Филлипса (Phillips, 1951) без бэта-эффек­

та, которая следует из (2.8.14) при т)-»-0, р3- = const и В2 = 0 в правых частях уравнений. Область неустойчивости лежит в этой модели на плоскости а, р слева от этой кривой: сф2< 1

119