книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

формулу Маргулеса (2.6.1), получим вместо (2.6.8) систему уравнений с постоянными коэффициентами:

Граничные условия в случае твердых боковых стенок (нор­ мальная к границе компонента скорости возмущенного дви­ жения равна нулю), или в случае свободных границ (экс­ поненциальное затухание возмущений вне области основного течения) — соответственно имеют вид (в квазигеострофическом приближении):

Pj = Aj sin К у, или Pj = Aj cos К у, где %п = - у к

Подставляя собственные функции в (2.6.11), получим си­ стему линейных однородных уравнений относительно Aj. При­ равнивая к нулю определитель этой системы, получим харак­

теристическое уравнение-для определения с:

(2.6.13)

+ i - [ l - a 2F 2( l - c ) 2]

100

внутреннее число Фруда или обратная величина числа Ричардсона в двуслойной модели, H = 2D — полная глубина. Если положить Dl= D 2=D, т о индексы 1, 2 в (2.6.13) можно опустить. В этом случае, полагая Е-Я) (квазигеострофическое приближение) и /->оо ,(m-v0) — очень широкое течение, воз­ вращаясь к неподвижной системе координат, получим резуль­ тат Н. Филлипса (Phillips, 1951).

рость волн,, шг=Сг& — мнимая часть комплексной частоты — коэффициент возрастания волн.

Уравнение (2.6.13) в общем случае содержит и бароклинную неустойчивость и неустойчивость Гельмгольца, так как внутренние гравитационные волны не были отфильтрованы. Имея в виду, что в дальнейшем приложения модели будут от­ носиться к узким океаническим течениям, )|3-эффектом, как

-f- [(m -pa)2— {m + a) — a(m -j- a)F -f aE] = 0 . (2.6.15)

Если обозначить x — c2, то решение этого уравнения может быть записано в виде:

101

±[За F — (т + а) (т -f- а -+- I)]3

приводят к неустойчивости. Можно показать, что отрицатель­ ный знак перед корнем соответствует бароклинной неустой­ чивости, а положительный —- неустойчивости Гельмгольца. Мы не будем здесь исследовать неустойчивость Гельмгольца, определяющуюся кинетической энергией основного движения и зависящую решающим образом от специального вида про­ филя скорости (в данном случае скачок скорости на поверх­ ности раздела). При достаточно гладком профиле скорости неустойчивость Гельмгольца может вообще не возникнуть да­ же при очень больших величинах сдвига скорости. Для слу­ чая линейного профиля скорости это было' строго доказано Л. А. Диким (1960). Поскольку в действительности диссипа­ тивные факторы сглаживают скачкообразные изменения гид­ родинамических элементов и приводят к выравниванию про­ филя скорости, неустойчивость Гельмгольца, по-видимому, не играет важной роли в динамике крупномасштабных дви­ жений.

В формуле (2.6.16) величина т (для первого собственно­

Если задаться характерными параметрами Гольфстрима на участке от Флориды до м. Гаттерас (Stommel, 1963): (pi—р2)/р = 2 -10—3; H=2D=1000 м; /= 1 0 ~4 сек - 1; 1=60 км,

то Y g D /2 ^ 3 м/сек; L0=200 км. Тогда /га» 1. Поскольку ве­ личина сдвига скорости (1)2—U\)j2 может достигать 1,8 м/сек, то параметр негеострофичности Г » 0,4. В районе Флоридско­ го пролива величина F может достигать единицы. Расчет по

формуле (2.6.16) (с учетом нижнего знака перед корнем) по­ казывает, что в этом случае для всех значений F < 1 и а < 1 бароклинной неустойчивости нет, т. е. соответствующие зна­ чения все действительны. Для рассматриваемой области из­ менения параметров подкоренное выражение в (2.6.16) всегда положительно. Более подробные расчеты (которые мы здесь не приводим) показывают, что с уменьшением значений т возникает бароклинная неустойчивость, причем в первую оче­ редь дестабилизируются длинные волны, соответствующие малым а. Однако следует иметь в виду, что геометрические свойства рассматриваемой модели таковы, что величина т

102

не может быть уменьшена произвольно, если рассматривает­ ся существенно негеострофический режим (F ~ 1). Если предположить, что поверхность раздела пересекает дно и свободную поверхность, то мы придем к теории Н. Е. Кочина (1949), в которой ширина фронта

4 является независимым параметром, a tg6 однозначно опреде­ ляется-'формулой Маргулеса (2.6.1). При предположении AD/Dj< 1 должно во всяком случае выполняться неравенство

жим) это неравенство не является существенным ограничени­ ем, и течение может предполагаться сколь угодно широким *.

Теория Кочина находится в противоречии с квазигеострофическими моделями и, в частности, с двуслойной моделью Филлипса (Phillips, 1951), так как в этих моделях неустой­ чивость возникает при достижении критического значения сдвига скорости снизу и далее возрастает с увеличением сдви­ га, а в теории Кочина неустойчивость возникает при уменьше­ нии сдвига скорости ((внутреннего числа Фруда F). Однако это противоречие является кажущимся, так как можно пока­ зать, что модель Филлипса (при [3=0) является предельным случаем модели Кочина при F~>0 (когда наклон фронтальной поверхности становится очень мал, а ширина фронта велика). В негеострофической теории Кочина увеличение негеострофичности (увеличение F) неизбежно влечет за собой уменьшение ширины течения и в конечном счете движение оказывается устойчивым для всех волн (в последнюю очередь стабилизи­ руются очень длинные волны). Чтобы показать качественное соответствие между критерием устойчивости очень длинных волн Кочина и уравнением (2.6.15), положим в (2.6.15)

а->0. Тогда критерий устойчивости (вещественности с) будет

ние автором и поэтому модель, рассмотренная там, является непосле­ довательной, т. е. рассмотрение существенно негеострофического ре­ жима при бесконечной ширине течения в двуслойной модели неправо­ мерно. Фильтрующая аппроксимация, использованная в этой работе, приводит к правильным результатам, только если учитывается нера­ венство 1<1н-

103

можно признать удовлетворительным, так как при l = h из­ менения толщины слоев имеют тот же порядок, что и сами толщины слоев, так что замена Dj(y) их средними значения­ ми является слишком грубым приближением. Из формулы

ной.модели возможности исследования негеострофических эф­ фектов сильно ограничены случаем очень узких течений, эта модель позволяет в некоторой степени заполнить пробел меж­ ду теорией Кочина и квазигеострофическими моделями. В тео­ рии Кочина, развитой затем М. И. Юдиным i(1937, 1938) и Е. Н. Блиновой (1938), математические трудности не позволя­

ли определить величины мнимой части с внутри области не­ устойчивости, и вычисления ограничивались расчетом ней­ тральных кривых. Расчеты по формуле (2.6.16) при предпо­ ложении не представляющие сами по себе значительно­ го интереса, показывают тем не менее, что при уменьшении F и при соответствующем увеличении I дестабилизация на­ чинается в соответствии с теорией Кочина, со стороны длин­ ных волн и при малых значениях F степень неустойчивости убывает с убыванием сдвига скорости. (При малых F и боль­ ших I результаты расчетов по формуле (2.6.16) совпадают с

(2.6.14)' при р=0.)

Значительный интерес представляет приложение общего уравнения (2.6.13) к динамике меандров Гольфстрима ниже мыса Гаттерас, где Гольфстрим уходит от шельфа и течение направлено преимущественно на запад. Глубина океана здесь (как и в открытом океане) 3—4 км, так что при обыч­ ной стратификации, характерной для средних широт, даже при сдвиге скорости U ~ 1 м/сек: F<C 1, так что применимо

104

квазигеострофическое приближение. Однако характерная тол­ щина термоклина на этом участке течения почти на порядок меньше глубины океана, так что Di^>D2. С учетом этого, полагая F— О, |3 = 0, а также т = 0 (широкое течение), из (2.6.13) получим, возвращаясь к неподвижной системе коор­ динат:

(p2=0,72). При таком значении ц область неустойчивости ог­ раничена со стороны коротких волн не значением T= L0 (а — 1), а значением Ь = 1,3. При таком значении параметров и при ширине течения порядка нескольких сот километров пренебрежение p-эффектом вполне оправдано, так как гради­ ент потенциального вихря в верхнем слое

-dDl , где dDi/dy=—dD2/dy, примерно на порядок мень- dy

ше, так как Di ^>D2. Полагая скорость течения в верхнем слое равной 2 м/сек, а скорость течения в нижнем слое исчезающе

малой, получим U— 1 м/сек и по формуле (2.6.16), для фазо­ вой скорости наиболее неустойчивых волн С,.« 2 0 см/сек, т. е.

величину, значительно меньшую U. Эта величина значительно. лучше согласуется с наблюдениями, нежели значение Сг, по­ лученное ранее в § 2.5 в двухуровенной модели с постоянным сдвигом скорости, не учитывающей существенную несимметрию течения по глубине. Эта несимметрия, как следует из (2.6.18), не только значительно изменяет величину фазовой

толщины верхнего и нижнего слоев), фактически имеющая место в океане, приводит к уменьшению степени неустойчиво­ сти (коэффициентов возрастания).

В непрерывной модели с постоянным вертикальным сдви­ гом скорости, в которой движение не зависит от поперечной

105

координаты у, вопрос о граничных условиях по у не возника­ ет. Поэтому в такой модели можно оценить влияние парамет­ ра негеострофичности на численные величины коэффициен­ тов возрастания соi— kci вплоть до сколь угодно больших зна­ чений F. Если U(z) = Uzz, где Hz=const — скорость основно­ го течения, то, следуя § 2.3, но не делая предположения ква­ зигеострофичности, можно получить систему двух уравнений для вертикальной-и поперечной к основному течению компо­ нент возмущений скорости w, v:

Вяйсяля — Брента.

При выводе системы (2.6.19) пренебрегается влиянием 13эффекта. Если, как и в § 2.3, использовать 2-уровенное при­ ближение для амплитуд волновых компонент, то из (2.6.19) можно получить дисперсионное уравнение:

F=8(AU)2/N2H2\ a = k2/k20\ k l = 8 f 2IN2H2. При выводе (2.6.20)

Отрицательный знак перед корнем соответствует бароклинной неустойчивости. При Я->0 из i(2.6.20) получаем квазигеострофическое приближение (см. формулу (2.3.22) при v= p= 0):

рицательного знака перед корнем) все значения с2 положи­

тельны, как и в (2.6.22), и, следовательно, все короткие вол­ ны устойчивы при любых значениях F в отличие от негеостро-

106

фической двуслойной модели. На рис. 21 и 22 для сравнения показаны диаграммы устойчивости, рассчитанные соответст­ венно по формуле (2.6.22)-и (2.6.21). По оси ординат отло­

жены значения V“F, пропорциональные сдвигу скорости, по горизонтальной оси — безразмерные длины волн L, в едини­ цах L0= 2jt/&o-

Изолинии внутри области неустойчивости соответствуют безразмерным значениям коэффициентов возрастания соJ f =

= (aF)l/2d. Если в нижней части рисунков значения соJ/ практически совпадают, то при больших значениях F негео­ строфические эффекты оказывают заметное стабилизирующее действие в связи с тем, что относительная роль второго чле­ на в (2.6.21) с увеличением F уменьшается. Этот результат находится в соответствии с результатами Г. Арнасона (Агпаson, 1963), исследовавшим влияние негеострофических эф­ фектов в непрерывной модели. П. Стоун (1966) обобщил мо­ дель Г. Арнасона на случай волны возмущения, распростра­ няющейся наклонно к основному течению, в связи с чем воз­ никает новый тип неустойчивости, который не имеет места в модели Г. Арнасона и рассматриваемых здесь примерах. Результаты Г. Арнасона имеют в основном качественный ха­

107

рактер и не позволяют оценить численные величины коэф­ фициентов возрастания, так как степенные ряды, использо­ вавшиеся им для расчетов, перестают сходиться в области негеострофичности. Формула (2.6.21) позволяет вычислить сщ в нашей двухуровенной модели.

Если в открытом океане в низких и средних широтах обыч­ но Е<С 1, то в высоких широтах |(например, в Циркумполяр­ ном Антарктическом течении) в связи с очень малыми вели­ чинами вертикальной стратификации значения F могут замет­ но превышать единицу. Поэтому возмущения в поле скорости могут сильно отклоняться от геострофического режима. С этим, по-видимому, связаны обычные трудности расчета течений в слабо стратифицированных по вертикали приполярных райо­ нах океана.

§ 2.7. Бароклинный циклогенез и крупномасштабная турбулентность

вокеане

Вэтом параграфе мы остановимся на

некоторых качественных следствиях, которые вытекают из возможностей широкого распространения процессов бароклинной неустойчивости в океане. Из предыдущих результатов сле­ дует, что доминирующая длина волны крупномасштабных циклонических волн в общем случае заключена в пределах L0< L d< 2L 0, где L0— 2n/k0. В двухуровенном приближении ka определяется формулой (2.3.23), а в двуслойной модели

предыдущего параграфа k0= f V g'DiDil(Di+ D 2). Если несимметрия слоев не слишком велика, то обе модели приводят

тельство, что фактически наблюдаемые вертикальные гради­ енты скорости в открытом океане ( ~ 5 — 10 см/сек/км) не от­ клоняются сильно от величины нижнего критического значения сдвига скорости, соответствующего доминирующей длине вол­ ны. Аналогичная ситуация имеет место в западно-восточном течении средних широт в атмосфере (Ф. Томпсон, 1962), что объясняется саморегулирующим механизмом бароклийной не­

венно только в нелинейной теории.) Совпадение этих резуль­ татов показывает, что процессы бароклинной неустойчивости и циклогенеза в океане имеют такое же реальное значение, как и в атмосфере, где результаты теории в целом подтверж­

108

даются гораздо более обширными данными синоптических на­ блюдений.

Большое превышение над фактическими величинами сдви­ га скорости соответствующих критических значений на на­ чальных участках пограничных течений типа Гольфстрима или Куросио свидетельствует лишь о специфике этих течений, ко­ торые, имея компенсационный характер, определяются полем ветра в открытом океане и существованием меридиональных границ, отсутствующих в атмосфере. Тем не менее развитие процессов бароклинного циклогенеза после отхода этих те­ чений от материковых границ приводит к постепенному умень­ шению среднего сдвига скорости вниз по течению до значе­ ний, характерных для открытого океана.

Поскольку процессы бароклинного циклогенеза должны иметь широкое распространение в океане, за исключением очень высоких и очень низких широт, можно придать более определенный смысл так называемым коэффициентам гори­ зонтального турбулентного обмена, входящим в «вязкие тео­ рии» крупномасштабной океанической циркуляции (Штокман, 1946; Munk, 1950; и Др-).

Хотя различие между осредненным движением и турбу­ лентностью имеет в значительной мере произвольный харак­ тер и зависит от специфики задачи (рассуждения на эту те­ му имеются, например, в работах Stommel, 1963; Озмидова, 1965), в теориях общей циркуляции Штокмана—Манка цик­ лонические волны и вихри, несомненно, можно рассматривать как турбулентность, поскольку характерные масштабы океа­ нов (несколько тысяч километров) намного больше La (~200 км). С этой точки зрения величина Ld (или может быть лучше Ldj2) может быть названа «внутренним масшта­ бом» горизонтальной турбулентности, который должен, по на­ шему мнению, фигурировать при использовании известного закона четырех третей Ричардсона — Обухова ( A i ~ l if‘) для оценки фактических величин коэффициентов горизонтального

турбулентного обмена. Конечно, эффективные значения коэф­ фициентов горизонтальной турбулентности включают в себя турбулентность, индуцированную ветром, но роль этой турбу­ лентности за пределами тонкого приповерхностного слоя тре­ ния, по нашему мнению, несущественна.

Согласно Г. Стоммелу (1963), наблюдения и, в част­ ности, анализ водных масс в самом деле показывают, что в области масштабов существенно меньших Ld/2 ~ 10 0 км, на­ пример, в масштабах 10 км и менее, турбулентное перемеши­ вание весьма незначительно. Это также соответствует дан­ ным наблюдений, приведенным в § 2.4, согласно которым пе­ редача энергии от образовавшихся квазигеострофических вих­ рей к более мелкомасштабным движениям происходит очень

109