книги из ГПНТБ / Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане

сивным пограничным течениям типа Гольфстрима или Куросио, где вертикальный сдвиг скорости имеет порядок 1 м/сек/км. Однако горизонтальные размеры и скорости рас­ пространения этих циклонических волн в океане имеют сов­ сем иной порядок величины по сравнению с атмосферными циклонами и волнами. Например, из рис. 15 видно, что доми­ нирующая длина волны на границе устойчивости (для выбран­

кость в реальных условиях океана не может погасить нара­ стание циклонических волн и стабилизировать движение. На самом деле именно вихревые процессы бароклинного цикло­ генеза являются, по-видимому, основной причиной возникно­ вения крупномасштабной горизонтальной турбулентности, эффект которой в, виде коэффициента Ле входит в «вязкие теории» средней океанической циркуляции (Штокман, 1946; Munk, 1950; и др.).

Приведенные рисунки 14—16 все еще недостаточно нагляд­ ны, так как возмущения нарастают по закону exploit] и коэф­

фициентом возрастания является (см. § 2.2) Шг = &СгПоэто­ му на рис. 17 показаны значения сог-, полученные умножением

Ci из рис. 16 на соответствующие значения волновых чисел k. Для удобства значения со* в сек-1 умножены на 106. Из

90

рис. 17 видно, что величина доминирующей длины волны прак­ тически не зависит от вертикального сдвига скорости. Этот важный факт показывает, почему длины волн возмущений, как это показывают данные наблюдений, приведенные в предыду­ щем параграфе, изменяются в довольно узких пределах 200— 300 км. Конечно, спектр начальных возмущений всегда имеет конечную ширину в пространстве волновых чисел, но быстрее всего растут волны с длинами, близкими к Ld, и поэтому именно эти волны могут быть в первую очередь зафиксирова­ ны данными наблюдений. (Как уже говорилось, характерный диаметр вихрей, образующихся из нарастающих волн, равен примерно половине длине волны, так что вихри, обнаружен­ ные Смитом (Smith, 1967), — типично циклонические вихри в океане).

Оценим теперь параметры наиболее неустойчивого возму­ щения для Гольфстрима ниже мыса Гаттерас (заметим, что выбранные при построении диаграмм устойчивости значения параметров a, k0, Н в среднем соответствуют этому району). Возьмем среднюю поверхностную скорость поперек Гольф­ стрима, равной 1 м/сек. При таком значении Um из рис. 17 найдем, что максимальное значение со* равно ~4,8-10-6 сек-1. Длина волны Ld около 280 км. Амплитуда такой волны уве­ личивается вдвое примерно за время t=/n2/coi~21 суток. Фазовая скорость волны, рассчитанная по формуле (2.3.26), направлена на восток и равна 49 см/сек. (Простые алгебраи­ ческие соображения показывают, что для неустойчивых волн последний член в формуле (2.3.26) надо брать со знаком ми­ нус.)

Как видно из сравнения с данными предыдущего парагра­ фа, длина волны наиболее неустойчивого возмущения хоро­ шо согласуется с наблюдениями, полученными во время опе­ рации «Кабот». Однако для скорости возрастания меандров получаются слишком высокие значения: время удвоения амп­ литуды — двое суток, вместо десяти суток по Фыоглистеру и Уортингтону (Fuglister, Wortington, 1951). Это, по-види­ мому, является результатом приближений линейной теории, которая, строго говоря, количественно справедлива только для начального этапа роста возмущений, когда справедлив экспоненциальный закон нарастания амплитуды. В действи­ тельности, когда амплитуда становится достаточно велика, по­ является отклонение от экспоненциального закона, приводя­ щее к уменьшению скорости нарастания. Возможный меха­ низм замедления экспоненциального роста неустойчивых воз­ мущений был указан Л. Д. Ландау в 1944 г. (Ландау, Лифшиц, 1954, гл. 3). Поскольку наблюдения.Фьюглистера и Уор­ тингтона относятся к поздней стадии нарастания меандров, полученное расхождение между теоретической оценкой скоро­ сти возрастания и данными наблюдений следует признать ес­

91

тественным. Напротив, если бы теоретические оценки, осно­ ванные на линейной модели, давали заниженные скорости воз­ растания, то такие результаты было бы трудно объяснить. К сожалению, когда меандры (волновые возмущения) доста­ точно малы и скорость их роста достаточно точно описывает­ ся линейной теорией, трудности их наблюдения с помощью имеющейся океанографической техники, очевидно, возрастают. Полученное значение фазовой скорости сг= 49 см/сек при­ мерно в два раза превышает наблюдавшуюся восточную ско­ рость движения меандров ( ~23 см/сек согласно § 2,4). Как

показывают простые оценки по формуле (2.3.26), вклад второго и третьего членов в этой формуле очень м_ал для ре­

альных значений имеющихся параметров, и crmU. (Мы вы­ брали Um= 1 м/сек, так что U=U m/2= 50 см/сек. Поскольку

сг= 490 см/сек, видно, что вклад 2-го и 3-го членов всего лишь 1 см/сек.) Заметим, что Um= 1 м/сек грубо соответствует ско-'

рости, осредненной поперек Гольфстрима. Если бы мы взяли и т = 2—3 м/сек — скорость в стрежне Гольфстрима, то полу­ чили бы неправдоподобно большие значения 1—1,5 м/сек. Хотя данные наблюдений несовершенны, все они указывают, что с^эрость движения меандров гораздо, медленнее скорости, поверхностного течения (примерно на порядок величины). По­ этому полученную нами оценку фазовой скорости едва ли можно считать удовлетворительной. Более аккуратный учет

имеющей место в действительности вертикальной структуры океана (главным образом различия в толщине главного тер­ моклина и подстилающих его глубинных вод) позволит нам ниже получить лучшее приближение для величины фазовой скорости и коэффициентов возрастания.

Возвращаясь к диаграмме устойчивости на рис. 17, мы видим, что область неустойчивости резко обрывается со сто­ роны коротких волн, и все волны короче Ь0 = 2к1к0 являются устойчивыми. Мы уже видели, что эта граница неустойчивости в нашей модели связана с наличием вертикальной стратифи­ кации. Постепенный подъем правой ветви нейтральной кривой на рис. 15—17 связан с действием (3-эффекта. На рис. 15 вид­ но, что вязкость и вертикальная стратификация не оказывают существенного влияния на поведение очень длинных волн, и нейтральные кривые 1, 2, 3 со стороны длинных волн совпа­ дают. Полагая в (2.5.1) й-Я), легко найдем асимптотическое выражение для нейтральной кривой в области очень длинных

цы области неустойчивости со стороны длинных волн не су­ ществует. Вернее полная устойчивость достигается только

92

асимптотически, так как из формулы (2.3.25) следует, что

соi= Cik-+0 при &-Ч) для всех значений Um.

Численные расчеты диаграмм устойчивости, произведенные выше, находятся в удовлетворительном качественном соответ­ ствии с материалами наблюдений. Однако до последнего вре­ мени не было возможности провести последовательное коли­ чественное соответствие между результатами теоретических моделей и основными параметрами крупномасштабных возму­ щений в Гольфстриме и других системах течений. Лишь не­ давно обработка детальных съемок меандров Гольфстрима от м. Гаттерас до 60° з. д. (э. с. «Эксплорер», 1965—1966 гг.) позволила Д. В. Ханзену t(1970) провести такое сопоставле­ ние. Результаты приводятся ниже в таблице, заимствованной

* Дюксбери рассмотрел только нейтральные возмущения (устойчивые волны). Фазовые скорости вычислены для первых трех мод в диапазоне длин волн, представляющем интерес.

** Значения в скобках соответствуют вязкой модели для v = 5-107 см2/сек, величины без скобок вычислены при v = 0 .

Д. Ханзен высказывается определенно в пользу моделей бароклинной неустойчивости (1965, 1969) по сравнению с баротропной моделью Гаурвитца и Пановски и «квазибаротропной» моделью Липпса, в которых источником роста воз­ мущений является кинетическая энергия среднего движения.

Численные значения, приведенные в последней строке таб­ лицы, были получены э/с «Эксплорер» в 1965—1966 гг. во время детальных съемок района меандрирования Гольфстри­

ма ниже м. Гаттерас. Положение изотермы 15°С на глубине 200 м принималось в качестве индикатора стрежня Гольф­ стрима. На рис. 18, взятом из работы Д. Ханзена (1970), по­ казана типичная картина меандров для нескольких последо­ вательных моментов времени.

93

Как видно из таблицы, введение горизонтальной вязкости в модели автора (1965) существенно улучшает количествен­ ное совпадение теоретических оценок с данными наблюдений. Это объяснимо физически, так как. согласно данным наблю­ дений в рассматриваемом районе (Webster, 1961) горизон­ тальные напряжения Рейнольдса в большинстве случаев пере-

Рис. 18. Положение стрежня Гольфстрима по Д. В. Ханзену (1970) для трех последовательных периодов времени, э/с «Эксплорер», 1965 г.

носят кинетическую энергию от возмущений к среднему дви­ жению. Поэтому для основного течения с переменным (но баротропно-устойчивым) горизонтальным сдвигом скорости введение чисто стабилизирующего действия вязкости в поле возмущений должно быть качественно эквивалентно (в смыс­ ле влияния на возмущения) работе горизонтальных напря­ жений Рейнольдса, передающих энергию от возмущений к основному течению. Наконец, всегда имеется турбулентность индуцированная ветром.

Другая группа моделей (Warren, 1963; Robinson, 1967),

рассматривающая Гольфстрим как свободную инерционную струю, подверженную влиянию топографии дна и изменения параметра Кориолиса (сохранение потенциального вихря вдоль траектории), как отмечает Д. Ханзен, дает удовлетво­ рительное описание среднего пути Гольфстрима, но не в со­ стоянии объяснить фактически наблюдаемую структуру меаш Дров.

Все модели дают завышенный коэффициент временного возрастания доминирующей волны, так как, например в>;=

94

—с,к= 10-6сек-1 соответствует удв_оению амплитуды за чет­ веро суток, тогда как фактически время удвоения, по-види­ мому, не менее 10 дней. Это очевидный недостаток линейных моделей, так как при достаточно больших амплитудах ско­ рость роста должна существенно отклоняться от экспонен­ циального за счет нелинейных эффектов. Тем не менее коэф­

expi(kx—'(at) волновое число принимается для простоты веще­ ственным, однако М. Гастер (1962) показал, предполагая ана­

ki = &i(dioT/dkr) - 1. Эта формула позволила Ханзену оценить величину ki в моделях, где k предполагается вещественным.

Значения Ld=2nlkr, со,, ki, полученные автором в вязкой модели ,(1965), находятся в хорошем соответствии с данными наблюдений (величины, заключенные в скобки в табл. 1). Однако значения фазовой скорости, полученные Орлански (1969), который в более полной модели учел влияние топогра­ фии дна, лучше согласуются с данными наблюдений. Посколь­ ку в рассматриваемом районе относительные изменения глу­ бины невелики, более заметное влияние на фазовую скорость возмущений должна оказывать существенная разница между толщиной главного термоклина и слоя глубинных холодных вод. В этом смысле двуслойная модель с разными толщинами слоев может лучше соответствовать реальности, нежели мо­ дель с постоянным сдвигом скорости по вертикали. Кроме того, в некоторых районах океана внутреннее число Фруда (величина, обратная числу Ричардсона в двуслойной модели)

Двуслойная и двухуровенная модели

В этом параграфе мы следуем в основ­ ном работам (Тареев, 1967, 19686).

Как уже было указано, большие значения вертикального сдвига скорости должны приводить к интенсивному развитию

меандров' и крупномасштабных вихрей в соответствующих районах океана, что действительно подтверждается наблю­

дениями, в частности на участке Гольфстрима от мыса Гаттерас до большой Ньюфаундлендской банки. Между тем на

95

участке Гольфстрима от Флориды до м. Гаттерас наблюдения не отмечают заметного развития крупномасштабных волновых возмущений или вихрей, несмотря, на очень большие (по сравнению с критическим) значения вертикального сдвига скорости. Гольфстрим, проходящий на этом участке над об­ ластью материкового плато, представляет собой интенсивную узкую струю (ширина менее 100 км), ограниченную со сто­ роны берега и со стороны океана сравнительно медленно дви­ жущимися водами (см. рис. 8), в которых изопикнические поверхности практически горизонтальны. Ввиду этого, для описания свойств устойчивости Гольфстрима на этом участке мы должны принять во внимание конечную ширину течения. Кроме того (это будет ясно из дальнейшего), характерные параметры Гольфстрима на этом участке не позволяют ис­ пользовать при описании поля возмущений обычное прибли­ жение квазигеострофичности.

Поскольку Н. Филлипсом (Phillips, 1951) было показано, что простая двуслойная модель бароклинной неустойчивости правильно описывает многие важные свойства непрерывных моделей, ниже будет рассмотрена двуслойная модель основ­ ного течения, однако поле возмущений не будет предпола­ гаться квазигеострофическим. Если в метеорологии использо­ вание двуслойных (или двухуровенных) моделей имеет в зна­ чительной мере условный характер и диктуется в основном соображениями простоты, то в океанографии в связи с суще­ ствованием океанского термоклина разделение океана на два слоя может быть проведено более определенным образом Г Учет фактического различия в толщине термоклина и под­ стилающих холодных вод позволит получить, в частности, лучше согласующиеся с наблюдениями значения фазовых ско­ ростей неустойчивых возмущений по сравнению с соответст­ вующими значениями, полученными в § 2.5 в двухуровенной модели с постоянным вертикальным сдвигом скорости.

Рассмотрим двуслойное течение, направленное вдоль оси л: ширины I (рис. 19), в которой поперечный наклон поверхно­ сти раздела определяется формулой Маргулеса:

РР /

Индексы 1, 2 здесь и далее относятся соответственно к ниж­ нему и верхнему слою, р — среднее значение потенциальной плотности. При учете изменения параметра Кориолиса / с1

будем на этом останавливаться, а будем рассматривать существование термоклина прежде всего как факт, основанный на данных многочис­ ленных наблюдений.

96

широтой будем, как и выше, использовать приближение р- плоскости, считая, что ось у направлена на север (f= /o +

+$уУ-

2

Рис. 19. Двуслойное течение с разными глубинами слоев, ограниченное по широте

Уравнения возмущенного движения, линеаризированные относительно основного течения (2 .6.1 ), имеют вид:

предположено, что свободная поверхность верхнего слоя не­ подвижна (это предположение отфильтровывает баротропные длинные волны, не представляющие здесь интереса). Урав­ нение (2.6.4) является следствием уравнения гидростатики и непрерывности полного давления на поверхности раздела. Со­ ставляя из (2 .6.2) уравнение вихря п подставляя значение го­

ризонтальной дивергенции из уравнения неразрывности (2 .6.3), получим

1 Там, где нет дифференцирования по у, будем считать / = / 0.

i i a ' - р » ; = ег ’

98

При выводе (2.6.8) сделано пока только одно приближе­ ние: множитель Vj при |3 в (2.6.5) выражен через Pj путем ис­ пользования геострофического соотношения. Если следовать обычному способу отфильтрования и вместо (2.6.7) подста­ вить в (2.6.5) соотношения геострофичности

Квазигеострофическая модель такого вида с учетом гори­ зонтального изменения скорости основного течения была под­ робно исследована Педлоски (Pedlosky, 1964). Из сравнения (2.6.8) и (2.6.10) видно, что предположение квазигеострофич­ ности эквивалентно предположению AZ)/Dj<Cl и F = 0. По­ скольку нас в первую очередь интересует влияние негеострофических эффектов на поведение градиентно-вихревых волн, возвратимся к уравнению ,(2.6.8). Если предположить, что изменения глубины слоев ДD (см. рис. 19) на ширине течения

по сравнению с первыми членами. В самом деле, порядок первых членов A/ у /2, а вторых

Таким образом, вторыми членами в (2.6.8) можно пренеб­ речь; и, кроме того, заменить Dj=Dj(y) постоянными сред­ ними значениями, что в очень большой степени упрощает ма­ тематическую сторону задачи. Используя эти упрощения и