книги из ГПНТБ / Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]

Протекание динамических процессов в станках зависит от раз­ броса параметров заготовок в пределах обрабатываемой партии: колебания снимаемого припуска, которое, в свою очередь, опре­ деляется способом получения заготовки, неравномерности внут­ ренних напряжений, изменения твердости обрабатываемого мате­ риала. Так, например, результаты обработки эксперименталь­ ных данных по разбросу твердости НВ и диаметров D в партии заготовок вала редуктора шахтного скребкового конвейера GKP-20A показали, что оба фактора подчиняются нормальному закону распределения (рис. 2) [7].

Р и с. 1 Р и с. 2

Таким образом, отклонения (погрешности) значений, при­ нятых для расчета, по отношению к фактическим величинам пара­ метров динамической системы носят случайный характер. По этой причине исследование устойчивости динамической системы метал­ лорежущих станков проводим с учетом случайных отклонений исходных данных от фактических значений.

Поведение динамической системы станка определяется некото­ рой совокупностью параметров i = 1, 2, . . ., тг, которые могут быть представлены как координаты ^-мерного изображаю­ щего вектора X

X == #2’ • *•»

в /г-мерном пространстве. При этом каждый параметр может принимать случайные значения в соответствующем заданном ин­ тервале длины

= (*«, + Ч-) — (*<0 — 8*<)>

где xi0 — номинальное значение параметра; Ьх. — половина поля отклонения параметра от номинального значения.

Устойчивость обеспечивается выполнением определенных тре­ бований, предъявляемых к параметрам системы. Условия ус­ тойчивости могут быть получены, например, с помощью извест­ ных критериев Рауса-Гурвица, Льенара-Шипара, Найквиста,

90

Михайлова и других и выражены в виде неравенств относительно параметров системы

Условия устойчивости yv у21 . . . у,п, ограничивающие некото­ рую тг-мерную область устойчивости (), при приравнивании их нулю будут определять гиперповерхности в w-мерном простран­ стве. Детерминистический расчет системы сводится к определе­ нию вектора Х 0 таким образом, чтобы его конец (изображающая точка) находился внутри области устойчивости Q.

Поскольку параметры динамической системы, принятые для расчета, фактически отличаются от действительных значений и их отклонения имеют случайный характер, вместо точки, соот­

заключается в вычислении числовых характеристик случайного

(Q)

где Q=Q (хг, х2, . . ., хп) — область допустимых изменений пара­

Вотдельных случаях, имея необходимую информацию о ста­ тистических характеристиках и апробированное математическое обеспечение, целесообразно использовать приближенные числен­ ные методы, например, метод статистических испытаний (СИ) [8]. При этом появляется возможность замены физического экспери­ мента исследованием математической модели.

Впроцессе работы ЭЦВМ по специальной программе форми­

руется последовательность выборок псевдослучайных чисел с равномерным распределением в интервале [0, 1]. Затем они преобразуются в псевдослучайные числа %, имеющие заданный

(в данном случае нормальный) закон распределения

в границах возможных отклонений параметров. Границы отклоне­ ний и законы распределений отклонений параметров определя­ ются путем анализа статистических данных (например, раз­ броса параметров станков по данным заводских и эксплуатацион­ ных испытаний, ГОСТов).

Использование метода СИ связано с относительно большими затратами машинного времени. Поэтому определить необходи­ мое количество испытаний N при оценке характеристики гене­ ральной совокупности (доли определенного признака) можно по формуле [8]

N= t2 P ( i —P)

Д2

где t — аргумент функции Лапласа, определяемый по таблицам для заданной достоверности Р; Р — оценка вероятности устой­ чивости системы

P= M IN ,

где М — число благоприятных исходов моделирования; А —по­ грешность моделирования.

Для надежности оценки, равной 0,97, t = 2,2 и

N = 4,84.Р (1 — Р)

нимает наибольшее значение (при Р = 0,5), необходимо не менее 500 испытаний.

Стохастическая модель динамической системы станка пост­ роена на базе структурной теории автоколебаний при резании металлов, разработанной в [2] и основанной на анализе базовых

92

силовых полей в области вершины резца. Структура базового силового поля, определяющая устойчивость системы, зависит от условий обработки — режимов резания, геометрии инстру­ мента, жесткости упругой системы, изменяющихся случайным образом.

В работе [2 ] предложен структурный критерий устойчивости, который дает возможность исследовать состояние динамиче­ ского равновесия системы

где Си Ц, / = 1,2) — коэффициенты системы дифференциальных

уравнений возмущенного движения механической системы с двумя степенями свободы под действием неконсервативных по­ зиционных сил

где т — масса системы; Рг (,хх, £2), Р^(х1? #2) — нелинейные ана­

сокочастотным автоколебаниям упругой системы станка в про­ цессе резания, т. е. источником возбуждения автоколебаний будет являться упругая система резец—суппорт, собственная частота которой составляет несколько тысяч герц.

Нарушение неравенства (6) указывает на низкочастотные автоколебания, частота которых лежит в интервале 50—500 гц, близком к собственной частоте упругой системы деталь—опоры станка.

Оценка влияния отклонений расчетных параметров динами­ ческой системы металлорежущего станка от действительных зна­ чений методом СИ при анализе устойчивости заключается в модели­ ровании случайными числами законов распределения исходных параметров и определении устойчивости системы по структур­ ному критерию (4)—(6) при последовательном переборе опреде­ ленного числа комбинаций случайных значений исходных данных.

Отношение числа независимых испытаний, в которых имело место нарушение структурного критерия устойчивости, к общему числу независимых испытаний, представляет собой вероятность нарушения условий устойчивости расчетного режима системы.

Результаты проведенных на ЭЦВМ «Минск-32» расчетов под­ твердили существенность влияния отклонений параметров на устойчивость динамической системы. Предполагалось, что значе­

93

ния варьируемых параметров подчиняются нормальному закону распределения, что подтверждается экспериментальными исследо­ ваниями. При наличии отклонений в задании исходных парамет­ ров в пределах +15% система в ряде случаев переходит из ус­ тойчивого состояния в неустойчивое. В реальных же условиях эксплуатации жесткостные параметры станков могут отличаться

внесколько раз, как уже упоминалось выше. Это свидетельствует

онеобходимости учета возможных отклонений параметров при рас­ четах виброустойчивости металлорежущих станков, поскольку нарушение устойчивости современных станков с автоматическим рабочим циклом, вызванное отклонением параметров от рас­ четных значений, из-за большого экономического ущерба яв­ ляется недопустимым.

Втех случаях, когда законы распределения отклонений пара­ метров, полученные экспериментальным путем, не могут быть аппроксимированы известными аналитическими выражениями, задача может решаться с помощью деревьев логических возмож­ ностей [9]. При этом имитация случайных значений параметров осуществляется введением в память ЭЦВМ таблицы дискретных значений, принимаемых параметрами системы с определенными вероятностями, и перебора всевозможных комбинаций этих зна­ чений, соответствующих различным параметрам системы, в ре­ зультате чего осуществляется построение дерева логических возможностей.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. В. А . Кудинов. Динамика стапков. М., «Машиностроение», 1967.

2.Г. С. Лазарев. Автоколебания при резании металлов. М., «Высшая школа», 1971.

3.А . П. Соколовский. Научные основы технологии машиностроения. М.—Л ., Машгиз, 1955.

4.М. А . Есаян, А . С. Бабаджанян, Р. А. Петросянц. Динамическое ка­ чество металлорежущих станков. Ереван, АрмНИИНТИ, 1970.

5.В. И. Локтев, В. И. Попов. Виброустойчивость металлорежущего станка при случайном изменении жесткости упругой системы и глубины реза­

ния — Изв. вузов, Машиностроение, 1973, № 6.

6.М . С. Перетятько. Жесткость передних бабок прецизионных токарных станков. — Вестник машиностроения, 1966, № 8.

7.Е. В. Шматков. Влияние припуска и твердости материала па точность обработки валов из периодического проката. — Сб. «Технология машино­

строения», вып. 12. М., НИИМАШ, 1966.

8. Н. Л. Бусленко. Моделирование сложных систем. М., «Наука», 1968.

9.В. И . Сергеев. Инструментальная точность кинематических и динами­ ческих цепей. М., «Наука», 1971.

94

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЦВМ

ИАНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПУЛЬСИРУЮЩЕЙ ПОДНАЛАДКИ

В. Д. Клигман, В. А. Чудов

Для повышения точности обработки изделий в условиях мас­ сового и серийного производства размерную настройку станков корректируют с помощью систем автоматической подналадки ин­ струмента. Системы реализуют алгоритм управления, который может быть определен моделированием на ЭЦВМ [1] либо анали­ тически. При расчете алгоритма необходимо учитывать характер смещения уровня настройки станка в исходном (подлежащем подналадке) процессе. Исследования [2] показали, что для мно­ гих технологических процессов в качестве математических моде­ лей смещения уровня настройки могут быть приняты случайный процесс с независимыми приращениями и стационарный случай­ ный процесс, наложенный на линейную функцию времени.

Одним из алгоритмов управления технологическим процессом является алгоритм подналадки, осуществляемой по пульсирую­ щему циклу [1]. При такой подналадке сигнальная граница проводится обычно посредине поля допуска, а подналадочный импульс постоянен по величине, причем знак его противоположен знаку отклонений размеров группы п идущих подряд деталей, расположенных по одну сторону от сигнальной границы. Неиз­ вестными параметрами пульсирующего способа подналадки яв­ ляются:

а) число подряд обработанных деталей п, формирующих команду на подналадку;

б) величина подналадочного импульса /.

Исследования, проведенные ранее [3], показали, что при пуль­ сирующей подналадке, как и при других способах [4], оптималь­ ное п = 1.

Статья посвящена определению параметров результирующего распределения R (х) размеров деталей, обработанных с пульси­ рующей подналадкой. В результате анализа таких распределе­ ний определяется оптимальная величина I. Математической моделью смещения настройки х в исходном процессе принят ста­ ционарный случайный процесс, наложенный на линейную функ­ цию времени

х = X t d - \ - х ( t ),

где X— интенсивность износа режущего инструмента; t — время; d — постоянная, определяемая началом установившегося ре­ жима; х (t) — нормальная стационарная случайная функция времени с параметрами: а0 (среднееквадратическое отклонение) и М(х) = 0 (математическое ожидание).

95

Размер х каждой детали в исходном процессе может быть представлен суммой

х = х ~(- у,

где у — случайное отклонение размера детали от уровня настройки, характеризующее мгновенную точность процесса обработки; рас­ пределяется по нормальному закону с параметрами омг и М(у) = 0.

Рассмотрим процесс обработки с подналадкой. Подача под­ наладочных импульсов приводит к смещению уровня настройки х, не оказывая влияния на случайную составляющую х. Сумму размера первоначальной настройки и составляющей смещения уровня настройки, определяемой совместным проявлением под­ наладочных импульсов и износа инструмента, обозначим через £. Таким образом, размеры деталей, обработанных с подналадкой, можно рассматривать как сумму трех величин:

я = ж + Т + ^

Результирующее распределение размеров деталей можно опре­ делить как композицию нормальных законов для случайных величин у и х и закона распределения величины £. Заменим случайные величины у и ж случайной величиной (3, равной их сумме и распределенной по нормальному закону с параметрами

При этом [5] может подаваться импульс на подналадку в плюс с вероятностью

*4*1г

и в минус — с вероятностью

^ (^ Г = 0.5 + Ф0 (-g .).

хt 2

где Фд (х) = -J=- Г е 2 dt — нормированная функция Лапласа; an —

v27t J

о

среднеквадратическая погрешность контрольно-измерительной си­

96

щей подналадке в каждом цикле происходит изменение значения величины Ена X в одну сторону и на величину импульса / в ту или иную сторону. Составим уравнение, определяющее функцию условного распределения Р(Е/|3).

Пусть кривая на рис. 1 является частью дифференциальной кривой распределения. Тогда вероятность попадания величины

при этом положительного импульса можно представить как ус­ ловную вероятность получения положительного импульса при

Это же событие можно осуществить и в том случае, если значе­ ние Епопадает в интервал [Е+/+Х; E+Z+X+dE] и подается от­ рицательный импульс. Вероятность такого события

Р[(% + 1 + ЩЛ<К 0,5+ Ф0( i ± l ± i ± ! i . )

Полная вероятность попадания значения величины Ев интервал

97

Решение полученного уравнения будем искать в виде ^Р(Р+Е). Предварительно для удобства записи условимся под символом Р (5) понимать функцию Р([3+£). Для упрощения вычислений заменим значение переменной £ в уравнении (3) на ( I—X). Тогда

процессов обработки деталей на алмазно-расточных и шлифо­ вальных станках. В результате получим

0,5Р" (?) {х* - Р + Р [ф0 ( i — l ) - Ф0 (.

- Р ' В { / К ( ^ ) + ф. ( Ш ) ] + * } +

Приведенное линейное дифференциальное уравнение с пере­ менными коэффициентами и с граничными (краевыми ) условиями решалось на АВМ. Решения проводились при значениях сп = = 1/3 мкм, I — от 0,3 до 0,8 мкм с шагом 0,1 мкм, X— от 0,1 до

—0,1 мкм с таким же шагом. Полученные решения аппроксими­ ровались кривыми нормального распределения с математическим ожиданием М(£)= —X и среднеквадратическим отклонением о2(/, X). Учитывая, что под Р( £) подразумевалась функция Р( £ +

—|—р), условное распределение можно записать в виде

Безусловное распределение Р( £) равно

— 00

98

в результате преобразований получено, что безусловное распре­ деление величины 5 приближенно подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием М(%)= —X и дисперсией, равной (^ + а |). Результирующее распределение размеров, яв­ ляющееся композицией законов распределений ^ и р, подчиня­ ется практически нормальному закону с математическим ожида­ нием — X и среднеквадратическим от­

клонением

°1 = щ + °1-

Анализ решений уравнения (5) по­ казывает, что с2 уменьшается при при­ ближении величины импульса к X. Кроме того, для получения наибольшей точ­ ности линию настройки следует смещать в направлении действия износа инстру­ мента на величину X относительно тре­

им. А. А. Жданова.

Были получены многочисленные реализации случайного про­ цесса изменения размеров при растачивании отверстий под палец в поршнях. Статистическое исследование позволило установить, что этот процесс можно считать стационарным, случайным, на­ ложенным на неслучайную функцию времени (X = 0,2 мкм). Экспериментально исследовалась точность, получаемая при рас­ тачивании поршней с пульсирующей подналадкой (I = 0,3 и 0,7 мкм). Сравнение результирующих распределений размеров деталей, найденных теоретически, с экспериментальными (рис. 2) было проведено с помощью критерия Колмогорова, показавшего, что распределения хорошо согласуются (Р(Х) = 0,112). Значе­ ния среднеквадратических погрешностей результирующих рас­ пределений, полученных теоретически, экспериментально и модели­

подтвердили выводы, полученные аналитически.

Зависимость между параметрами исходного процесса и показа­ телями распределения размеров деталей в процессе с подналад­ кой позволяет обоснованно выбирать величину подналадочного импульса и оценивать возможную точность процесса на стадии проектной разработки.

99