книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

sup I E fn(x)— f(x) I <

x^R1

^

sup

dy +

x^R1

4-

sup

> 8

^

sup

sup \ f(x -y)-f(x)\ + 2 M \K(y)dy. (2. 1.6)

X ^ R 1

\ у \ < ь

\y\>m

sup |Е fn(x)-f(x)

|<

7].

x^R1

Теорема доказана.

Необходимо отметить,

что условия

теоремы

в некотором

смысле

неулучшаемы.

Ш у с т е р

доказал

[98, 99],

что если

К(х) удовлетворяет

условию 1°

и

некоторым

дополнительным

условиям, a h'n)—условию 2°, то

для равномерной сходимости

fn(x) к f(x) с вероятностью

1 необходима

равномерная

непре­

рывность

f(x) на всей оси.

§ 2. ЛЕММА О ВЕРОЯТНОСТЯХ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИИ

Вывод предельного

распределения

статистики,

с

помощью

которой строятся

доверительные

области

для

f(x),

основывается

на ряде вспомогательных предложений.

Основным

из них явля­

ется лемма 2.4

о вероятностях

больших

уклонений,

которая

представляет и самостоятельный интерес.

Предположим, что ядро К{х), которое,

как

было

отмечено

в § 1, является борелевской функцией,

интегрируемой по

Л ебе­

гу, удовлетворяет

условиям

1.

sup

K(x) <

со.,

2.

К (х)= К (-х),

3.

lim

хЩх) —О,

Х ~ ±

«5

СО

4.

Г K(x)dx=L

От плотности f(x) будем требовать

непрерывность

и ограничен­

ность на всей оси.

Пусть, кроме того,

min

/( л :)= р .> 0.

(А)

—°о<;а<■*<&< °°

Разделим

сегмент [а, Ь]

на s=s(n)

отрезков Дх, ...,A S рав­

ной длины hQ:h0— l/s—------ Число

отрезков

s будет в даль-

s

нейшем расти вместе с ростом объема выборки п.

Л е м м а

2.1.

При

возрастании

п,

Е f^(x) ->

f(x)

и

00

00

—

J К2 ^Х — - j f(u)du-'f(x)

J

Кг (и) du

равномерно

по

х,

—

оо

—

оо

— о о < х < с о .

2.2.

Пусть

tx, ...

ts — середины

интервалов

Л е м м а

,

A i,...,A s и

fn (tj) —Ешj n ( Q

) = „

— 1 / 2

V

'

«(ЭД.

j = ~ s ,

V b f n(t})

2

где

i = 1

7^

i

- v

1* e ш

j K2

f(u)du-h[ETn(tj)V

s „ = max

|Rtj |< csK* ( - У + 0(A),

(2.2.2)

1< 1, /<s

\h )

R(t{, t,)=

j

K(u)K

[Ь -Л . - u

) f(tt-uh)du-

- h

E

f n(tt)E tn(t,)

/ dn(tt) dn(t})..

Нетрудно

заметить,

что

s„ ^

sup

f(x)

max

l K(u) К

i i — U| du

x^R1

1<i, /'<s

J

iФ/

—oo

+ 0(h) / dn(tt) d ^ .

В силу условия (Л) и леммы

2.1,

для достаточно больших

п будем иметь

en ^ с4

max

Г /C(u) ДГ (

du+0(h).

(2.2.3)

1<г, j<s

J

<Ф/ —с

Поскольку

min

|

|

10 из (2-2.3) получим

1< /, /<s

' hn

+

0(A).

(-Д)

Лемма доказана.

h

С л е д с т в и е .

Если k jh -^c о ,

тогда

Если же

гп—о ( — I.

Л е м м а 2.3. С вероятностью 1,. max

sup

[

^

< С6Л"1/а.

х£[а,

6]

Рассмотрим последовательность независимых г-мерных (1

^ г ^ s) случайных векторов

Ь=[5(Ж ) ,.... ■?(i)(^)]v

1= Гл,.

Vn(x),

х £ Rr.

имеющих одну и ту же функцию

распределения

Легко заметить, что для достаточно

большого п распределение

невырождено.

Обозначим

Wn{x), х £ Rr, функцию распределения

суммы

^ !+ ... + ?п и

Fn(x) ~~ функцию

распределения

нормированной,

суммы

Vп

Таким образом, имеем

Fn(x)=Wn{V n x ).

(2.2.4)'

Pn = R {\ U Q \ > K i = l ~ } = -

t2]

dt^r

1+ 0 <8“ ч , +

0 ' т 1 г )

+-

" 7 S - .

ехр

2

h

1

exp { —r

+ 0 \Vnh

З а м е ч а н и е .

Доказательство леммы 2.4

существенно не-

изменится, если вместо

первых

г нормированных

отклонений

£*»(^i)> •••> £п(^-)

взять какие-либо г нормированных

отклонений

§n(/v

) (Jfex,

-л ю б ы е

комбинации

г чисел

из по­

следовательности 1, ..., S).

Д о к а з а т е л ь с т в о

леммы

основано на

применении со­

пряженных распределений,

введенных К р а м е р о м

[13].

Пусть

Vn(x) —функция распределения,

сопряженная к Кп(х):

—

1

Г

у)

Vn(x)= —

\ е

dVn(y),

где

R n=

{ J z’ y)dVn(y),

Рассмотрим

последовательность

5у = ( 1ц, ...,£;■/)»

/ =

1,

со,

независимых случайных векторов, имеющих одну

и ту же фун­

кцию распределения Уп{х) ю вектором

средних Еп=(т1, ...,тг),

где

т1 = ^

; j = l , г,

и матрицей ковариации

|!^?^)||,

где

dXi

д2 log R n

t, / = 1, г.

dxi дх{

Обозначим] lt^n (х)

функцию

распределения

суммы

+

+

••• +

%п !"и

(*) — функцию

распределения

нормированной

суммы

пЕп

Таким образом,

У п

Fn{x) = Wn(x V

п +

пЕп).

(2.2.5)

Следуя

Крамеру,

легко можно установить связь

между

Wn(x)

и Wn(x)

Wn(x) = (Rnr

Г с

(%У) dWn(y).

(2.2.6)

(ЯпГ е ~ ^ ’ Еп) f

е - * ' у) Vn dFn(y).

(2.2.7)

*) J означает интегрирование по

г-мерному интервалу

(— оо, х).

---QO

и ,

Рп’ = Р « _1/г

i= 1

m

h) >

к

k = r ?

= f dFn(x) =

т*

= (Rn)ne

n(Z’ En)

f e“

(x’

y)V ndFn(y),

(2.2.8)

Hn

где Ts = (ks, ..., Xs)

и Hn= T S—Vn En = (\s—V~nrnu...,\s—Vnmr).

Обозначим

t = t ” = (

т г

—

' - Й г ) ’

где

Исследуем P'n.

Покажем, что

K 7 m i= X , +

0 (e„X .) + 0 ( щ

) ,

i = ~ r ,

(2.2.9)

tHO i,

i = l ,

г.

Действительно,

00

К ~ т г= И-JL

f ^.e( ' " ,;CW

n(x) =

J

со

со

R,

xi*1dKn(A :)+ ...+

j*

x?dKn(x) + ... + j*

dVn(x) +

'

^ n

^ Xi(rn,x)2e ^

’

W n(x)=

— -(R irh -..+R it+ ...+

2

R„

R„

Y n

xt(tn, x)2 e l (Xn’ X)dVn{x),

(2.2.10)

-+Rlr) + ~2RT

; V ПrXl l

I xtI

(x,

X) е ‘ Ы ’ X)dVn(x) <

(2.2.11)

<

C,

exp

[ rcOi

}

f

(x, x) dVn(x) < c 7

КЯЛ

Ч

5

V

^ j

У nh

Rn= \ + 0

n

(2 .2 . 12)

Наконец,

ввиду (2.2.11) и (2.2.12),

из (2.2.10) получим

(2.2.9).

Рассуждая так же, как при выводе (2.2.9),

будем иметь-

где

£|/(л )=Я ,/+ *’,/.

I, i= ~ r ,

(2.2.13):

Rtl= |

xtx,dVn(x)

и

11ЧI <

с8 р =

, -

ос

J*x;x^eЫ ,X) dVn(x)

— ^

хгХу<1Кп(х)-|- Ax-j-A2, (2.2.14)

— оо

— оо

где

оо

J *'*/ ( “ ( 7 ^

+

•••+

dVn(x)

— оо

и

* • - т 1 *

[ у * * • + - + ■ & * ) ' *№ " ' W

1< 02< 1.

Согласно лемме 2.3, имеем

|Л‘ |<С‘ -Йн 2

{

1

“

Н Й З Г

(2'2Л5)

г = 1

—со

в

|Л2К г —

exp jc 5e2r - j ^ - J < c 9-^L.

(2.2.16)

Собирая оценки

(2.2.15)

и (2.2.16),

из (2.2.12)

и (2.2.14) полу­

чим (2.2.13).

Исследуем

теперь

выражение,

стоящее в

правой

части

(2.2.8). При этом воспользуемся

результатом В.

В. С а з о н о в а

первыми и вторыми моментами, что и у случайного вектора £i-

Положим

7 „ ( x) = G„(x) +

Qn(x).

(2.2.17)

Тогда по теореме В. В. Сазонова для всех п, п==1, оо,

sup

I < Ш I <

с10 ( V

~

Р(/ )

1

(2.2.18)

x £ R r

дп

где

р (о _

^ I £а mi I3

Рл

(Е (|/х

т г)а 13/2 *

Дп—детерминант матрицы

корреляции случайного вектора

и

соответствующие миноры этого детерминанта.

Легко

заметить, что

1

E jlh — fflt)*

= cu / г 1/2-/===■ C

c ,hr1/2» •

си

у г

[E g a -m f}* !*

УЩп

12'

1 = 1,

Г,

(2.2.19)

» и

AW

тпри возрастании

п.

An

.=1

Согласно (2.2.19), из (2.2.18) имеем

sup |Qn(x) |<

clz(nh)~1!2.

(2.2.20)

x^Rr

P'n=(Rn)ne—n(in , Еп)

е~Ы ' у)УпйОп(у) +

нп

+

I в (Zn' y)VndQ M

=7i + / 2.

(2 .2.21)

Нп

В первую

очередь оценим / 2.

Пользуясь теоремой о замене

переменных в интеграле Ле­

J

. у)У~пdQn (У)

< cu(nh)-yl2.

(2.2. 22)

Нп

Множитель (# п)” ехр [—п(хп,

£ „)],

входящий в / 2,

представим

в виде exp }n[log Rn— (хп, £ „ )]} .

На основании

лемм

2.2 и

2.3 легко показать, что

п [log Rn- (т„,

Еп)] = -

X’ + 0(е„Х 1)+ 0

•

(2-2.23)

Следовательно, в силу (2.2.22) и (2.2.23),

,* - ° ( Й г “ ,,Н т } ) -

<2-2-24)

Перейдем к вычислению

главного члена в / г

Обозначим

£«(*) =

1

ехр { -

—

2 дuxtxi\

(2к)г12 У

Д„

2Д„

t, /

1

exp

{ - 4 -

<*. *)

(2 .2 .2 5 )

(2«)■ПП