книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

тде

по-прежнему

sx =

п

- f itl V

n ,

— X <

<

X ,

s2 =

n 02+

t2V~n ,

- X < 1 2< X ,

Д tx =

Д t2

=

1

Y~n

и

an-> 0

при

я с о .

Следовательно, в силу (1.4.36) и (1.4.37),

lim Рп (0<?>, 0<jft

X) =

Ф (01э 02; X) =

1

X

X

ехр

-------- ——

} х

2 те ]/ 0i(02—0х)(1 — 62),

'

2 0*

2(02-

0!)

2 ( 1-

02) ' Л

—X —X

X - [1 -

/х (02 -

9х) -

h (02

-

0х)1 di t d U .

Учитывая

(1.4.34)

и (1.4.35)

и раскрывая скобки под

ин­

тегралом,

будем

иметь

Ф (01, 021X) =

2 т е ]/ 01(02 -

01)

(1

02)

X

7

7

п

%

-

Ч 2

п

x

j

J « P ( -

dtр

di*2

20!

2 (0а -

01)

2 ( 1 -

0.)

—X

—X

1

оо

X X

ехр

J ]

X

2 те ]/ 01(03 -

01)(1 -

02)

v=0 — x — x

2 01.

X ехр j —

2(1

*t

02)

1(4v +

2)X — tx -

-

2 (02- 0x)

— ехр

n

n

[(4 v -f- 4) X +

^

— /2]2

]+

2 0i

2 ( 1 - 0 0

2 (0a -

0i)

+

exp

J l _____

f2

,[(4 V +

2) X +

;* +

<,!»

fc2

2 (02-

0i)

201-

2(1 -

02)

exp

Г

t\

%

[ ( 4 v + 4 ) X - t i + t , ] r

dt1dt2

20x

2(1 -

02)

2 (0*— Эх)

1

X

2 « K

0x <0* — ©i) (1 - 02)

X

X

/l)2

X

exp

t\

(t2 -

d / i d 12 —

■X

— X

2 0 x

2 ( 0 2 -

0 x )

2 ( 1

- 0 , )

1

X.

2те У

0i (02 -

0i)(A

-

ea)

00

X X

t?

t\

R4v+ 2 ) X - / x+ *2]2

X 2

> ,

;exp

' 2

26x

2(1 — 6,)

2 (02-

0!)

v^O—x —x

exp

t\

[ (4 v + 4) X — tx— (212

d'ti dt2 .

20x

2 (1 - 02)

2 (0, — 0x)

(1.4.38)

Преобразуем это

выражение. Полагая,

как и раньше,

h — zi К 0х<1 — 0х) .

имеем

t2 =

22У 02(1 — ©i ),-

1

X

2

75 К

©х (02 -

© х ) ( 1

-

е 8)

X

X

ti

п

__

__

{ /

^l)2

___________

<d ^x d 12

X

J

J

“ P

i -

2 6x

2(1 -

08)

2 (02— ©x)

— X — X

X

X

/ 01(1- 01)

/ 0в(1- в 1)'

' 2 теV "1 -

tf2

J

exp

{; —

у

0- (2j,- Zj)

} dZi dz.

/ 0/ l - e i )

/ е 2( . i - 02)

D _

I

^2)

л

у \_

I

(«! - 2 R zxz2 + z\).

■j—

к

V е , ( 1 - в а) ’

e (

l ’ 2' ~

(1.4.39)

Далее, нетрудно видеть, что

_____ t\___________ tj

_

[ ( 4 у +

2 ) X -

tr - f8]«

2e2

2(1 -

02)

2(es. - e 1)

=

_ i

- 0

( Zl, z , ) - 2 ( 2 v +

1)*X*,

где

переменные tx и t2 связаны c

zx и г2 следующими соотно­

шениями:

к = (4 v + 2)Х вх + гх Т/ 91 (1 - 0г) г

к =

(4v +

2) X (1 -

02) +

z21/ 02(1 - 02) •

Полагая теперь

= (4 v + 4) X 0j + zx У (1 — 0г) г

(1.4.40)

к =

z2У02(1

(4 v +

4) X (1

— 02) +

— 02)

будем иметь

_____ к_____ tl

__

[ ( 4 у +

4 )Я, — к — ^ ]2'

2

0!

2(1 -

0Я)

2 (02 —

0,)

=

—

-1

0 (Zl, z2) -

2 (2 v +

2)*Х*.

V 0а(1— 0а)

1 0 (zx, z2) \dz1 dz2 —

ехр

2-п У 1 — R2 J

X

/ M l - Л ) У М 1- У '

— X — 2 (2 v 4 - 1)X0,

— X — 2(2v* + 1) X (1 — 0a)

/ 9 , (1- 6,)

/ 6 2 ( 1 - 6 2 )

+

1

2 V exp { — 2 (2 v + 2)2X2} X

2izV

1- Я 2

2

v-0

X — 2 (2 V +

2) X 0,

X —

2 (2 V + 2) X (1 — 0a)

/ 0, 0 - 0,)

/ 62(1- 62)

X

1

exp I ------ — 6 (z1,z2)dz1 dz2

— X — 2 (2 V + 2) X 0, — X — 2 (2 v + 2 )X (l-

/ 6, ( 1-H ,)

/ 62(1- 62)

Отсюда

непосредственно следует

Ф (0„ 02; X) =

X

X

/ 6 , ( 1 —6,) / 0 2 (1 - 02)

X

X

/ 9 , 0 - 9 0

/ 62( 1- 62)

CD

г-Х у .’ -

У

г 2

( ~ ‘ )>' 1 е х р 1 ~ 2 *П , , Х

fe=l

/

0, 0 - 0,)

X — 2k\(l — (

/ 02(1 ■

X

exp { -------— 0(2!, zs) } dzxdz2.

— X — 2kX 0,

— X — 2 fe X (1 — 0a)

/ 9 , 0 - 9 0

/ 62(1- 63)

Если

0Х = 0

и

02 =

1,

то

со

И т Рп (0,

1; X) =

1 -

2 V

( -

l )^1exp { - 2fc2X2} = K(X) .

Л — оо

X e x p {— 2& 2 X2} l

1

d z 1d ?2 ,

j* exp

2 0

(Zi, z2)

— X — 2fe X0

— X — 2fcX0

/0 ( 1 — 0)

/ 0 ( 1 - 0 )

5. Г. M. Мания

65

1 -

0 *

В

приложении к

книге

приведена

таблица

для

функции

Ф (0, X), [25] (см. табл. 2). С

помощью

этой

таблицы при дос­

таточно больших п(п ^

100)

можно указать

верхний и нижний

пределы отклонения Sn(х) — F (%) на интервале

[х: 0 ^

F (х) ^

^ 1 —

0} ,

гарантируемые

с

наперед

заданной вероятностью.

Пусть,

наприхер,

0

=

0,25,

X =

1, 6;

тогда для доста­

точно больших п с вероятностью

0,,9883

можно

гарантировать

неравенство

У п

У п

для всех х из интервала {х :0,25 ^ F (х)

0,75) .I

§ 1. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ /„ (*) К /(*)

П а р з е н о м

[90] было доказано,

что

при некоторых усло­

виях fn(x)' по вероятности

сходится

к f(x) равномерно на всей

прямой. Условия сходимости с вероятностью 1 устанавливает

Т е о р е м а

2.1 [47].

Если

1°

К(х)—функция с ограниченным, изменением и JK ( x ) d x = l ;

•

(

•

00

2°

ряд

—ynfl2

е

сходится при любом у >

3° f(x) равномерно непрерывна на всей оси,

то с вероятностью 1

Vn=

sup

I fn(x)-f(x) |

сходится к нулю.

x£Rl

^

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Vn —

sup* I /„ (x) — E fn{x) J.

М /

x^R1

Покажем,

что

с вероятностью

1. В самом деле,

применив

формулу интегрирования по частям, находим,, что

sup

I fn(x )-E fn(x) | =

sup

: x£Rl

x^R1

oo

-

T . f

^

sup

Т | | Э Д -

x£Ri

dK

x —u

<

sup

\ S n( x ) - F ( x ) \

- I j i ,

h

Vx £ R L

i

'

h

i

.

>

(2. 1Л)