книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

ками

последовательности

•

Если

точка

£

i

есть

точка «входа»,

то

будем гово-

рить,

что

произошло

событие

Ад (р). В этой

точке

« „ 1+, > ~ F

> +

п

т1 +

д, +

р

п

и, следовательно, левее точки

расположатся

в точности

т1 + Q+

р

наблюдений.

Если

точка

есть

точка

«выхода», то

П

тх +

q — р

(1.4.2)

и, следовательно, левее точки \т

расположатся

в

точности

тг +

q — р наблюдений.

Последнее

событие

будем обозначать

через

Aq(

-

р).

Пусть Рп(яг, s2), как

и в предшествующем параграфе, есть

вероятность равенств (1.3.3). Обозначим Р51S2(р; п) условную

вероятность

неравенства (1.4.1)

для

всех х,

при

выполнении (1.3.3).

Тогда

Рп ( 0(?>, 012>; - £ =

■ 2

pn(si,S2) P

(p; n).

(1.4.3)

У п

SlS2

0 < S j ^ S2

Для

условной

вероятности

P

(p;

n)

имеем

PS1S2(p; n) =

0 ,

sl s2

если

и

si >

mi +

P

или si <

m1 — p

s2>

m2 - f

s2 <

m2 — p, ,

p

или

так как, при осуществлении едкого

из этих

неравенств, кривая

5 П(х)

на концах

сегмента

[ 1т , \т ]

выходит из полосы Сй.

Рассмотрим

случай, когда

тг +

11<

h ^

тх +

р ,

тг — l1< sa < тг + I1•

Положим

т =

т 2 — тг .

При наших обозначениях

1

- Р ^

; п ) ~

Р {

т

U

(Л ,(р )

l M

, ( - | i ) ) } .

(1.4.4)

9 = 1 .

Пусть события

Ur и Vr

определяются

следукшим

об­

разом:

и г =

Л ^Р)

••• Л‘ _х (р.) Аг (р) ,

Уг =

А\ ( -

р)

••• Аиг ( -

Р) Л, ( -

Р) > г =

1, т .

Эти

события

взаимно

исключают

друг

друга

и поэтому

для

(1.4.4)

можно написать

т

т

1

-

Р

( | г , п ) = У

Р ((/г} +

Y

Р

ю

(1.4.5)

S, S.

Л=Т

г= 1

С другой стороны, аналогично (1.3.9),

я

Р { Л 9 ( Р ) } =

2

Р { ^ } Р И , ( и ) М / ( р ) }

+

/•=1

Я

+

2

Р |1/г}

Р И ч (ft)

f Л , ( - р ) } ,

r = 1

Я

Р {А9( -

р) } =

^

Р {V,} Р {Лд ( -

р)

|Л, ( р ) } +

я

____

+

2

р i v , i Р И , ( -

р ) | л г ( -

р ) } ,

д = \ , т . ( 1 . 4 . 6 )

7^1

(1.4.6)

представляет систему 2 т линейных

уравнений о

носительно 2 т неизвестных

Р [Ur] и

Р {У,} ;

решим ее

мето­

дом производящих функций.

Пусть,

как

и

в

предшествующем

параграфе,

hq,

q =

=

1, т ,

обозначает

число наблюдений,

попавших

в

интервал

Наступление событий Лв(ц) или

Aq( - ц)

в предположении,

что

S„ (Е

) =

S

,

Sn (Е

) =

S

,

в си -

—

п

т1

П

"*»

лу (1.4.2),

равносильно осуществлению

следующих равенств:

Sn( Е

,

) — Sn ( Е

) =

+

я 4- p -

Si

t .

e.

К +

••• +

hq =

+

<7— p, — sx ,

(1.4.7)

и соответственно

(для Aq(— p))

Щ +

q — p- — Sj

S " < W

- S « < « « , ) "

n

t.

e.,

7*1

■’ ■ H“

^

ml — Я4“ I* — S1

(1.4.8)

Пусть

s =

s2 —

— число

наблюдений,

попавших в сег­

мент

[ 5m

,

];

при

сделанных предположениях,

принимая во

внимание (1.4.7)

и полагая

I = mx — sx - f

[х

,

(1.4.9)

получим

р

ц

» }

=

s !

/

9 \ Ч-<7 /

т — q у —l—q

(l + q)[{s — l — q)\

\

т /

\

т

=

Рд (*) Рщ-д ( S - 1

-

т)

'

(1.4.10)

Рщ ( s - т)

где

Рд (ц)

определяется, как и раньше,

из (1.3.12).

Аналогично,

если положим

I — т^

[х ,

<1.4.11)

р М 9( - ц ) }

р Q) рщ-ч (s - 1 - т )

(1.4.12)

Pm (S-

т)

Для условных вероятностей Aq(ц) точно так

же

будем

иметь

Р { Л » |

Л » }

=

J

=

Р {К+2 +

■■■+

\

=

q -

г |hr+1 +

■■■ -j~ hm =

s — I

г] —

_ Pq-r (^) Рщ-д (s

I — т)

(1 4 13)

Р т - г ( * - 1 - т )

Р [ Л , » ) | А , ( - у . )1

-

Pm-r (S

~

l Z

™L,

(1.4.14)

- I -

т )

р И , ( -

|1)

|Д ,(р ))

=

~

~ f

—

,

(1-4.15)

Р И ,( -

р) |Л ,(

-

ц)}

=

Pq-r(0)Pm-q( s - l - m

j

'

(1.4Л6)

Pm~r ( S - I - т )

Если ввести

новые неизвестные, полагая

Рт(s -

т)

« , = р т Рт-г (s — 1 — т)

(1.4.17)

P m (s -m )

vr =

P{Vr}]

Pm-r(S— l - tri)

то,

согласно

(1.4.10),

(1.4.12) — (1.4.16),

основные

уравнения

(1.4.6)

можно свести к следующим:

я

я

pq( l ) = ' 2 i [“rPq-r(0)+ ^ o , P q_r ( 2 p ) ,

<7=

1 ,т ,

r= 1

Я

Я

____

pq(?) = 2

«Г Pq-r ( -

2 Р) +

V Р ,.., (0),

q ~ l , m .

я

я

q =

___

Ря(1) = ^ u r Pq- r(0 )+

I, со, (1.4.18)

и

ъ=\

я

я

___

^ > = * 2

и , Р , - Д - 2 ц ) + 2 ^

Р ^

( ° ) ’

Я**1’ ™

7^1

7^1

(пользуясь

тем, что коэффициенты

P9_r(0), Рд.г(2р.) и

Pq-r( — 2 ц)

определяются для всех

значений q и г ) .

Система (1.4.18) может быть решена с помощью произво­

дящих функций.

Положим

00

со

и

= 2

Uqw<?’ у ^ = 2

Vq

и

<7=1

<7=1

Р (р; со) = п - * Р ^ Р » со2 . ‘

9—1

Тогда, в силу (1.4.18), будем иметь

Р{1\ со)

= ы(со)Р(0;

со) - f У (со)Р(2р; со),,

(1 4 ] 9)

Р (J; со)

=

м (со) Р ( — 2 р; со) -р У (со) Р (0;

со).

Из (1.4.19)

определяются

и (со) и

у (со), а

уравнения

(1.4.17) определяют Р{£/г)

и P{Vr). Но нас интересует лишь

сумма, встречающаяся в (1.4.5).

Положим

/ — т)

(1.4.20)

и

я

1

2

v' pi-'(s -

1 -

т) ;

Pm (S -

т )

т

I — т)

fIL

7 т

рт(*

т)

г==1

“гРт-г(*

Л=1

р т

а

т

Рт =

2

*г Рп- Л * - I - т )= ^

Р (КЛ

Рт (s

-

т )

/•=1

г=\

Следовательно, в силу (1.4.5)

1 -

Р.

. (F. л)

=

Тт 4 - Р « •

(1.4.21)

5i 5а

Из (1.4.20)

будем иметь

оо

1

Г ( “ )

=

" S

0)2 =

m ( o) ) P ( s — / — т ; ы ) п 1/ 2. ( 1 . 4 . 2 2 )

Рт(s -

(« )

т )

9=i

Аналогично

? (“>)

=

Ро ^

---------------у (ш) Р (s—1—tn; со) н1/2.

(1.4.23)

<7=1

Рт (s

-

т )

Теперь

исследуем

предельный

вид этих

производящих

функций,

когда

п ->

со .

Для этого

рассмотрим

фиксированное

число

t >

0

и

положим

S = — .

Пусть при

п->

ОО

п

<78 =

—— > t .

(1.4.24)

п

Далее,

положим

to =

e-s/”

=

e~6s,

sx =

П01 +

tl Y П,

(1.4.25)

S2 — Ц 0g И" ^2 ^ ’

где

я

t2 — действительные числа

и

л > tx ,

х >

t2,

—L= = х -

/, + o ( i ) .

У n

С помощью (1.4.25) нетрудно видеть, что

7

— — X — г“2 “Ь Р (7) •

=

V л

В

силу

известного

свойства закона

Пуассона

для

JL t f

I

I

п

X — ^

,

при

я - >

оо ,

будем

—т==

и —т = -> — X —

V п

У п

иметь

lim nV* _Pa (/)

=

(2 7i-.ty1!2exp

| —

— ------^lL_

Tl—►оо

I

2 t

lim л1'2P . (/)

=

(2 те t)~1>2exp

(X

+ УТ

tl—»oo

2 t

Отсюда,

согласно лемме 1.2, получим**

|* t' 1/2 ехр | ------ ^

^ . — st \dt =

2 ТЕ

2 1

=

(2 s)'1'2ехр { -

(2 s)1/2(1 —

/ i ) } ,

(1.4.26)

lim Р(7; e_s/n) =

8 - 0

1 ' V z - e x p J - ^ + ^ i )2

st l dt =

ТЕ

2 t

=

(2 s)-1/2exp { -

(2 s)1/2(A +

/ , ) } .

*) Доказательство применимости этой теоремы к данному случаю

остается

прежним (см. § 3).

Аналогично

lim

Р (0;

e~sin) =

(2 s)-1/2 r

6 -0

Нш P (2\l; e~sln) =

(2 s)-1/2exp { — (8sX2)1/2) } ,

(1.4.27)

b-0

lim

P ( -

2 p; e~sn) = (2 s)-1/2exp { - ( 8 s X2)1/2}.

6 - 0

Тогда, в силу (1.4.26) и (1.4.27), из (1.4.19) следует

lim

и (e~sin) =

6 - 0

exp { -

[2s(X - W

2} ~ exp { - (8sX2)x/2-

[2s(X + txf J1/2 }

1 -

exp

{ -

2 (8 s X2)1"/2}

’

Аналогично

(1.4.28)

lim & (e~sln) =

6 - 0

exp { -

(2s)1/2(X +

*,)} exp

{ -

(2 s)1/2(X -

- (8 sX2)1/2}

1

-

exp { -

2 (8 s X2)1'2}

(1.4.29)

Покажем

теперь,

что

я-1у (e~sln)

и

n~1^(e~sln) имеют

определенные пределы

при

со и s >

0 .

В

самом

деле,

из (1.4.22)

и (1.4.23)

имеем

/

г

1 у(е~*1п)

u (e~s/n) Р (s — / — т; e~sln)

n1'2 Рт (s — т)

(1.4.30)

v (e~sin) Р (s — I — т;

e~sln)

п~1

§ (e-s'n)

п1/2 Рт(s — /и)

Из

(1.4.9) и (1.4.11) нетрудно видеть,

что

Тогда, аналогично (1.4.26), получаем

lim

P ( s -

l - tn\ .e~sin) =

(2s)rV* exp

{ -

[2s(X -

4 )2]1/2

(1.4.31)

lim

P(s — l — :m; e~sln) =

(2 s)-1/2exp { — [2 s(X -(- ^2)2]1/2} •

П -+

со

Таким >образом., в

силу (1.4.34), (1.4.28), (1.4.29) и

(1.4.31), для (1.4.30) можно написать

lim

гг1 у (e~s!n) =

■П~+ СО

f )

1/2(92 -

е

^

/ 2 е х р

{ -

( 2 ^

/ 2( Х - д е х р

v

exp { -

(2 sfl* (X -

tx) -

(2 s)1/2(X +

tx) -

(8 s X2)1/2)

1 -

exp

{ - 2 (8 s* 2)1'2}

O i( s )

(1.4.32)

^

( t )

; (02- 0i)1/2ex p 1{ '- (2s)1l2(X -K x)} exp

x

v

exp { -

(2 s)* /» (!+

tj\ exp { - (2s)1/2(X -

- (8 SX2)1/2}

1 -

exp { — 2 (2s X2)1/2}

= Ф2(s).

(1.4.33)

Представив [1 — exp

( — 2 (8 sX2)1/2} ]-1

в виде суммы

бес­

конечной

геометрической

прогрессии, для

Фх (s) и Ф2(s)

по-

.лучим

Ф 1 (S) =

' (02—0i)1/2exp

— ^ ] [ e x p { - ( 2 s ) 1/2( 2 X - ^ - y }

00

— exp {— (2 s)1/2(4X +

tx — t2) } ] ^ jjj exp { — (2 s)1/24 v) =

3 o

=

-

(t2-

t,)2

(02 — 0i)1/2<e*IP

X

. 2

( 0

2 -

0 x)

X

' т

) 1/2 2

ехр,{~

(2s)1/2 [(4v +

2Д -

-

<,] }

v=0

,1С V1/2

,ИЯМ -

(2 s)1/2 [ (4 V + 4) * +

-

Ш

S

2

v =±0

и

ф , (S )-

= ( т

ехР|^в-Г57)}1ехр (_(2 s),',(2х+г>+(л-

оо

-

exp { — (2 s)1/2(4 X - it, -

*,)} ] V exp

{ - (2 s)1/24v X} =

v = 0

(e2-

9l,^ exp [J ^ _ J g j X

JC\ 1/2

exp.{ -

(2 s)*/2[ (4 v +

2)x +

lt +

t2] } -

2

ti_ V1/2

<exp { - ( 2 s f /2,[ (4 v +

4) X —

- *a] }

^l)2

QQ

exp Г

[(4v+ 2)X -/1- / 2]21

е 2 -

0.x \ , / 2

ехр

(/2

I V

t

L2(e2-0x)J 1 X

1

2/

оо

[ (4,у +

4).Х +

'/1 - ^ ] 2

У е х р

2't

^ 0

/2 (0 = ( 0

2

exp

(*2 -

A )2

exp

[(4v +2)X + /1+ /2]2

2 (0, - в х )

-v=0

2t

, exp

[ (4a>+

4).X-

^

-

/ 2]2