книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

е & , *2) =

4 -

+

(*2 ~

^l)3

t\

+

01

t\( 88 -

9,)

+

t\6,

t%(\-

Q,) +

t\(93-

8X)

2 < A

0i (92 - 9 i)

(02— 0i) (1 — 02)

02- 6i

__

t\___________ 2 t1 t2

_______ t\(1 - 9X)

01

(02 — 01)

02

01

(02

0l) 0

02)

Сделаем теперь замену

переменных, полагая

,

^i —

zi

01 (1

02) *

Так как

U =

г21^02 (1 -

02) •

2? (1 -

6i) 02 .

А (I

-

9,)

62

2г ,г2~\f 0j 02( 1-

0Х) ( 1—0а)

02-

0!

02 -

02

02 - 01

3 0

-

е х) 0 2

А -

2 ^ г %

0i ( l ~ 0,) + z!

02

01

02(I

0,)

x___________ x

V » l ( l - 01> ^ 2(1- 02)

2 n V

*

^

^

exp

^------ 5-0 (2lr z2) |

dzt dz2

1- R 2

(1.3.36)

Применяя

известное

разложение

[ 14v

62]

для

интеграла

(1.3.36),

получим

X

X

1

V 8,(1 -0 0 / 8, (1- 0,)

1

exp

2 г. V 1 -

Я 2

I -------— 0(z „ z2) J. dz1dz2 =

_ ^

j :__ф <«)

6, ( i - е

ф(")

1к е 2(1 - % ) !

/1=0

n !

к

о

; '

‘

(1.3.37)

Преобразуем

теперь

многочлен в показателе

второго сла­

гаемого подынтегрального выражения (1.3.34).

Положим

2 X0,

ti ~

4"

т, г

тогда

t2 =

2 X (1 — 0'2) +

т2 ,

9 ^ Л ) ~ # - +

(2 \ - Л - ^

+

1 - 0 8

0,

02

-

01

*! 02

"И !

~

9))

2 -с. То

- f

4 X2 =

0 i(6 2 - 0 i )

'

(1

— в2)(0 , — в,)

1

&2 — 0,

= 01(^1* ^2»

•

Положим,

как и раньше,

Ti — гх "V01(1

9i) >

тогда

т2 =

z2V % ( 1 — в*) >

01(тх, т2; X) =

. f f f o A z 6Я

®2

01

. — 0,

■ 2^ z a| /e 1e2( i - e 1)(L -

у

-Ъ 4Х2 -

0, - 0!

(.1 _

9l) еа

+ 2-z^g

Si ( 1-

0,) + z\ + 4 X2 .

02

вх

0,(1 -

0i)

Следовательно,

2~(T^ i? 2) (Z" +

2 R zi

+ A) ~ 2.X2

=

- y 8

(zx, г2) -

2 X2 ,

где R -определяется из (1.3.35).

Таким образом, второе слагаемое

(1.3.34)

равно

X — 2X 6t X — 2Х(1 — 6а)

/ M i - У

/ 8, ( 1- 8J

exp { - 2 Х2] f

J _

Y

0(2i ,

Zz) \dz-2-

(1.3.38)

lim Р* [в<«», 0(«);

X] -

л—»°о

/ 0 1 ( 1 - У / 0 , ( 1 - 8,)

1

dzx

exp

~

0(zx, г2) | cfz2

2 я / 1 - t f 2

■—

oo

—

oo

X — 2 X 8t

X—

2 X (1 — 6„)

. / M

l

— 0!)

/0 д ( 1 - 0 , )

f

^

f e x p { _

l e

(Zl. 2!) } d 2! =

х

X

Ф^

;Ч = 2 Д фИ| (ж (1 -

Qj)

х ф (п)

X

2 X2}

х

— ехр { -

Urn

P J(Q ,6;.X).

г Ы

Н

- у l d x

п—°°

X — 21(1 —6)

/ е

(1 -

в)

ехр { — 2 X2}

С

Л у

V 2 T

J ехр

Если, наконец,

9Х =

1-

02 =

6.,

то

lim

Р* (0,

1 — в; X) =

Ф+(0; X) =

П—00

X

X

1

|/'в(1— в)

, / 6.(1 — в)

|

.d2x

^

ех,р |------ 1 - 8 (zltг2) Jd z2-

2.* У

.1 - Я 2

1 — 21

l — 2U

/ 0(1 — 0)

/

0(1 — 0)

2' ^ y Г - ~ У ' I

dZl

[ exp { — ^ 0 ^ 1! ^ )| dz2 , (1.3.39)

1т

ч

^ у -

г= 1

(1.3.40)'

где

— s — / — т = а У~п~

и а при достаточно большом

п больше некоторого а0> 0 ,.

если

t2> X, что и будем предполагать в дальнейшем.

В силу

erk kh+v

к

'\*+v

^ ( v ) =

<"

k + v

/

{к +

v)

У 2 % а 0 пгР

А-|-\

у

\ k-\">

v .

k + v

к + у /

<С exp { — v —

2 (Лг -|- у)

будем

иметь

агйп -

exp

(

—

I

----- =

V nPh(v) <

2A V n

F

2 тса0

'I

Поэтому, предполагая,

что k удовлетворяет неравенству

k ^ . A V

п ,

где

A

= sup an ,.

(1.3.41)

л> 1

У ПPk^v) <

г t l~

iV

п I pft+i (v) -

Ph (v) |<

w = = n -

3 .

(1.3.42)

У 2 it a

0

j/2 те a0

С другой

стороны,

K«|Pfc+i(v)-P*(v).| =

=

У

— e~kkh+1

1 +

_LYfe+v

k +

l

_

(1.3.43)

д

(A + V )!

k

k 4- v + 1

Полагая

R

=

t

и считая выполненным условие

—

п

t > l A

.

(1.3.44)

напишем

1П Г е' кк^

< - А

=

е х р

(<, V T ) (

1 +

“

<

(A + v ) l

У Т Т Г

г

Ч

V n t )

1

exp j. а V п — (п t +

a Y

— . /

а

<

я )

У nt

2nt*

<

1/2 nt

<

1

f

a

2

,

а3

<

у

~

= ехр J —

з Т

+

2 1 /7 Г /2

< 7 Я Е 7 "* { -£ Ь

(1.3.45)

Кроме того,

v

{

k j

____ к

* + v +

1

k +

v

v + т }-

<

exp

— 1 +

k +

1 <

< exp j

]

-

1 <

+

exp I v (v + '»

l

k2

k2

k2

2 A2exp ( 2A2

<

2 A2 e*i2

(il. 3.46>

nt2

1 nt2 j

~

v = e*1

1 \ k+'j+l

k

1 +

k +

v +

1

k

f i + — V ( i - - I ± U ]

1 >

> [ l +

k +

v +

г -

1

{

^ k I {

k

+

V +

r j

> 1 1

+

1 -

v + 1

k - f

V - f

1

1

I

(1.3.47)

nt ^

k - j - V

—f— 1

k

nt2

Из (1.3.46) и (1.3.47) следует

I v |<

с

(1.3.48)

■

Vn jРк+г (v) -

Ph(v) |< —~ exp

4 1

гг"1, ( * < 1) .

У 2л

(1.3.49>

Но для t > О

ехр

IQ-5/2g-5/2

4 1

<

pi2

и поэтому из (1.3.49) следует

V~Z\Pk+i

п

(1.3.50)1

с

(10 е)-5'2

Cl =

а\

У"2 л

Vn\Ph+x( y) - Pk( v ) \ < - ^

где

п

с2 = шах

I сх ,.

V2 па0)

’

и в силу

(1.3.40) при

а > 0

ч

1Ги-1- Т д1« -0,/п < 2

^

e “ ( ? "

) 0 / n

I

и -

* V ( ”) I

X

Г=1

X егт1п иг— = ------------------ <

А .

У

1

п FP^,(s -

m)

] / п Рт(s — т)

п

/•=1

Следовательно, согласно

(1.3.29),.

I Т < 7 + 1 -

Г 9 I <

—

п

V

где

0

и а > - 0 .

Тем

самым

применимость леммы

1.3

из § 2 доказана.

Необходимая для практического применения (1.3.39)

таблица

функции

Ф+

(6, X) [26]

приведена

в

приложении (см. табли­

цу

1) . При

помощи этой таблицы для

достаточно больших п

(п >

1С0)

можно указать верхний предел отклонения Sn(x)—F(x)

на интервале

( д- : 0 ^

/•' (.г)

sc;

1

- 0 ] ,

гарантируемый

с напе­

ред

заданной вероятностью.

0 =

Пусть,

например,

X =

1,-8;

0,3;

тогда

для достаточно

больших

п с вероятностью

0,99356

имеет

место

неравенство

S , ( * ) - F

( * ) <

- b j t

У n

для всех x

из интервала

{ х : 0,3 ^

F (х) ^

0,7}.

§

4.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИКИ

Dn(Q1, 02)

Перейдём к изучению максимума двустороннего отклонения

Sn (х) от

F (х)

на данном

участке

роста

F (х).

Обозначим

Рп ( 0 1 , 0 2 ; X )

= Р

в п ( 0 Х, 0 2 ) <

V

п

Т е о р е м а

1.2.

Пусть

F (х) — непрерывная

функция,

0("> =

—

ы

0("1 =

jHh-

,

где

тг

а

т2 — целые числа ma­

rl

п

кие,

что 0 <

тг <

т2<

п .

Если при

п -V оо

е<г> = 01 + о

= 0 2 4 - о

|, о < 0 г < 0 2 <

1,

то

lim P n [0<?>,

0(g);

Ф (0!, 62; X),

X] =

где

П-+оо

1

/

0i ( l _ 01)

Ф (01, 02,•*) =

exp

у

в («1, г„) | 1 d z id z ,

-

2 я / 1

-

Я 2

/ М

1~ У

/ « 2(1 “

У

X — 2 kX 8г

X — 2fe Я (1 — В2)

1

/ M i- У / 1,( 1-а,)

! ^ | ( - l ) ft-iexp

2£2Х2}|

X

2 я К 1 -

R2

— X — 2fe X flt — X — 2feX (1—62)

А=1

/O i(i-tH )

/ « 2(1— °а)

X

exp

- - - -J

0(Zi, Z2) j

d zx d z2 ,

7? —

1 / ~

^а)

V

0,(1 —0х) ’

в (*!.**)

1

(zi

-f

2 7? zx z2 +

zl) ,

1 -

Я2

6(*i, z2) =

1

R2•(z2 — 2 Я zt za +

z\).

1

-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

же

как

и

в

§

3,

числа

та­

кие,

что

F(^) =

к

k — 1, п — 1 .

Они

определяются

однозначно

за

исключением

того случая,

когда

равенство

F

(х)

=

k

осуществляется

на некотором сег-

—

п

менте;

в последнем случае мы будем

считать £Л левым концом

этого

сегмента.

Пусть

р, >

0 — целое число.

Значениям

функции

F(x),

0(?J =

—

и #*>=

Oh. отвечают числа

Е

и £

(Е <

£

) .

^

д

Tft^

Ш2

fllr-у

iil%

Неравенство

Dnm \

- п-

равносильно выполнению неравенств

—

<

Sn (x) -

F (х) <

А

(1.4.1)

для

всех

значений

х

из сегмента

[£

,

£

1 .

Кривые

t/+ (х)

=

F (х)

+ —

и

у~{х) =

F (х)

п

яв-

п

ляются границами полосы С» с шириной 2 —

и Рп 0(^, 0(^ ;—%=.

п

L

V п

есть

вероятность

того,

что

кривая Sn (x)

на

сегменте

Ет ^

^

х ^

проходит внутри этой

полосы.

Если на

концах

это-

го

сегмента

в точках

и

неравенства

(1.4.1)

удов-

4. Г. М. Мания

49