книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

Если происходит событие Aq{р), то

с /с

ч , т 1 + Я + Р

s »(g„l+9) + -----------------

но при наших предположениях

S « (5 m ) =

^

Щ

п

и поэтому

Щ -'г 94* Р — Si

т. е.

П’

Ц" ^2 4*

■■■ 4* hq — т\4~ 9/4* р — Si -.

( 1.3.ю >

Событие

Ад (р)

равносильно выполнению равенства (1.3Л0).

Таким образом,

Р i Aq(Р)} — Р {К 4-

К -f-

••• -f- hq.=

яч — sx -|- Р' 4- q}

при условии, что

4" ^2 4* •••4- hq =

s .

Отсюда, принимая во внимание, что вероятность попадания-

в каждый

из интервалов

(§

,

. ,

?

.

) равна — , бу-

дем иметь

% т 9 —

1

~mi +

Я

т

s!

q \ 7 -f- <7/ m — q \s — l— q

Р М , ( р ) }

=

m l

\ m )

v

(l 4* q) ! (s - I - q) 1

где

(1.3.11)

Положим

l = т1+ р — st

(/ ^ 0).

e--? /т?+й

Pq(P) -

P o ( 0 ) = l -

(1.3.12).

-

-

-

-

,

(9 4- P)!

Пользуясь (1.3.12), (1.3.11) можно представить в виде

Р { Aq (р)}

=

P^

l\P^ t

- J

r

. т) .

(1.3.13).

P m ( s - m ),•

Далее, легко видеть, что условная вероятность

Р {Лд(р)|Д. (р)}

есть вероятность

равенства

hr+1 -f■- •■+ h =

q — г, при усло­

вии, что hr+1 +

* •• +

hm =

s — т1 +

sa — р — г = s — l — г.

Отсюда легко получим

V i A ^ l A M Y -

(s—1—г) !

/

q - r y ~ r f m - q y - 1-" _

. . .

.

, r .

\m—r

(q—r)\{s—l—q)\ \m—r /

_ Pq-r(Q)Pm-q(S-!-m)

(1.3.14)

Pm-r (s—l—m)

Уравнения (1.3.9)

в

силу (1.3.13) и (1.3.14) преобразуются

в уравнения

Pq(l)Pm- g ( s - l - q )

- Q-

? = 1 >т.

Рт(s - m )

=

V

р {^ } Pg-^ Q)- Pf -~gf

--- ;

г=\

Р-т-А^

Отсюда после сокращения на Pm„g(s—l—m)

получим

PS)

Я

р [V,]

у

я:

_____

PqiJ) =

ЩPq-AQ) . Я = 1 , - 0 0

Г=1

им4

q=l

Р([х;

со) =

п

2

_

<7=1

Тогда

ОО

Р(/;

(о)=п

2 ^

Р9(0<Л

Но, в силу уравнений (1.3.17),

?= 1

я

я

и

f^Tl

г= 1

7

Р(/; ш) = п

^

^

“ г * ^

( 0

) *>*-' =

9=1

Г=1

ОО

ОО

= n

мго)г \

]

Pq_r(0) u>q-' == и(со) Р(0, ш).

r= 1

q=r

Таким образом,

Р(/;

со)= н(ш)Р(0,

со).

(1.3.18)

Из (1.3.18) определяется и(со), а уравнение (1.3.16) опреде­

ляет Р {£/,}-

Заметим,

что согласно

(1.3.16)

все

ым

г = 1 ,

т, неотрица­

тельны. Но так как т может

быть произвольно

большим, то

при любом

г,

иг ^ 0 . Тогда

из уравнений (1.3.17),

принимая во

внимание,

что Р „(0 )= 1 , следует

t q qq+l

(1.3.19)

0 < « , < / > , ( / ) =

'

( 7 + 0 !

Нас интересует лишь сумма,

встречающаяся

в (1.3.8).

Поэтому

Г („) =

У

т , «■ =

“ t \ pJ sJ 7 l -

т\ "> П'Ч . (1,3.23)

Я= 1

Pm ( s

-

т)

Рассмотрим фиксированное < > 0 и положим о = ----- Пусть

п

а таково, что

прй

п —>- со ,

qb = —

t ..

п

Далее положим

о»

=

e~sl n =

e~6s ,

Sj =

п 0!

+

s2=

n % +

t2 V n ,

где tx

vi t2 — действительные числа и

р=

X

n ,

X > 0 .

В

силу

неравенства

s 2 ^

т 2 + р, = п вф + X У п

будем иметь

n 02+ t2 V п ^ . п 0(з> + X У п ,

т.

е.

n ( b 2- ^

) ^

V T ( X -

t2)

или

K T ( 02 - ^ K X - f 2 „

т.

е.

l >

t 2 .

I

т г — Sj + р.

п 6(i > — п 9Х — t x Y п + X Y п

У~п~

/ Л

V п

- х -

Д + о ( 1).

В^силу известного свойства закона Пуассона, для q/n-+t

и

/ /

V п

X — tu

при

п —>- со

будем

иметь

л1/2 Pq (l) — п112— ^

^-> (2 я ^)-1/2ехр

(X -

д 2

2 1

Отсюда, согласно лемме 1.2 следует

(1.3.24)

Шп /> (/.

-

Ita

С /-W ехр { _

< ^ 1 1

~ s t\ d t -

О

’

=

(2 s)-1/2ехр { -

(2 s)1/2(X - g

}

(1.3.25)

и при

I =

О, X

=

limP(0,er'l») =

(2 s)-1/2 .

(1.3.26)

Условие ( 1.2.2) леммы

1.2 для

у =

0 в этом

случае лег­

ко

проверяется.

При о

0

интеграл

5

2

“ * (5) е~Ш =

—

5 ] д1/2 Y (0

=

*5> *

п

л*

__

1

e~h kk+l е~{‘к!п'>а

~ v i r S i

<* + o i

“

ei ( k \ k+ l

_ /

®

£ )

_ _ 1

U + 4

^

n

V2n(k +

t)

6XPi

n { k + l )

Y ° j *

гд е x >

0, 0 <

6<

1, a >

0.

Из (1.3.18), (1.3.25), (1.3.26) следует

Нш u(e~sln) —exp { — (2 s)1/2(А — £,)} .

(1.3.27)

8 - 0

Покажем теперь, что п~хy(e“s/ra)

тоже имеет

определенный

предел при

п -*■оо , s

>

0.

В самом деле,

из

(1.3.23)

я-1 у /g-s/пч в

«

(e~s/n) P ( s - l - m ;

e~sln)

nWPm( s - m )

Нетрудно

видеть, что

s — I — m = Y n

{t%~

+ 0 ( V~n) -

Рассуждая так

же,

как при выводе (1.3.25),

получим

Нш Р (s -

I -

т; e~sln)=(2 s)-J/2exp { - (2 s)1/2(A -

#,)} . (1.3.28)

5 -0

Далее,

s _

m =

s2— s, — m2 +

mt =

V~n (t2 — /,) +

о (У~п ) .

Тогда, аналогично (1.3.24), согласно соотношению

m, — m,

=

.

л

lim — 2--------L

02 —

0 х

п—+оо

tl

и свойству закона Пуассона, получаем

Нш n1/2Рт (s — т )

= [2 те (02 — 0,)]-1/2ехр

П—о©

2(0 2 -6 ,) I '

(1.3.29)

Переходя теперь к пределу

при п -> со (5 ->

0)

в (1.3.23)

и

в силу

(1.3.27), (1.3.28)

и (1.3.29), получим

exp {— [2s (X—/])2]1/2} (2 s)~1/2ехр{—[2s (Л—/2)2]}1/2

Нш гг1y (w) =

Л—СО

2 тс(в2— 0j)-1/2 exp

2 ( 0 3 - 0 0

exp { — ( 2 s)1/2[2 X —

— t2] } exp j - A z A _ j

(2 s)1/2 [2л (02 -

Oj)]-1/2

=

=

®

" ( в з - в О ^ е х р { - ( 2s)»/* [2 Х - / г-^ ]} е х р

( * 2 - * l F

j

2

( 6

, - 0 x )

J

(1.3.30)

Ввиду (1.3.25) правая часть (1.3.30) является преобразова­

нием

Лапласа функции

f

<f) = « P

(2 X - * ! - * , ) »

02 - 0Х Г 1'2 exp j

2 1

( 2(U 2 — 0j) J

l

Так как при наших предположениях

т2 — т х

02 - 91>

Нш

п

П—оо

Т ш

= 1

-

С

( I * ; я) = /(е2 -

0l) +

Sn =

s 2

=

exp

(f,

-

*l)2

(2 Х -

/ г -

/

2)2 + en ,

(1.3.31)

2 (02- 0!)

2(02 -

0x)

где еч равномерно

стремится

к нулю

относительно

t1 и /2*>,

лежащих в любом

конечном интервале.

Таким

образом, мы

нашли

асимптотическое выражение

для второго

сомножителя

общего

члена суммы (1.3.4).

Рп+ №\ е<2> ; * ) =

^

P „ ( s 1, s 2) +

0 < s1<sa<m 14 - (А

+

Рп (Sl> S2) [1 — f (02 — ®l) +

Sn] •

Но

2

pn (S1, s2) =

P { s2 ^

+

jx} =

0<s1<s2<m1 —|—(jt

= У ,

— - p - — - № [ i

s2=0

s 2 I ( п

5г) I

и

°2 = ^

Pn («1,

h) l1 --- / («2 --- 9l)

+ E«] =

0<Sl< £ + y

Sl(s2- Sl) l ( n - S 2)

X

[0<?>]S1 [0<?> -

0<?>]s^

[ l - 0 2 r s>[l-/(0a -9i)+ en] ,

Щ + [A< h <

m2 + P •

В силу неравенства Чебышева имеем

<4 = Р {s2<

+ р,} =

Р {s2— n 0<">

я [0<^ — 0 ^ ] + X У п

Е [s2— я б '")]2

я0^(1 -

0<Jfi

<

0<«) _ 0(?)

= 0

{я [0<?> - 0(^] - Х У п ]

-

Поэтому

у п

lim

<т, = 0 .

(1 .3 .3 2 )

е

х

р (

_

А

_

(

Д

^ _______i -

W

2 я К в 1 ( в , - 0 1) ( 1 - 0 г)

'

26,

2(8, —e j

2 ( 1—8,) /

X ( i +

s n ),

где

A tx = A t2 =

——

и

при

n->- oo

,

5n — 0

равномерно

Vn

относительно

и £2, лежащих в любом конечном интервале.

Рассуждая так же, как при обычном выводе формулы

Лапласа,

получим

о» =

1

X

2л V 0, ( 0, -

00 (1

-

02)

X

X

t\

_

(*, -

4 )2

X

j* d 4

\ exp | _

2( 1 — 0Я)

1

2 0х

2 (02- 0,)

exp _

( t . - i . Y

(2

dta+ o ( 1). (1.3.33)

2 (0 2 -0 0

2 (0 2 -0 0

Принимая во внимание (1.3.32),

(1.3.33), будем иметь

П т Рп+ [&<»>,

0<2Л>; X] =

1

X

0,(02 -

00 0

-

X

2 tzV

е8)

X

[

dt1

1

I

2 0г

2

(

02

-

О

2(1

- 0 0

К)

0

~оо

ехр

(* .-* 0 8

( 2 Х - 4 - ^ 0 21

d t2.

(1 .3 .3 4 )

2(02-0О

2 (0 а

-

00