книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

Очевидно также, что g6 (t) равномерно

ограничены,

так

как в точке 0 все они равны 0, а их вариации,

как было

до­

казано, ограничены в совокупности.

Обозначим

ф(т) = j e~ixt dg(t).

6

Для ф(т)

получим

СО

оо

ф (т) = Г

e~ltx g' (t)dt = ix I* e~txt~at f(t)dt = i x y (s) .

( 1.2.9)

*}

•>

0

0

Из условий леммы, принимая во внимание (1.2.8)

и (1.2.9),

следует

lim фв (т) = ф ( т ) .

( 1.2. 10)

8—0

Покажем теперь,

что ge (t) ->

g(t)

при 5 -»• 0 .

Допустим, что это

не так; тогда можно найти точку

t=*t*

и последовательность

g^ {t), g^ (t) , ,

g ^ (i),...,

где

on

0 ,

сходящуюся к пределу,

заведомо

отличному от

g(t*)

в точке

i*. Но

функции

последовательности gf (t) удовлетворяют ус'-

лсвиям

принципа

° П

выбора Хелли и поэтому из нее можно выде­

рой

функции 'g (t) ограниченной вариации на (0,

с о ) .

Вариации функции

(О

на

интервалах

(Т, оо )

равно-

Т

°П

мерно

малы при

оо

,

независимо ст 5.

В

самом

деле, в

силу условия ( 1.2.6)

Var g6(x)

=

V J

|uh(5) e ш

— ик. г e

|<

x>T

JhJ

оk>T

^

|«*(5)

-

wfe-i (5) |e~h(,a

|Wfe-i (5) I е~(й-1)в0(e6a—1) <

kb>T

kb>T

L g e-no-y)

— exp Г — 8(о — у) f — —1

<

■{-Lb (e 0

1) ^

j _

e-6(o-y)

+

1 _

e-(o-Y)6

+

e - ( o - V )

T

J < е (°-У)т к (a),

[1

_ e-e(o-Y)J2

где

К (о) не зависит от

S.

Отсюда

при достаточно большом Т, независимо от 5,

Var

g6(х) <

s .

х>Т

Поэтому

к

последовательности функций

срй

(т) можно при-

менить лемму 1. 1, согласно которой

Оп

\

(т)~ *

Ф (т) =

e~ixi ds ( {) ■

С

другой стороны, из. (1.2.10) следует

lim

(т)

=

ф (т)

= ф ( т ) .

П - + о о

"

Щць] e~Vi6lab-v f (t) e~at и

lim и[(/6] = f (t).

3-»0

Если k 5 —>•t

и для ясности

k5>- t, то

k—1

Uк =

^[Ц6] 4"

tls)

s = m

и, согласно условию

( 1.2.6),

Отсюда

следует, что при kb-*-t

Ч — иЫб] -*■ 0 •

Поэтому

lim uh(5)

= / ( / ) ,

kb

что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е 1.

Мы предполагали, что функция f { t ) =

О

при t =

0.

Однако лемма остается справедливой, если потре -

бовать,

чтобы

I

«1 (5) -

/ (0) I < L 5

при достаточно малом

5, /(0 ) 4=0 .

В самом деле, достаточно

применить доказанную лемму

к

последовательности

М * ) =

X М 8)**

= М * ) - - г ^ т -

и поэтому

А

1 “

Л

оо

lim Ьщ (е~ы)

= f €"s/ /(f) dt

-

I M .

=

8-0

.]

s

0

= | < r * \ n t ) - f ( 0 ) ] d t =

j

e-st fAt) d t.

0

0

З а м е ч а н и е

2.

В работе

Феллера

[79] леммы 1.2 и 1.3

если uk (b)-+f(t)

при

k o - > t ,

( 1.2. 11)

то

lim 5 щ (e-6s) = <р

(s) =

I / (/) e~st d t ,

( 1.2 . 12)

8 - 0

.!

0

^2т -1 (5)

-д-

11

^2т (5)

д“

I т 1 >00 1

производящая

функция этой последовательности

«а (X) =

+

X2

1

- Х !

3

1 -

X2

и

S и&(е~А = 2

e~6s

43-

-26s

=

e~st d t,

'5 +

\ - е,-26s

3

1 — е ■26s

/ ( 0 = 1 -

§

3.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИКИ D* (0Х, 92)

Пусть

X I , i =

1, п — вариационный ряд, соответствую^-

щий выборке

Х г,

i =

1, п из Генеральной совокупности X с

функцией распределения

F(х).

Тогда

эмпирическая функция распределения

Т е о р е м а 1.1.

Пусть

F (х) — непрерывная функция,

п

п

кие, что 0 < тг <. т2 < п. Если при п->- со

то

П т Р+

9'?); л) =

Ф+ (6,, 02; X) „

Я — 2Я0Х Я — 2 Я (1 — 02)

-i

У«1(1- 8!)-

/ 02(1- О 2)

---00

— се

я =

] /

■е2[ 1 -

-е21))- '

га) =

y

^

F

(zj

+

2 * 2, г2■+ г»).,

_

1

(z* -

2 Я 2Х z2 +

z*).

е (21; z2)

= -fF T ^ F

Функция

Ф+

(0j, 02; X)

может

быть представлена и

таким

образом:

Ф+( М , ; Х ) - ] ^ - ^ . Ф < " >

^

в-1__ \ ф (П) /

^ ------

/

0i ( i - в о ;

\ / в 2( 1 -

02).

п =0

— 2л2V

(

^

ф (п>|__ф(«)

\ / Вг (1 — В2) /

" е

Z A п !

1^ 01( 1 - 0 0 /

п—О

где

Ф(п) (я)

есть

производная п-то порядка

функции

X

Ф(.» w =

* (

, ) .

y l= =

j

“ р {

- -

г

} Лг •

— со

так что

ф (я+ц (X) =

- ^

= ехР {

-

)

Я п (х)

,.

Нп (х) — полиномы Чебышева — Эрмита.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как функция

F(x)

непрерыв­

на, то для каждого k,

k =

1, п-?

1 ,

можно найти

точку fA,

удовлетворяющую

уравнению

F(x) =

—

,

п

н если

S n ( 5 ) - - F ( « ) =

п

S „ ( g ) = — (г > ц ) ,

т о

п

тогда как

п

У « - * )

<

- — п

при всяком

> 0 ..

Следовательно, точка

g совпадает с Qr^,

В этой точке эмпирическая

кривая Sn(х), вышедшая за

границу полосы С* ширины

—

над

функцией

F (х),

вновь

п

входит в эту полосу. Мы видим,

что всякая точка

«входа» мо­

жет быть лишь одной из точек

Обратно, если в какой-либо

из

точек

выполняется равенство

F(Zk) +

—

= $ n ( Z k)i

п

т о

точка

является точкой

«входа»,

и поэтому найдутся

значе­

ния х такие,что

Sn( x ) - F ( x ) > ± - .

п

Положим теперь X =

У

, где р. — некоторое целое чис-

шо,

и рассмотрим

п

Pi ( 0^ , 'е ^ ;

т т М

= р

02) < ^

(1.3.1)

г

п

п

0(«) = JHl~ ,

,0(«)

=

_^!jL

О < ; т х <* т 2 <

п .

П усть

является

наименьшим корнем уравнения

F(x)

=

_ ^ L

=

0W,

п

-а

^

— наименьшим корнем уравнения

/Я2

F (х)

=

3

-

=

0(»>.

п

Тогда очевидно, что вероятность

(1.3.1) совпадает

с веро­

ятностью

выполнения неравенства

Sn(x) <

F (x)

+

J i -

(1.3.2)

для

всех

х в сегменте

[с

,

с

1.

1Ът1 '

ъ/л2

J

Обозначим

Pn(s1, s2)

вероятность

одновременного

выпол­

нения

равенств

_

s,

S n

( ^

)

^1

=

Я

(1.3.3)

5 п ( § м

) = —

т2

п

:где

О ^

Sx <

52 ^ tt ,

и

Р$

(р; п) — условную

вероятность

неравенства (1.3.2) для

всех

х,

£

при выполнении (1.3.3).

Тогда

(е^.,

е(«);

- * Ц

=

^

Рп(^ з 2)Р515а(р;п). (1.3.4)

'

У п J

0<s1<s2<n

п !

Рп (Sl> S2) — s! (s2—

[9(^ ]Sl [0(»> - e(«)]S2~ si[ i — et

— s2)I

(1-3.5)',

Для условной

вероятности Р

(р; п)

имеем

Si So

Р8 ( ц ; я ) = о

,

(1.3.6)

г>1 s2

s , ( * ) < s .< {

) =

— - <

е<;> +

Л - _

п

П

= F(lm ) +

J

L

<

f (*) +

J L ,

т1

п

п

и поэтому

(1.3,7)

Теперь предположим,

что

si < Щ + р , s2< т 2 + р ,

. •/

в силу чего на концах сегмента [ £П11 ,

£/7^2 ]

кривая Sn {х)

прой-

дет ниже, кривой у =

Д(х) +

— ,

ограничивающей

полооу:

•)

п

Пусть, далее,

Я,, ...

, h

—■titi— количества наблюдений,

«топавших в интервалы

)

со­

ответственно.

Е

кривая Sn (х)

Если на сегменте

[£

,

]

выходит за

ПХ2

I 1

границу полосы

С£,

то,

как

мы

видели, одна

из

точек

ка

Ет +

,

то

мы будем

говорить,

что

произошло

событие

Л„(а). Заметим,

что точки

Е

,

Е

при

наших

предположе-

ниях относительно

%

и s2 заведомо

не

могут быть

точками

входа, т.

е.

события

Л0(а) и

Л _

_ (а) невозможны.

Полагая m =

т2 — т х, имеем

т

1 — ^SlSa(^;«)= р { и 4 W I -

q=l

Пусть Uг — событие,

заключающееся

в том,

что

из после­

довательности

Л1(р.),. . . , Лт (ц)

первым

появится

событие

Лг (р), г ^ т ;

тогда

. ..........

V, =

ЛН ^) - * - # -i(l* M ,G i) ,

■ I I

> i . : 1 .

где

Л| ([л) — событие,

противоположное Ак(р).

События

Ur несовместны.

Следовательно,

т

Р {

U 4 g(p)) =

Y ] p { f / r }.

(1.3.8)

С другой

стороны,

• Р { А » } = ^ ] Р { ^ } Р { Л д(р.) |Л,(1»)}. 7 = ТГ^Г,

(1.3.9)