книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

При оценке

параметров

а и 'С но выборке! Х(а),

« = 1 , п,

из генеральной

совокупности

X с логнормальным распределе­

нием, обычно рассматривают преобразованную

выбо]рку

1п Х (а>,

а = 1 , п. Последняя является

выборкой из совокупности|1п X с

плотностью п(х\а, С). Поэтому

в качестве

оценок -'а и О 'ест­

ественно брать

[16, 17, 18, 69]

1

П

0 =

— 2

1п

1

Х<а)—a) (In Х ад -'аГ .

а =1

Теперь положим

/п (х| а, С) — Ьп(х[а, С).

Ясно, что при х 6 Пк+

k

Eln(x\a,C) =

Хй1 E n (\n x [a ; £)

a = l

D /n (x | a , C)—

J J

x^2 D « ( ln x ] a ,

C).

0—1

Из этих соотношений

и теоремы 6.6* следует

Т е о р е м а

6.9 [69]. При х£П к+

E /n (x| a, С)==/п(х|а, С)

11 -(- —

[ ( (In х —а)'С_* (In х*—а) )г—

(

4п

— 2(k-\-1) (In х —а)ЛС"1(1п х —й) + &2] j

-рО

j .

D fn(x\a, C )=

_ L !n2(x\a, C)

J [ (In х - а ) 'С - г (1п x ^ a )]2+ & j - - f

+ 0

1

n2

Обозначения

Ф(п, С),

¥ (0,

С)

■сохраним

для

с.

к. п. и

с. к. о. п. параметрической оценки

плотности 'нормального ра­

спределения и введем новые обозначения

и

^ ( а , £) = ¥ ( £ С).

В самом деле,

согласно (6.6.1),

f

h

1а’ С)—п(1пх|а,

IX х й 1Iя0nх

С )]2сД =

а=1

/?* +

=

п 1

[п(х\а, С)—п(х\а, С)]2Д*: = Ф (ат С),

ЦГ^а,

_ х [n(lnx]a, С)—д(1пх\а,

С)]2

,

X“

n(ln х\а, С)

— п

\п( х [а, С)—п{х\а, С )]2

С).

п(х|а, С)

dx = ¥ (a,

Статистика Фх(а, С) требует

отдельного рассмотрения.

Ее

предельное

распределение, наряду с моментами In (х |а,

С),

при

k —\, 2 изучалось

в [16, 17, 18].

При k—\, например, предель­

4 Vtz cV c

£i ?г ~Ь

+ _ (1 2 + 4 c+ ^ ) «

от независимых случайных величин

£2 со стандартным нор­

мальным распределением.

Т («)= - р = 1 — ехр — ( а - а „ )2

(6.7.1)

тезе

совпадает с

распределением

случайной величины

— \ = г то2,

где

7}

имеет распределение jV(0, 1). Стало быть,

4 К тс

Игл

Ря

{4 ]/тс Ф(а) <

«} =

Gx(u).

(6.7.2)

п—«

0

Зафиксируем иа такое,

что

Gi(uq) = 1—а.

(6.7.3)

Тогда,

согласно (6.7.2),

правосторонняя критическая

область

< 6 J '

4 )

для больших п имеет приблизительно

вероятность

а

при нуле­

вой

гипотезе

ря0т ~ « -

В качестве второго критерия выберем критерий у2 Пирсона

[14], который строится при помощи статистики

т{

Pi

2? = п

п

■-nY2,

(6.7.5)

Pi

где

вероятность

того, что

вычисленная при нулевой гипотезе, — со = « 0< и 1<

w2<

•••< ыг =

= оо,

а т ,—число тех

выборочных значений,

которые

попали

в

интервал [ы;_15 ut),

___

I

/п{-= п

и

I

1-

i= 1, /. Очевидно,

что £]

Л =

простоты I =

i= l

i= l

Предполагая для

2,

получаем

два

интервала

( — оэ,

их) и [их,

со). Поскольку

— = 1 — —

и р2—1—рх, то

п

п

-

Pi

+

—

J_ (4±-Pl

Рг

PlPz

\ п

Известно [14], что

lim

Ptf0 (Z2< h} = G1(h).

П~+©о

'Следовательно, правосторонняя критическая область

/<■(*) = I у 2> —

(6.7.6)

п

для больших п имеет приблизительно

вероятность

а при нуле­

вой гипотезе

РЯо {* ■ < « }» « .

Итак, мы имеем

два критерия

уровня а с

критическими

(6.7.4)

и (6.7.6).

Для сравнения

этих критериев надо исследо­

вать их мощности при конкурирующей гипотезе Нх

Р<‘ > (а )= Р Я1{К<‘->}, 1 = 1 ,2 .

Займемся изучением Р(^> (а).

Для этого необходимо вычи­

слить

предельное

распределение

статистики

<р(а) при гипотезе

Нх. Рассмотрим функцию

?(0 =

1— ехр

(t- а оГ

t^R 1.

4

\гъ

1)

t d r

(t - a 0f

exp

?'(0= 2Vn

~

exp

I -

(Ц = -а.!Й

2 Ц п

I

4

I

Так как— и у] одинаково распределены, то, обозначив

5

= 1 ^ — а0],

(6.7.7)

окончательно получим,

что

предельное

распределение случайной

величины

„

Г

-

I

2 Ул5~г exp {52/4}

V *

( I —exp{—52/4})

при гипотезу Яг сходится к

N (0,

1), когда п-*~оо, Отсюда

РЯ1.{/С№ }=РНг

с р ( а ) > —

1

1

{

4 ул п

РНг |2о_1' / 2/4 У~ъ у'п

^

1

—S2 4

>

у(а) -

—^ ( 1 - е

)

У л

> -

«„(25)'1 ехр )52/4}

82/4

25-1 (е

_ 1}^ -

«fc —

— Фп

М 28)-Ч хр(У /4|

_ 2 S - . (/

“ 4 - I ))/-^

где

Vn

1

ехр

U

Л.

Ф0(и.) =

,

] / 2т:

2

О

Нетрудно

показать, что

это

соотношение

выполняется и

при1 Ь,=

сI У 'п .

В этом

случае

(6.7.8)

Установим

предельное

распределение

статистики

У 2 при

конкурирующей

гипотезе.

По определению, Pi = P//0{— °° < Х < ы1} = Ф0(« 1—а0) + ~ .

Вычислим: р[=хРн {— о о < Х < ы 1).

Очевидно, что р[= Ф0{иг —Gi)+

Г

1

1

+ А==р1-гД,

+ —

“ Фо(й1—aoJrao~ a\) 4 - —

=Ф о(й1"~ао )+ —

где

А=Ф0(и1—а0+ а 0~ ау) —Ф0(м1—а„).

Отсюда

р'2= р 2—Д;

Д

может быть отрицательным, если

а0—ах<;0. Предположим,

что

т. е. Д >0, В противном

случае

можно изменить нуме­

рацию pt.

Итак,

А= Ф0(и1—а0)—Фв(и1—а1). Очевидно, что при их = а0У

т. е. при

1

Pi= —

Л = Ф0(5),

P i = y + фо(5)*

(6-7.9)

Заметим, что по теореме Муавра—Лапласа

распределение слу-

чайной величины

V/

п

f'm.

рг при

П—>“СО

сходится к

P1P2

N(0, 1) при гипотезе Нг.

Рассмотрим функцию

1

т(0=

(^ -P i)2-

п

^

''ffl,

r(Pi)

V - Р'хРъ

П

совпадает с распределением

случайной величины

2Д

-------- У>

Р1Р2

где

7?

имеет

распределение

N(0,

1).

Отсюда,,

поскольку

Y ( —

| = К 2, то

случайная величина

Р\р2

у2

Д2

У п У(р1-\~А)(р2~А)

Р1Р2

в пределе имеет распределение М(0,

1).

Мы

уже можем вычислить § (^ (а ),

снова полагая

Ь— cjY п ,

Р<2>(« )= Р //1 {/0 2>}=РЯ1 { у 2>

^ -} =

:L - =

exp 1 -

^ L Z 3 l

)]

(6.7.10)

2V'Plpt V2r.

еХР(

2

и, так как это выражение

меньше, чем аргумент

Ф„* в (6.7.8)

то, следовательно,

?(А» («) >

PW («)

для достаточно

больших

п

(и соответственно — достаточно ма­

лых 5).

Заметим,

что, как нетрудно показать,

этот

вывод сохра­

няется и при произвольном

фиксированном

числе

интервалов I.

Функция

Ф+ (0; Я)

(см.

стр. 43)

Т а б л и ц а 1

X

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,0

0,035368

056172

079577

106103

136119

0,1

067560

099026

127174

157025

195053

0,2

129355

158281

188871

227020

275423

0,3

203393

234154

269782

305106

360737

0,4

297861

329539

361109

397383

410987

0.5

409910

431251

459846

490859

529752

0.6

521117

536170

559906

591976

622019

0.7

627965

638798

655165

677422

704556

0,8

723598

729243

740528

757611

777403

0,9

802645

805872

812677

823690

837539

1.0

864822

866315

870307

877596

887450

1,1

911137

911241

913902

918107

924613

1,2

943879

944139

945191

947472

951516

1.3

965955

966043

966537

967787

970207

1,4

980160

980192

980401

981001

982207

1,5

988891

988901

988985

989276

989919

1.6

994024

994027

994084

994191

994502

1.7

996911

996912

996923

997001

997131

1.8

998466

998466

998470

998483

998559

1.9

999268

999268

999269

999278

999305

2.0

999665

999665

999665

999668

999688

Функция Ф

(6;

X)

(см. стр.

65)

Т а б л и ц а 2

\

8

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

А

1.00

0.7296

7327

7408

7555

7754

8028

8347

8748

1,10

8223

8235

8279

8363

8495

8682

8899

9163

1,15

8574

8582

8615

8678

8785

8931

9120

9332

1.20

8878

8883

8904

8950

9032

9154

9301

9487

1,25

9118

9120

9134

9172

9234

9322

9446

9598

1.30

9319

9321

9331

9356

9405

9471

9569

9688

1,35

9475

9476

9483

9501

9536

9590

9693

9773

1,40

9603

9604

9608

9620

9646

9688

6746

9818

1,45

9700

9701

9703

9712

9729

9762

9806

9869

1,50

9778

9778

9780

9786

9798

9822

98о4

9899

1,55

9836

9837

9838

9841

9851

9858

9892

9928

1,60

9880

9881

9881

9884

9890

9902

9921

9958

1,65

9914

9914

9914

9916

9920

9929

9942

9960

1,70

9938

9938

9939

9939

9943

9948

9958

9971

1,75

9956

9956

9957

9957

9959

9963

9970

9979

1,80

9969

9969

9970

9970

9971

9974

9979

9985

1.85

9979

9979

9979

9979

9980

9982

9985

9990

1,90

9985

9985

9985

9986

9987

9988

9990

9993

1,95

9990

9990

9990

9990

9991

9992

9993

9995

2.00

9993

9993

9993

9993

9994

3994

19996

9998