книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

— х'х,

(6.3.39)

==_L[(x,x)2- 2 x/x+ ^ ].

(6.3.40)

2

Сложим (6.3.39) и (6.3.40). Получим

D п(х |0, /) = —

п2 (х |0, /) (x'x)2-\-k\ -j- О f — V

(6.3.41)

2 л

Vn2 /

Результаты

для

нестандартного

распределения,

получае­

мые из (6.3.38)

и (6.3.41) с помощью

(6.3.3), (6.3.4)

и (6.3.5),

сформулируем в виде

теоремы

Т е о р е м а

6.6.

Е п(х |а, С) = п(х |а, С) { 1 + —

[((x—а)' С~\х—I))2—

I

4 п

-2 {k + \ ) (х -а )' С-1 (х— а)+&2] j

( 1

+ О (.

Еп(х\ I |0) = n(x |О ,/) П + —

( x 'x - 6 )l

+ 0 ( —

),

(6.3.42).

2 n

n‘

D n(x;

I |0) = —

n2(x

i

0, I) x'x-bO ( —

) ,

(6.3.43)

n

\ n2

а из (6.3.37)

и (4.3.40)-

E n(x;

0 |/) = п(х

|0, /)

1

[(x'x)2 —

l

1 + —

4 n

-

2 (6 + 2 ) x 'x + 6 (6+ 2)]

j

+ 0-^-L.jt,

(6.3.44)

I) n(x; 0 |/ ) =

_L

n2(x |0 , /) [(x'x)2—2 x 'x + 6 ]+ O ^ - L Y

(6.3.45)

2 n

V n2 /

E n(x; С |а)= п(х \а, С)

1 ф —

[(х—а)' С_1(х—а)—6] I _U

2 п

1

+ о Ли

D n(x; С |а)= —

п2(х \а, С )(х —а)' С_1(х— а )+ 0 ( —

п

\ п2

Е n(x; а | C) = n(x | а, С) ( l + -Y

[((х—а)' С_1(х—а))2—

4 п

- 2 ( 6 + 2 ) ( х - а ) ' С '+ х - ^ + б (6 + 2 )] + О

D п(х; а |С) = —

n2(x | а, С) [(х ~ а )' С-1 (х —а)]2—

2 п

— 2 (х —а)' С_1(х —й) + 6

'

1

+ 0

ния с. к.

п. плотности многомерного нормального распределения

в случае

недиагональной матрицы ковариации [39 —43] сведем

стандартизация не дает

нам права пользоваться результатами § 2.

В § 3 было показано, что

:п (х| |а,

С) =

1

п{С-1!*{х -а )10,

/),

V\c~\

п(х\а,

С) =

1

п(С~г12(х—а)\а0,

С0),

V[C\

где матрица С~1/2 такова, что

С"1/2 С (С '1/2)' = /.

Поэтому

Ф(а, С)=п 1 [п(х\а, С)—п(х\а, C)]2dx=

п

(х—а) |а0, CQ)-n (C -'l*(x -a )

dx

_

|[п ( С ^ 2

|0, / ) ] 2

т

1

(6.4.1)

Ф

( а о> С 0).

При вычислении Ф(а, С) воспользуемся формулой свертки

С1 + С,>= j

(6.4.2,

многомерных нормальных плотностей

п (х]ах, Сх) и п(х |а2,

С2).

Имеем

— Ф(а, С )— I п2(х|а,

C)dx +

п2(х |а,

С) dx —

■п

—2 I п(х\а,

С) п(х\а, C)dx.

Так как;«(х |(а, С )=.п(—х\ —а,

С), то из (6.4.2) при 2= 0 получим

Г/г2(х,| а, <C)dx= Гп (—х\ — а,

С)п(х\а, С) = п(0|0, 2С),

Jn(x|a,

C) n(x\a,i C)dx= j*, « ( —xj —a, C)n(x\a, Cj dx=

Итак,

= n(0.|a—<a,

C + C ).

—

Ф(а, С)=«(01,0, 2C)+.n (01 0,

2C)~

n

-2n(0\'a-:a,

C - f C).

(6.4.3)

В § 3 мы

условились обозначать малой

латинской

буквой

вектор,

компоненты которого—элементы, находящиеся

не ниже

ствующей прописной

буквой.

Так,

матрице С0

соответствует

вектор

с0. Как известно [1],векторы а0

и с0

независимы,

причем

вектор

£= (£15 ...,£& )= V п а0 имеет стандартное нормальное рас­

пределение при любом п, а предельное

распределение

вектора

)Лг (с0—с0) совпадает с распределением вектора

V

•••>

^?12> ••

имеющего нормальное распределение с

нулевым математическим

ожиданием и ковариациями

Е % ^ г = ®1> 5/г + 0/г§/г’

(6.4.4)

где 5(/.—символ Кронекера.

П р и . а = 0 , С = /

(6.4.3)

перепишем

в виде

Ф(а0, С0)=

п

w(c0)4- лХ (а0, С0).

(6.4.5)

2hтtfe/2

Здесь

\

.-М2

ay(w)=rl +

)f/|-;1/2_2

+

J «

U ) \

X(ae, C0) — • 2(1 -

exp {— Y

)

2 ^

4

- i ( / + C 0)

i £

где '£ /-*симметричная

матрица

:kyjt

и

Yn~X~

a'a (I +

C0) a0.

Имеем

1

i= i

1 exp {

Уп|_ j _J у (5)„

1

H Y (V-

1/2 (/ +

C0) 1

В этих соотношениях p lim

Y1^= 0,. t= 1 , . 3 , что следует

Л—»oo

из состоятельности оценок a0 и С0:

/? lim ао= 0 ,

р lim С0 = 1.

t l —* o o

Стало быть

R.

пХ

2 й+№;

(6.4.6)

1=1

льное распределение,

а

У<*> сходится

к нулю по вероятности,

не влияя тем самым на

предельное

распределение случайной

величины пХ(а0, С0).

Для

установления предельного распределения nw(cQ) исполь­

зуем теоремы

5.4. Обозначим

g(u) = \U\~112> v{u)— ~ (сй-{-и).

Тогда

dw

_ 2

*L

диц

диц

д°ц du{j

( dw\

-

2 I

-0,.

W u i j )4

J ca

1dVij )

v(c0)

так как

v(c0)= c0.

Далее,

d2w

d2g

__

______

du{jdun

диц диг1

dvti dvrl

duij дит1

d2w

1

d2g

\ ди^ д UfiJcq

2

\ди{1 durl j c0

Поскольку (2n)-kl2g(u) равно n(0|0,

U), то no

формуле об ­

ращения

(2n)-kl*g(u)= _ 1 _

j

exp

J ~

-1 t'Ut ]

dt.

Отсюда

d2g(“ )____________

Г i{tjtrt( exp ( — -i-

ctf

диц durl

:---

(2rc)ft/2:n)hl2 .

‘

'

d2g(u)

I c0= « £ 6 5 ^ 5 ! ,

где

дии диг1

1,

если

i~ j,

r= l,

к =

2,

если

i < / ,

г=1 или i— j, r<J,

Ho

. 4, если i<J, r<l.

E ZtZj

— ^ipri+

—

3,

если

£ =/=> г =/,

t = тФj —/,

или i= l¥*j= r,

= | 1,

если

i'=/¥=r = /,

или

О, в остальных случаях.

Следовательно,

3

(6.4.7)

16 S j * + is s % % + 16

% -

i—1

гi,/=1.

i,/=l

i<i

Согласно (6.4.4), tj—вектор с независимыми компонентами;

при

этом г]п , ...,r)hh имеют распределение N{0,

2), а остальные

ком­

Вместо % рассмотрим величину Уи

Уи

со стандартным нор-

V 2

мальным

распределением. Теперь,

обозначая V ~ ( V i v

Vkk)

из (6.2.6)

получим, что квадратичная

форма (6.4.7) равна

- I ( ? S 4

+

2 V Vf,) .

(6.4.8).

V

ui= i

1

i<i

Применяя (6.4.7), (6.2.8)

в

теорему

5.2, обнаружим,

что

/г=1.

V s 4 = 2

« -Ь (* Н -2 )а .

(б -4-9)

г— 1

где вектор ^= (? i,.... ^ )

получается

ортогональным

преобразо­

ванием из У] и тем самым,

как и ч], имеет

стандартное

^-мер­

ное нормальное распределение.

Согласно (6.4.5), (6.4.6), (6.4.8), (6Д.9),

предельное

при

я-»-со распределение Ф(а0,

С0) совпадает с

распределением ква­

дратичной формы

k.

k—l

,

,? i+

| + ( * + 2 ) a

г = 1

01=1.

1=1.

(6.4.10)

i< i

от независимых случайных величин

ч]12, .... Ък^-чУк-пк’

К,г,...Лк с распределением

N(0, 1);

(6.4.10)

представляет

собой

линейную комбинацию трех

независимых

случайных

величин,

имеющих распределение у?

с к, (к -\ )(к + 2)

и 1

степенями

Для вычисления F°k(u) применим теорему Гурланда '(§ 3

гл.

V).

В нашем случае

Хх =

••• =1Ь= 4 ,.

Xft.+1—-•••= Х ъ(к+2)

= 2 ,

X fe{A.+3j = & +2. Удобно

положить X=&-f-2.

2

1

Как показывают вы-

2

числения,

kl~r(k -2 y

/•—I

т - 1

Г (^ 1 )(й '+ 2 )

г! ( t - r ) f

П (* + 2/)

п

2

4-

2/ .

1=0;

/ь=0у

Обозначим

Р {Z<u} = Fh(u) = Fl(2h+s гМ* и).

(6.4.12)

Fh(u) является предельным распределением для Ф(а0,

С0)

lim

Р |Ф(а0, C0)< u } = Fk{u).

Теперь из (6.4.1) следует

Т е о р е м а

6.7.

Предельное распределение с. к. п.. парамет­

рической оценки

п(х \а, С) плотности п(х |а,. С) многомерного

нормального распределения задается соотношением

lim

Р \Y\C\ Ф(а, C)Cu} = Fk(u),

гулярности п(х |г, 5)

относительно г и s также

достаточны

для

этой теоремы. Стало быть, из нее автоматически следует

Т е о р е м а 6.8.

Предельным распределением

с. к. о. п.

па­

У(а, С)— п

[п(х\а, С)—п (х|а, С )]2 Av

п(х |а, С)

является распределение

х 2 -с /г(& + 3)

степенями свободы.

Вычислим W(a, С). Имеем

1+

С)= Г

Q dx= Г п * М Ь'> С><к=

п

п(х\а,

С)

п(х|0,

С)

(С)1/3

| —(х—Ь)' С~г(х—Ь )+ Х -

- — \ dx,

ехр

(2тт:)А/2|С [

где Ь= а—а.

Преобразуем

выражение

в показателе

степени

Полагая х = 0

и х ——с,

получим два условия d——c'Ac,

d— c'Ac—b'c, откуда

с = —

А~ХЬ и

<i= — - L b'A~lb. Теперь яс-

но,

что

2

4

j

ехр

{ - Т

<х ' Л)£+ 6'*>}

,ix “

/ 1

1

= |ЛГ^2 е х р ( —

&'Л_16

- 1Д!1/2 X

И V 8

)

(2тс)ь/3

X

I ехр |— ~

(х-\-с)'А(х+с)\ dx=\А |_1/2 ехр

< 1

|—-&,Л*1&|

* * а ,

(6.5.1)

n\x\b,

C) Av_

n(x |О,

C)

|CI1/2

1]'b} =

exp (P [C'-12(2C~1— C -1)-1C '1- C

|C 112C-1— С -г I1/2

= |CC~X(2 /- С С " 1) Г1'2 exp { (a -a y e -1[2 ( 2 /- C C - 1)"1- / ]

(a -a )}.

2с — с

в пределе при п-> со имеет

распределение

у2 с двумя степени

ми свободы.

Kn(x|a, С) применима

также теорема

5.10.

k

Ха1«(In х\а,

су х е Rh+,

] f

In (х\ а, С)=

(6.6. 1)

о,

х е Rk+.

14. Г. М. Мания

209