книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

Е (А„ -

Е hrrf = 2 (п— 1) ,.

Е (А„ -

Е ft„) (/у -

Е H J = 0,. г ф

si, .

Е Ks =

0, г < s

Е h2rs =

п — 1 ,

Е (А,, -

Е hrr) Щи,=

О,.t < u ,.

b h rshtu = О, (г,, s)'ф (/,.«),. г , .

= 1,А .

E(?rr0 -

crrQf

=

- 1

—

=

—

+

О ( - L )

,.

п. — 1.

п

\ ГГ

I

(6.3.8),

Е К «о - с«о)2=

---- 1 - г

=

—

+

O ( - L

)

•

п — 1

п

V п

1

Отметим, что ввиду независимости и несмещенности а0

и с0

Е O-lo (t-sto

^ о )

=

®>- ^

^ >•

Еа'го Я ,

К ,о

-

^ о )

=

0

-

I (6.3.9)

Е й/о ( ^Sto

^Sto ) ( ^uvО ^udo)

=

6,■и <С[

У,/, S, t, и,.и =

1, k .

п—1

Z'a Z‘a ,.

Za —

дает по распределению

с

матрицей £

где

01=1

= ( Zla,... , ZAa) , a =

1,,/г —

1, — независимые векторы,

компо­

ненты которых независимы

и

нормальны

(0, 1).

Из последнего

X2 с п — 1

степенями свободы.

Поэтому

[10],

Е (ft„

-

Е hrrf =

8 (п -

1) ,. г =

М г ,

(6.3.10)

Е (hrr -

Е / у 6' =

0 (/г3) „

г = М > ..

(6.3.11.)

Далее, при

г <

s

п— 1

E (*,«

-

E /iJ 3

=

Е (

^

г

,

)

'

(6.3.12).

и

а=1

п— 1

Е (Л,

-

Е hrsf

= Е (

V

z „

z „

y .

' £^1

=

(л -

1

) Е Z% Z6S1 +

. 1 1 .

(л -

1) (л -

2) Е Z2rl l\x Z\ Z*n +

2!

4!

+

6 !

(л -

1)(л -

2 ) ( я - 3)

р

7 2

7 2

72

72

72 7 2

(2!)3

3!

L £ -> Г 1 ^ s l ^ Г 2 ^ S 2

^ S3 —

= О (л3).,

г, s = l,k .

(6.3.13)

Подсчитаем

смешанные

центральные

моменты h третьего

порядка

Е (hgg -

Е hgg) (hn -

Е hu) hrs =

п— 1

=

Е (

^

(Z|a -

l)(Z?p -

1) Zry Z sY

|== 0, (6.3.14)

a,

jl, 7 = 1

S =

l, k.

gg

g g '

ъ

=

^Kg

- ( л

-

l ) 2

п— 1

Л—1

(n — l)2,

если

g +

r

и g=)=s,

= E (

V

Z*a Z*p Z|p )

=

л2 — 1 ,

если

g =

г, или g = s.

P = 1

Отсюда,

при

г < s; g, r,

s =

1, k

£ ( / , „ - £ /.„ > 4 , = ! ° '

g Ф г и 8 Ф = , ( U J 5 )

( 2 (л— 1),

если g

= г или g =

s.

Е (hgg

Е hgg) hrshuv = Е f

2|a Zr$ Zsp

Zuy Zvy j =

a, pT ftl

= 0,

r,

s, и,

v =

l,

k.

(6.3.16)

Из формул

(6.3.20), (6.3.12),

(6.3.14), (6.3.16)

заключаем,

-что моменты

третьего

порядка

вектора с0 =

— i—- h большей

я — 1

частью равны

нулю, а неравные нулю являются

О

1

Как

п‘

это следует из (6.3.11)

и

(6.3.13),

моменты

шестого порядка

вектора с0, так же как

и вектора

а0 (см. (6 .3 .6 )),

удовлетво-

ряют условию

2,

являясь

О

/ 1

\

----) .

Приступим к проворке условия 4. Выше мы ввели

вектор

h = ( я — 1) с0,

который

имеет

плотность

w(v\k, п — 1,

/) .

Соответственно,

Я = (я —

1)С0,

т. е.

С0 =

1

в

тер­

Я и

минах Я

я — 1

я (х |0,

/)

= я х J а0,

Я

я — 1

' Следовательно,

я2 (х |'0,

/) d P

Лс„

= \ я2 1х | я, —

- j j

п ( и 1° , —

/ )

n— l,I)dudv.

( “•Ф т )

Со) <?о

=

I V Г

ехр { - (п -

1) (х - и)' V-Чх - и ) } X

(2 Щ

,| V | М / 2-1 ехр | ------1_ sp V

X

1j . . , р

2 к ( п - 1)/2 л й(й-1)/4 р |Я~

(я -

1)* Г

. . . r /n~

2 ~ k

X

(2 *)'

х ехр { — (я —

1) (* - и )'

У -1 (х -

и)} X

I

V

/2-1 ехр

j ----L sp v

X 2к(п-з)/г

р j я__ 3^

2

р /п 2 k

(Я - 1)"

-ехр} —(я— 1) (х — и)' V~\x—и) } X

Отсюда ясно,

что

существует

константа Мк,

зависящая от k,

такая, что

при

всех u £ R h и

v £

я2 ^х |я,

j w(v\k,

п — 1 , 1)^.M hw(v |k, n — 3, / ) ,

я

& -j- 2 .

Обозначим теперь

sx положительное

число такое, что

{ I и |> ех} X

v

СпI > ®i > —3

я — 1

{

| ("• ^ г т ) -

<°' *•> |>

4

13. Г. М. Мания

193

Тогда

n2 (* | 0 r / ) d P < Mh | n ( и J0, _L /

] w(v |k, n — 3, I) du dv

MI > £i } X

\

n — 1

>

si

= Mh j*

n |ы 10,.

- L

/ j

du j* w (v |k, n — 3,

I) dv

I “ I

>

*i

га

— 1

-

^0 j

>

*i

I

= MhP { |a0 1>

j P

h°

— Cn

> 4 ,

n — 1

где h° имеет плотность

w(v\k, n — 3,

/).

Согласно

неравен­

ству Чебышева

k

Р { К 1 >

*

И <

~ -

Е | Я | 2 =

^

E f l i o = 0 ( 1

а=1

Аналогично,

имея в виду (6.3.7),.

!

К

< 6

i J

=

р { 1'Л° — (л— Г) О01>

(я — 1) в1} <

П— 1

k

k

< (п

Е j

^

([« „ -

<» - 3)] -

2)4-

V « ,) * ) =

1=1

а., 8Р=1.

1

(„ - 1 > ч п * [2(" -

3 ,+ 4 |

+

^

,М

-

° В

-

Окончательно

Существование и непрерывность в окрестности (0, с0) про­

изводных

п(х \г, S)

по

параметру несомненны.

Для

наших

целей необходимо сосчитать лишь некоторые

из них.

Это выз­

вано тем,

что

излишне считать производные третьего

порядка,

и,

согласно

(6.3.6),

(6.3.8)

и (6.3.9),

из

производных

первого

и

второго

порядка

достаточно

вычислить

_

дп

д 2п

дп

д 2п

’

а ^р.

дга ’

d rl ’

dsa& ’

а ,

1, k,

Характеристическая функция,

соответствующая плотности

п ( х

| г,

S), равна exp | i ( r ,

и)—~

w'Snj и

по

формуле обра­

щения

п ( х

i г, S ) = - ^

J

e-; («.*;exp

|t(r, и)—~

m'S wJ

du.

(6.3.17)

Правую

часть

(6.3.17)

можно

дифференцировать

под ин­

тегралом по г и s.

Поэтому

Гехр

— )

=

—

-

{ — i ( u , x ) -----— и'и]

iu a du

(6.3.18)

дга) (О, Са)

(2*)kJ

I

2

|

i— Гexp

(—i ( u , x ) --—u'u I i2

du\

(6.3.19)

dn

*

j*

exp

{ —i(u,

*)—-i-u 'u ]

-i- i2 u2a du

dSaa/(0,

Co)

( 2 7l)

(6.3.20)

r r )

= 7 7 T T k

f exP

1

\ -i(u ,x )— -Д u'u\~ui du

\dsaa/(0,

c0)

(2 ie r J

Y

(6.3.21)

dn

h J exp

|— i ( u , x ) — « '« j

i2uaubdu

(6.3.22)

^sap/ (0,

cft)

(2 я)

dsa§J ( 0 ,

^—

Г exp

{ — i(u,x)----— u'u)

u%u\du

(6.3.23)

Co)

(2 TC) 0

i

2

I

Итак,

задача свелась

к нахождению обратных преобразов а-

ний Фурье для функций

Риащ e~u/z)u'“, « а up

“

а, ф = Т Л

а

С этой целью рассмотрим производные ег^

Поскольку

б-(1/2)и'н=

j* gi(u.x) n(x\0,I) dx

(6.3.24)

диа

J

т. е.

ша е-<г'2>“'“ = |

ё (и,х)ха п(х |0 ,/)

dx, a= T7k.

(6.3.25)

Далее, беря производные

обеих частей

(6.3.25) по

щ, а < ф ,

имеем

Р иаМр е_(1/2)

= Г

ха хр n(х |0, 7)dx

(6.3.26)

i(e -v m "'* + p u *

e~W2)u'u) =

fx2n(x |0,7) dx,

откуда, согласно (6.3.24),

)

P « 2 e-(i'2)u'«=

Гe^“'^(x2 — 1) n(x |0,/) dx.

(6.3.27)

Продифференцируем (6.3.27) по Up два раза. Получим

Pul up

J «*<«•*>(*» -1 ) xpn(x |0, 7)dx,

t2«2e_(1/2)“'“-t-i2«а «I e ~ ^ u’u=

(x2, — l)x£n(x |0,7) dx.

а, р=1,& ,

а < (3 .

(6.3.28)

Осталось дифференцировать (6.3.27) по иадва раза. Имеем

i (2 uae~(1M u'u-{-i2Uq е~(-112’>и'и)=

Г

(x* — 1) xau(x \0,1) dx

i* ui e-W2>“'u

(6.4.29)

=

хап(х |0, /),

а = \ ,Т ;

(6.3.30)

Vdr«/(0 .

с0)

=

( xl —1) п(х\0,1), x = l,k ,

(6.3.31)

Со)

=

-£-(*« —1 )п(х \0, /),

a=l,k ;

(6.3.32)

со)

2

1д2п

(х„ —6 4

-|-3) п(х |0,1), a—l,k;

(6.3.33)

(0.

<ч>)

/ дп

= x a xpn(x|0, 1), а < р ,

а ,р = 1 ,й ;

(6.3.34)

/

\

___

—

= ( * « “ 1 )(4 — 1)л(л:10, /), a < p , a.$ = \,k. (6.3.35)

\д* У ( 0 ,

c0)

Е п (х [0,

1

k

—

1

1)= п(х |0, / ) +

^

!)л (х i 0, /) — -|-

а=1

+

V

,

—

( 4 - б 4 +

з ) « ( х |о ,/)

—

(-

1

лmd 4

/2

a=l

+

k

Т

+0 Ш =

V

(**-l)(*|-l)n(0| 0,/) JL

n J

кп

к

к

= п(хЮ, /)

^ ( x l - l ) + ~ ^ ( х * - 6 x i 4-3) 4-

',)|1+ 2^

a=l

a=l

4

- ^

+ 0

4

a,jj=l

. п

а<Р

Подсчитаем суммы отдельно

k

(6.3.36)

к

М-1К4-1)-73; W-IK4-')-

2

о,р=1

а.Р=1

а<Р

“¥=Р

1

А

“ о

k

,

. * ( * - 1 )

4

а,р=1

Я=1

#с

к,

i - ^

(4 - 6 4 + 3 ) + ^

( 4 - 1) ( 4 - D =

a,p=l

a<P

«•

«

2

4

x\-\& +

2 (k -

1)1 ^

x*a + k (k -l) + 3k

a= 1

=

—

\{x'xf—2 (k-{-2)x'x+k(k-\-2)\.

(6.3.37)

2

Суммируя (6.3.36) и (6.3.37), получим

Е п(х |0, I) = n(x |0 ,/)

(

1 - f —

[(x'x)2 —2(&-j-l )x'x+k2\I_l_

1

4 n

1

1

+ 0

(6.3.38)

Перейдем к дисперсии.

Согласно (5.2.3),

k

п*{х [

I)------L

D n (x

I 0, / ) =

V

1 4

О,

a =

1

n

k

k

- f 2

^

( 4 - i ) 2 « 2(*

10 -7) ^

- + ^

]

4

- ^ W . / )

^ - +

a=l

aa==l1

k

+ °

a ) - i - ^ . ° . n | S 4 + s i . ( 4 - i , +

a= 1

a=l

+ 2

4 4

+ 0 [ ± ) . t

a,p=l