книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

Таково же точное распределение статистики D~(0, 1), т. к.

D~(0,1)

и

D ; (0, 1)

одинаково

распределены.

Что

касается

статистики D ~ (0, 1),

0 >

0, то

её точное

распределение

дается

формулой

[60]

[п(0—01

6Г ‘- +

Р{Дг(М)>е]

е'(1 -

X

(/пх — 1)! (п — т г) !

X

Л '

''n-m.ii k

т ,

.

т ,

1

\

<

-S -f- ------- —

X , 1 —

-------

£, -—

I

d X ,

£ = 0

где

7cns(a, р, d) = a С* («- +

s d )5' 1 (P — sd )n

s ,

= [n(0 -

e) ] -j- 1,

m.2 = [n(1 -

s) ].

Знание точного

распределения

D^(0, 1)

позволило

найти

его

асимптотическое

разложение

по

степеням п

р { о л+(0, 1) < ™ = |

=

Л-егЫ*

—

- L =

-f- о

( _

3

V

Я

\

П

при

X — О (п1/6).

Из точных распределений были

получены

также

асимпто­

тические выражения

для

вероятностей больших

уклонений одно­

сторонних

отклонений.

Следующие

результаты

принадлежат

Н. В. С м и р н о в у [57,60]:

если

л ■—у- оо,

X

=

О ( ] / п ) ,

то

1)

p |d ; ( 0, 1) > - L

— /.2 U n (X)

= «

П + 0 ( 1 ) ] ,

I

V П

где

W =

f

udu

иX

о

У п

а т0- - корень

уравнения

:.п ( i

+

- Ц

_

'ti -4- л

тУп /

-т'У

= In

1

-

X

I ________ __________

(1 —х) \ п

(1 — т) У п — X ’

т п

1

2

-X

=

3

у

п

2

2) при

1/ 2 <

0 < 1

(X/i>AT

< 1 -

0)

а) Р (

£>я+ (0,,

1) >

Х

,срп (Х, 0) 1 / 0 ( 1

-

9)

20

] / 2кХ

2 0 - 1

’

где

ч>п (X 0) =

^

\ — п 6 —

X

0 у .п

фп (X;

0 ) У

6(1

- 9)

2 9

1 /Т п Х

2 0 -

1 ’

•/г 0

— X У"л"

Фя (Ь 9) =

1

в Г

X

X 1

X

— п (1 — в) + X У п

(1

-

0)

У п

б) р 1 d ; (o, 1

-

в) > - р Х ] = р { ог(о, 1 »

тде

П

ч

,

,

2 0

Л2

896

X4

+

Сп (У t 0) = 1 +

— ---------

135

п2

а

9

п

1

(Sj +

s2)

X

(О < s; <

1,

i = l , 2)..

2

2

У п

Из 2)

можно

заключить,

что,

если

—- =

со , но л =

= О( У п ) ,

у

п

то

P {D-(Q,

1

- В )

>

х / К 7 Г }

=

Р { ^ ( е , 1) > х / У Т }

_^0 _

P{D„+ (0,1

-

0) > л / К Т }

P {D -(0, 1 ) > Х / | / Т )

Наряду с этим при X= О (п1/4) имеем

также

P { D ; ( 0 , 1 ) > А / К « } ~ Р ! z? - ( 0 ,1 ) > - - A = +

}

и

1

У я

п 0 (I — 0) J

Р { D - (0, 1

-

0) >

X /

У 7Г[ ~

Р \d *(0,

1 - о ) > - £ =

у

] ►

I

Уп

n 0( i - 6)j

Предельные распределения статистик Dn(0X) 02)

и

02)

при произвольных 0Х и 02 методом

Ф е л л е р а

[79],

основанным

на применении аппарата производящих

функций и преобразова­

нии Лапласа,

получил

Г.

М.

М а н и я

[23,

24].

Позже,

в ра­

боте [84]

Г о р о

И ш и и

были

найдены

их

точные распреде­

ления *>.

Исследование

относительной

погрешности

приближенного

равенства

5 „(х )

*

F(x)

было начато

Р е н ь и .

Оказалось [94],

что для

О < Т 0 < 1

lim Р

2 [ е

(2/2dt,

Х > 0 ,

Rn (0, 1) < Я

/

4.

П-* со

(1.1.4)

О ,

Х < 0

*) См. также работу В.

А. Епанечникова в журнале

«Теория вероят.

и её примен.»,

18,4

(1973),

827 — 830. — Прим. ред.

Нш Р

{l/n V "< 9' ’) < х)

Л — оэ

где

00

Точные распределения для Д +(0,

1) и

(В,

1) получили

Г о р о

И ш и и

[85]

с

использованием

многомерного

интегриро-

зания и позже

Н.

В.

С м и р н о в [60]

более простым методом.

Последняя работа содержит некоторые

результаты и об асимп­

тотике

этих статистик.

Для построения критериев однородности

нескольких неза­

эмпирические функции распределения.

Пусть

Sn(x)

и Тт(х)

соответствуют независимым выборкам

объемов

п и т из гене­

ральной совокупности

с

непрерывной

функцией

распределения.

Согласно теореме

Н.

В.

С м и р н о в а

[55], если

п — тЬ,

где

3 — некоторое

положительное число, то

“

Г г г

sup

|Sn( x ) - T m(x)\<\ } = K(X). ( 1. 1.6)

n +

m

X^ R1

Здесь

K(ty

определяется

из (1.1.1).

В этих

же

условиях

асимптотические распределения суп ­

ремумов одностороннего и двустороннего расхождений

Sn (х) и

Тт(х) на заданном участке роста F(х), совпадающие с рас­

пределениями статистик

Dn (0lt 02),

D* (91; 02)

из

[23,

24],

были

получены И.

Д. К в и т о м

[9].

Результаты, аналогичные (1.1.6) для случая относительных

расхождений

S „(x)

и Тт(х), содержатся в

[104] и

[75].

Во всех

результатах,

приведенных

выше,

кроме теоремы

Гливенко, функция F (х)

предполагалась непрерывной. Как по­

казали

Ш м и д

[97] и К а р н а л

[73],

теоремы Колмогорова

(1.1.1),

Смирнова (1.1.2)

и Реньи (1.1.4),

(1.1.5)

распространя­

ются и на случай разрывной функции распределения

F(x).

гих теорем и получить новые

результаты. Не вдаваясь в

под­

робности, мы отметим работы

Д у б а [77]; Д о н с к е р а

[76],

на [3],

Н.

Н. Ч е н ц о в а

[65], Ю.

В.

П р о х о р о в а [52].

Настоящий обзор ни в

коей

мере

не претендует на пол­

ноту. Для

дальнейших

сведений

мы

отсылаем

читателя

к.

обзорным

статьям

И. И.

Г и х м а н а ,

Б.

В. Г н е д е н к о

и

Н. В.

С м и р н о в а

[4],

А.

М. К а г а н а

и

Ю. В.

Л и н н и к а

[8], Ю. В.

П р о х о р о в а

[91],

Р е н ь и

[95],

а также

к работам

В и н ц е

[93, 106],

Т е и л е р а

[101],

Я.

Ю.

Н и к и т и н а [51].

Л е м м а

1.1.

Пусть функции с

ограниченной вариацией

gb(х),

— о о С х С о о ,

сходятся

при

о — 0 на всюду плотном

множестве к функции с ограниченной

вариацией g(x),

причем

gb(х)

равномерно ограничены,

a

Var

g6 (х) равномерно

малы:

\х\>а

(относительно

о)

при

а - у со;

тогда

СО

00

Нш^ |

е~Сххdg6(х) =

j*

dg(x)

( 1.2.1)

---00

---00

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При данном^ е достаточно выбрать

два числа А > 0 и В > 0

так, чтобы при всяком 5 > 0

I*

e~‘xxdg6(x)

< V a r

g6( x ) < s

A

x>A

В

dg&(x)

<

Var

g6(*) <

£ ,.

r < £

5

CO

J J*

d g (* ) +

| e~ixx dg (x) |<

e

— 03

Л

что, очевидно,

можно сделать

в силу условия леммы, считая

А к В точками

сходимости.

Повторяя затем

известные рассуж­

В

в

j* е~‘хх dg6 (х) — j e~l'xxdg:(x) < s (2 L + 1),

А

А

где L — верхняя

грань вариаций функций g&(х) и g{x). При­

e~lxx dg6 (х) —

1 e~lxx dg (x)

< е ( 2 L +

4),

что и доказывает

лемму.

Л е м м а 1.2.

Пусть последовательность {ufe(§)),. k= 1, оо ,

неотрицательных функций от о (5<

о0) удовлетворяет условию

uk(5)e-h46< M

,

( 1.2.2)

где у > 0 и М > 0 я е

зависят от k и 5,

Если при

5 -> 0 и

kb-*-

t [почти для всех

t > 0

w w

,

а -2л )

где

f (t) — измеримая

функция, то для',

последовательности

производящих функций

оо

lim

5u6(e~6s) =

ср (s)

=

1 e~stf (t) dt ,

(1.2.4)

при

a = Re s >

у (сходимость равномерна для всякой конечной

области полуплоскости

Re s >

у).

Существование интеграла (1.2.4) устанавливается в ходе

доказательства леммы 1.2.

кции

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

вспомогательные фун­

Ч(Ь)е-ш , ( k - l ) 5 < t ^ k 5 (5 > у ),

т

=

О,

t <

0 ,

X

0 ,

(х) =

J /б (t)dt ,

х >

о

х ^ 0 ,

О,

g W

=

х >

0 ,

х ^

О .

В силу условия (1.2.3) почти для

всех

t >

О

/б (0 = «[«/в)+1] ехр

—

+

1

5 a )

-> /

(0 е-<в .

Кроме того, в силу условия

(1.2.2),

О <

/б (0 < м exp j — (а — у) §

L + i

<

М

* .

Очевидно,

О

<

/ ( /) <

АГ г *

х

& ( + « > ) = \

d t ,

t)

о

* ( + ® ) = j f(f)4T*'dt

0

б

6

=

[ erixx f (0 e-at dt =-- <p (s), (s = a + i x) (1.2.5)

o

Но

0

kb

со

со

с о

| e-‘xxdg6(х) =

j* e~lxt и (t)dt

= ^

uk(8)е~ш

j e~ixt dt =

k=\

(k—1)5

CO

е'тй — 1

uk (5) е-ш ~1кх& ^ Тв

^

■Мб (s)

ix

£

ix

k=\

Поэтому соотношение (1.2.5) равносильно доказываемому.

1 '■ ■

2. Г. М. Мания

17

5 “ * <s> = i h r

r

r

f <г‘“ igs w

6

в любой конечной области

полуплоскссти Res > у при сделан­

ных предположениях.

Если

предположить

с

самого начала

существование

ин­

теграла

ОО

g ( ° ° ) =

[ /

(0 e~at d t ,

6

то, как легко убедиться, утверждение леммы остается

справед-

ОО

ливым, если интегралы

j* / й (t)dt равномерно малы при я -V co .

Для этого, очевидно, достаточно выполнения

следующего усло­

вия: при любом г >

0

можно найти такое

х — х ( г ),

что

5

uk (5) е~ш <

г

(1.2.6)

k8> х

при любом

достаточно малом

5

и а > у •

Если

условие

(Е 2.2)

выполняется,

то

выполняется

и

( 1.2.6), но не наоборот.

Лемма 1.3, к доказательству которой мы теперь перейдем,

представляет собой

предложение,

в некотором

смысле

обратное

Л е м м а

1.3. Пусть последовательность функций { % ( § ) } ,

О <[ 5 < 50,

удовлетворяет условию

I

ик(8) — Wfe-i (8) |< Z, 8 eky6 , w0 = 0 , k = 1 7 oo ,

М * ) " ^ u k ( b ) l h

при

§ -> 0

имеем

k=l

о о

5 мв (e~es)

ср (s) =

J*

e~sif(t)dt

(1.2.7)

О

и, кроме того,

f(t)

абсолютно непрерывна,

/ ( 0)

= 0 ,

<:

интег-

рал в правой части (1.2.7)

сходится для

Res =

a > y ,

mo

П/7Ы

k b - + t .

“ к (*) “ ►/(*)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

функции

Ы )

| % (5 ) с - “ «,

*8<

«

(

*

+

1)8

(В>

Г) ,

=

1 О ,

< < 0 .

Вариации

функций g e(0

на

(0,

со)

равномерно

ограни-

чены для 5 >

50 и a >

у .

В самом

деле, в силу (1.2.6) будем иметь

СО

Var g6(0

=

^

|% e' ft60 “

e_(ft_1)ea 1^

k=\

CO

CO

I «ft -

«k-11

2

I «k-11

(e6a -

1) <

k=\

k^\

W

DO

<L5S

e"fte<CV>+ L ^

кЬе~Ща~У) (e&a“ ^

* = 1

A=1

L 5 e-e <°~'v>

\-L

,

е-в(а-т)

l

L c 5

1 _ e-e(c-v)

5(e6c-

1 ) - — ■

< ■

|

(

1_

е-в(С-\>))2

< j _ y »

- т ) а

°

(предполагая,

что

o

>

y

и 8 о < 1 ) .