книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

s—1

X ( 8 V~ZuY | 4 — J J s in 2 (?{

[ d<Pi ••• d<pa^ *K (6.1.16)

Пусть случайный вектор

X = ( Х1 ? ... , Xh) имеет

незави­

симые

компоненты и Х{ подчиняется

нормальному

распределе­

нию с

параметрами at

и ch

(а„

cj) £ Т (множество Т определено

в §

1). Обозначим

U — (й^ 1 ... ) йд) , С — (С-^, ... , Cfr) .

Плотность вектора X равна произведению плотностей ком­

понент

п{х |й, с) =

п (*! |аи с,) ■■■п(хк |ah, ск) ,

где

х =* (хг , ... , хк) .

По

выборке

Х (а} =

(Х 1(а, , . . . ,

ХШ)) ,

а =

1,

п из

генеральной

совокупности X

построим

оценки

гГ(х{ |ah С;) =

п(х11йТ, cj)

плотностей п {х |аг, сг),

где

*)

(J(f) (и)

табулирована при s =« 3, 4

(см. таблицы 7,

8).

п(х'\а ,1 ) = п(х11'flj, c j ■■■n(xh|Я

,7 ^ .

В первую очередь вычислим моменты

п (х |а, с) .

Вое

пользуемся тем, что для независимых случайных величин

Е Zx ■•- Zh — Е Zx ■■•Е Zk,

D Zx ••• Z* =

E Z* ••• E Z\ — (E Zxf •••(E Zkf

=

=

[D Z\ +

(E Zxf] ••• [D Zl + (E Zft)2] -

(E Zxf

■■•(E Zkf =

k

т=1

!<»!<• •

Х ( Е

Z

i r ---(E Z hf .

Поскольку при фиксированном x оценки

n(xl \a1, cx ) , ...

. . . ,

n ( xh |ah, ck)

являются независимыми

величинами,

то из

теоремы

6.1. следует

Т е о р е м а

6.4. Для параметрической

оценки плотности

п (х |я, с)

k-мерного нормального распределения с независимыми

компонентами

имеем

Е п (х |а, с) = п (х |а, с ) I 1 - f _L_

4 п

(6.2. 1)

и

D п (х |а, с) =

=

2 п ” 2

I й'

(6 .2 .2)

С0

~

(^ 1 0

1 • • •

> СА о ) ' Ci0 =

^ I

i =

I , k

>

а0 ~

(^ю 1

>^ао) > ®io = 0, t =

k .

Вектор

Y =

( -^ г—

= ^ - )

имеет

плот*

п (х I

I

К п

K c ft

j

ность

а0,

с0) .

Набор векторов

Г (а) =

(К1(а), ...,

Г й(а))

=

_

f^-Ua) __±h_

^^Ма) __t

а =

1 , я ,

представляет

со-

\

Г

С1

К с а

/

бой выборку из Y. Пусть символы

а0 =

(а10,

,

ak0)

и

с0

=

= ( с10,... , ch0)

обозначают

оценки,

соответствующие

оценкам

а

и

с

при

а =

а0

и с =

с0.

При

этом

а,- =

| /с;

а10

и

С; — С; Cjq,

i — 1 , k .

Очевидно,

что

ф (o',

c ) = n

[n(*i|a'i,'ci) • •• я (*а К

,^а) -

п (хг |а15

Cj) •••п (xk |aft, ch) ]2 dx

—

= -

1

г-Ф ( а0 /с 0) .

(6.2.3)

У ci

ch

Вычисления показывают

ф К

,

Со)

1

+

2fe rcfe/2

ТО '

■ ■ СА0

-2*'2+1 П

(1 +

Сг0)_1/2ехр

' V

а'о

I

1=1

2

^

1 +

^

1=1

Так

же, как

и в § 2, для исследования предельного

рас ­

пределения

Ф (а ,

с0)

введем функцию

1

Г .

1

w(u, V) =

Ы)(иъ

... ,vh) =

2k7Zkl2 [

1

Vv 1••• V k

к

k

2 V m n

(

, +

0j)- „ S e x p j _

1 = 1

„

I.

1=1

*

В терминах

w (и, v)

ф ( «о- со) = n w ( a 0, 7 0 ) .

Случайные векторы

V п ( ai0,

( ci0 —

1))

независимы и

имеют независимые компоненты, которые

в пределе подчиняют­

ся

распределениям

N (0,

1) и соответственно

N(0 , 2 ) .

Для применения

теоремы

5.4

нужно

вычислить частные

производные

второго

порядка

функции

w (и, v)

в точке 0О =

=

(a0,

с0) £ R2k. Сама функция

и ее

первые

производные равны

нулю в 0О. Имеем

д2 w

d2w \

3

ди}

2k7Zkl2

dvf

J в0“

2Й+Зя*/2

д2 w

1

Ф j ;

{■

d^w

= 0, i,i = l, k.

д vt д Vj j о0

2ft+3 r?l2 '

'

\dut dv0J o0

Согласно теореме 5.4,

предельное распределение Ф(а0 , с0) =

— п w ( а0,

с0) совпадает

с распределением квадратичной формы

1

1

3

vl +

2

2ктс*/2

2*+3 rSl2

1

k

+

(6.2.4)

2ft+3 в */*

i,i= 1

ф /

тде

, ...

,

5ft, fh , ...,

— независимые

случайные величины,

причем

4i

имеет

распределение

jV (0, 1),

а

щ — N (0, 2).

Если вместо

ввести случайную величину •qi =

—^Lr, имею­

k

k

k

i= l

* 4 ,)

(6-2-5)

/= l

i.i= 1

jФ]

от независимых случайных величин £х, .... , £й,

Чг, ••• >Чк > имею­

щих стандартное нормальное распределение.

Обозначим

3,

1, ... „1

S =

1,

3 ------- 1

(6.2.6)

1,

1 ,

, 3

и Ч = f t i,

••• »Чк)«

Тогда

(6.2.5) примет вид

2к+3 л*/2

( 4 S

^ + 4 5 Ч)

1

+

# i ,

1

> 1

+ аг >••• г ^

ч ■••

* +

—

+ '

+ —

)• (6-2.7)

1, ... , 1 -)- ак

а

1,

Следовательно,

характеристическое

уравнение матрицы 5 ,

|S — X / | =

О, где

/ — единичная матрица, имеет вид

Отсюда

(2 - X )*-1 ( k + 2 — X) = 0 .

X, -------------- Х*_х =

2 ,

Xfc = *

+ 2

(6.2.8)

и, согласно

теореме 5.2,

k—1

rl'S.r1= 2 J

l 3

+ ( * + 2 ) ! 3 ,

1^1

где

Ci,... , С* — независимые

случайные

величины со

стандарт­

ным нормальным распределением.

Обозначим

I

(£ + 2)С| +

Hk(u)

2h+s%kiz

k—l

к

+ 2 V

С? + 4

< а I , а > О

i= I

i= 1

Hk(u) =

exp

1

s

( и ? +

(2

_

i= l

D '

+ 0?)

d иг ••■d u h d v x ■ ■•d v h ,

(k + 2) u* + 2 V

Bf + 4 ] ► ] » ? < 2ft+3 71,4/2 w

i=2

j= l

2fe (й -

я/2

тс/2

fe

Я*(и) =

1)!

| [

sin2h“ 1’" 1 срг

| 1

л*/2 Г

k

О

О

t = l

— exp

— 2ft+2 nhl2 ^ 2 +

k cos2 cpx +

2 J J sin2

j u

X

/=1

x

^

- i - 2«<+1)‘ +M

u* | 1

+ -|L cos2

+

i=0

k

+

IX sin2cpi j

dsp! ••• dcpk. *)

(6.2.9)

i= l

*)

Функция Hh (и)

табулирована при k=2, 3 (см.

таблицы19,

10 в-

lim

Р [ Ф ( а 0, с^) < и] =

Hk {и) -

П~*со

Отсюда и из (6.2.3) вытекает

Т е о р е м а

6.5. Предельное

распределение с. к. п. пара­

lim

Р { У q •■•ckФ ( а ,

с ) << и ) =

Hk (и) ,

(6.2.10)

где Hh(u) определяются из (6.2.9).

Следует

отметить,

что

так

же,

как и в случае

(ы)

(§

1), представление

Hh(u)

в виде ряда можно получить

по

теореме

Гурланда (§

2 главы V).

§ 3.

МОМЕНТЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ

МНОГОМЕРНОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Обозначим

t =

(г, s),

где

г — (гъ ..., rh) £ Rk,

a

s =

=

(su> •••>

S12. .... V

o

ft)

€

E

c

Rh(h+1)l2.

Здесь

E

сос­

тоит из таких s, для которых матрица

S

= |saP |)

, а, |3=

1,

k ,

sap

= Spa ,

положительно

определена.

Вообще,

если вектор,

обозначаемый малой латинской буквой,

принадлежит

nh{h+l)t'2,

то

симметричная

матрица

ky^k,

составленная

аналогично,

бу­

дет обозначаться соответствующей прописной буквой

и

на­

оборот.

Пусть

t £ Т = RkX

Е

и

/ (х; t) — плотность

^-мерного

нормального распределения

/

(х; t)

= / (х; r,s)

= п(х |г, S)

=

-------------------------1

exp

,/

_

i

(x —

r)' S_1(x — r)

(6.3.1)

(2 тс)*/2 1S

I1/2

l

Пусть, далее, 8 =

(a, с)

£ T,

вектор

X

имеет

плотность

n(x |a, С)

и

X a, a

=

1, n ,

есть

выборка

из

совокупности

Прежде чем перейти к применению формул1

(5.2.2) и

(5.2.3)

к

п (х |а, С),

сведем

задачу к случаю, когда

а—а0 = О

и С =

С0

=

},

Существует

матрица

С1/2

такая,

что

С1/2 (С1!2))'

= О.

Обозначим

(С1/2)-1 = С '1/2.

Очевидно, (С-1/2)'

С-1/2

= С-1.'

По­

этому из (6.3.1) имеем

п (х |а, С)

=

п (С~г>2 (х — а) I 0, / ) .

(6.3.3)

ICI1'2

Вектор

Y = С"1!2 (х — а)

распределен нормально с

параметра­

ми

0

и

С-1/2 С ( С 1/2)' =

/ .

Рассмотрим

выборку

Уа =

=

С~112(Ха ~ а )

из

У. Символы

а0, С0,

и

с0 будут

соот­

ветствовать

символам

tz r С

я

с

при

а0 — а0 = 0

и :

С —

=

С0 =

I.

Так как Ха =

Сг12 Ya +

а,, а = Г, п ,. то)

=

С1/2 _ _ 1 _

V

(Уа -

a,) (Ya - а0)' (G1/2)1'—

п — 1

=

С1/2 С0 (С1/2)' .

Отсюда,

поскольку

[ С1/2 ]2 =

|;С)',.

имеем

п (х |а ,

С ) =

(2rc)ft/2 1С |1;/в |,С0 1!1/2' Х

X ехр

(

1

а -

СЧ2 аь) (б1-1/2)) G ^ ’C ^ 2 ( f - а —

- — (х -

>

\ С

[

(2

т:),</2 к ' Т Щ :

X

exp j

-

y

(C - ^

(x

-

a ) - a 0y C~l

(x - a) -

a0)

1

n (С '1/2 (x — a) | a0,

Ce) =

V W :

1

=

t j ^t

n (c_1/2 (* ~ ^

1

l)

Стало быть

E n (x |a, C) —

K i c j

E n (C '1/2 (x — a)|0, /)

(6.3.4)

D n (x |a,

C) =

l

D a (C1/* (*

- a) |0, /) .

(6.3.5)

I С.-l

Как

известно

[1]., векторы

<а0

и

с0

независимы,

причем

Од

имеет

плотность

п {и j 0, _L /

,

и £

а (я — 1) 'сд =■ h

распределен

с

плотностью

Уишарта

да ( о| /г, и —

1,

/ ) ,

v £Rk(-k+1'>i2,

которая

при

о 6 X!

равна нулю. При

v £ £

.да (0|fe.n -

1. /) -

1V

expj —1/2sp

k\

*

2 ft( « - i ) / 2 r

/ я _____ Ч . . , p l n

Для моментов

a0 имеем

E a f0 =

E a%

=

1

n

E arQas0 =

О;,

г Ф s ,

(6.3.6)

E йгд

as0 at0 — 0 ,

Ea«o =

n3

,

r , s , t ~

l , k .

Выпишем теперь значения моментов первого и второго

порядка вектора

h [10]: