книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

Пусть

f(x\ t),

где

X £ R1,

t = (tu у

£ Г =

R1X

R1+

и

R1+ = [ t2: 0 <

< [ оо },

является

плотностью

нормального

распределения, т.

е ч

f(x; t)*4n(x\tltti) =

1

(х ~

ti)2

|

К 2 тс t2

2 12

I

'

Пусть,

далее, 0 = (а, с) £ Т,

случайная

величина X

имеет

плотность

п(х\ а, с)

и

Ха,

а =

1, п ,

является

выборкой

из

совокупности X. Поскольку

Е X =

а

и

а2 =

Е (X — а)2 =

с,

в

«=1

Так как

:f*{c>>0'}

= .1

(мера Р определена в §

1

гл.

V), то

оценка

0 =

( а , с )

параметра

0 с

.вероятностью

1

нахо­

дится в

Г

и

п (х |а,<с) = п(х\ а , с )

является параметрической оценкой нормальной плотности.

Сначала вычислим

математическое ожидание

и дисперсию

л (х\ а ,

с).

Прежде чем перейти к применению

теоремы 5.1,

■сведем задачу к случаю

стандартного

нормального распределе­

ния, т. е. к случаю,

когда а — 0

и с = 1 .

п (х |а, с) =

х — а

Q, 3

(6.1.1)

V ~ c

\ У <С

Случайная величина

Y —

распределена нормаль-

V -с

н о с параметрами (0,1) -и

¥ а

, « = 1,п,

являет-

V

:С

п(х\,аЛ ) = Д , — Д в х р ( _

<* - “ -

f c

/2 л С ~

2 с с„

1

х — а

х — а

1

(6 . 1.2 )

У с

\ У -с

ав1:^0

У с \ у с

0.

'Стало быть,

„

,

,

ч

1

Е.тг

х — а

о,

1

(6.1.3)

Е п(х

[ а,

с) =

— Г- =

У ~ с

ж

У-с

D п (х [а, с) =

-1-D

я I— -7=-— ■0, Ч

.

(6.1.4)

V

\

V

'С

Как известно

[14],«случайные

величины

а0

и с0

неза

висимы,

причем а0 имеет

плотность

п [

и

1

О, — • , и в R1, а

п I

,h = (п — 1) с0 — плотность

у2 с

я — 1

-степенями свободы

1

/ 2- 1Х е- а /2

V > 0 ,

,

g ( V

П

.1) =

2п-Лр

п — 1

0 , V ^ 0 .

Для моментов

а0 и

ft имеем

[10, 14]

_

_

1

_

<0,

_

15

Е а0 = !0.,

Еа% —

Е-а3 =

Е о ‘ =

у

Eh =

п -

1 ,

E(ft

— E ft)2

=

2 (те -

1),

:Е (ft -

Е ft)3 =

8 (я -- 1 ),

Е (ft -

Е ft)6

=

О (те3) .

Отсюда

Е С0 —

1 ,;

Е ( с 0 -

1)2

=

Г

Г*

— "

~h О I

2

П '—

1

п

\

п"

Е (с0 -

I)3 =

О ( п2 ,

,

Е (С о -

1)6

=

0 [ ^ -

Ввиду независимости и несмещенности а0 и с0

Еа"0 (с0

-

1) = Е а* (с0 — 1) =

Е а0 (с0 — I)2 = 0 .

Приступим к проверке условия 4.

Случайная,

величина

h — (п

1)

с0 имеет плотность.

1

с0 =

—

h

, то

g(v\n — 1 ). Поскольку

у

п (х\0,

1) = п\х I а0,

h

п — 1

и

fi2 (*| 0, l)dP =

Л,?

=

f

я’ (*

i и, “

■])“

( “

10, — I f(vl я — 1) du do.

! ( “■

'»

> £o

Оценим

n2

( x

I

и ,

£

(у |/г -

1):

n — 1

X

exp (

га — 1

(х -

и)2

у ( п - З ) /2 - 1 e -v/ 2

------ п

1

2П-3/2

р

2

7С

g (v |га — 3 ),

га ^ 4 .

п 1

2 л

Существует такое е1: ' что

и,

(0, 1)

> ® о

<=.{ И >

eil X

га—

•1 > <

11 •

га — 1

,1

Поэтому, если h° означает случайную

величину с плот­

ностью

g (v |га — 3),

то

п2 (х |0, l ) d P < - 2^ - P { | a 0 | > £l}P

h°

1 1> ех

— 1

га

Согласно неравенству

Чебышева

Р { I о!» I > £i 1 < -П " Е ”«о = о 1 1

6i

га

К

> е х } = Р { | А 0 - ( я - 3 ) - 2 | > ( я - 1 ) в1} <

га — 1

< - 7 7 -------т -

[Е(Л“ -ЕА®)»

+ 4] =

е? (га — I)2

,

=

2 ( г а - 3 ) + 4! _ п / 1 \

е2 (га — I)2

\ га2 /

'Следовательно,

J ra2 ( x | 0 , l ) d P

=

O

.

т

Нетрудно

проверить,

что

производные

га (х |tx, t2) по

tr

и t2 удовлетворяют условию 3

теоремы 5.1.

Нам необходимы

значения некоторых

из

них в

точке

0О= (0,

1).

Опуская под­

робности

вычисления,

имеем

:'г)■i .

:

i

«1 (*;

в0) =

дп

=

хп (х |0,1) ,,

/0 О.

аи (х » ®о) —

д2п

= (л:2 — 1)п(х |О,Л) ;•

1 W

й2 (х

; 0О) —

дп

п (х \О, 1)

д t2

1и0

а22 (х ;

0О) —

'' д2п

/ е 0

xv — 6 х 2 +

3

п (х |0,1)

dt\

4

Применим теперь формулу (5.2.2)

Е п (х |0,

1) = п (х |0,

1) +

х 2 —

1

1

2 1

+

Л(*|0,

1

) у

------------

+ ± ( х * - 6 х 2 +

3 ) ±

+ 0 - Т »

п

4

п

=

п(х I О,

1)

| 1

+

- - L -

(х* - 4 л:2 + 1)) +

о

1

12’

Д ля дисперсии из (5.2.3)

следует

= п(х\а,с)\ 1 +

1 (х — a f

(х — а)2’

+ 0

1 '

п

;

4 V-------- - 4 - 1 .

(6.1.5)-

4

е

D п (х[а, с) =

2 ^ « 2 ( * К К

(х - аУ

О

(6. 1. 6)/

Ф ( а , с )

= п \ [ п ( х |а, с) —

п { х \а,, с) ]2d x .

(6.1.7)<

Из (6.1.1)

и (6.1.2) ясно, что

00

Ф (а , с)

(х—а

0О. Ч —п х—а о, г

2

d x =

к 7 Т

1

(6 . 1.8)

Ф («0т Со) ■

п (1 +

У V0 , Г

2

2( 1+с 0)

J

Ф ( 0 О. с0) =

V

1 г

С„ еХР

V * \

(6.1.9>

Используя (6.1.8)

и соотношения а0 =

•а —а-

,. с0 =

,.

у С

сается

случайной

величины

Y п (с 0 —

1),

то из свойств рас­

пределения х 2 следует, что ее

распределение сходится к

N(0,2).

Стметим

еще раз,,

что

а0 и

с0

независимы.

Обозначим

Ф ( а 0, си) = п х '( а0, с0) .

,

/ д2 w \

1

1

\ ди\ )в0

2V л

/ д2 w \

_

3

1

.

16 K

V

( - £ ± Л

= о " Г

Применяя теперь утверждение б) теоремы 5,4, мы придем

ж заключению,

что распределение

Ф (а^,

с^) =

nw (а , с ) с х о ­

дится к распределению квадратичной формы

1

4]/"п

■от независимых

случайных величин

£ и

-ц ,

распределенных

lim Р {Ф( а0 , с0) < « } _ р f

1

f ■ з у]2

< и

1Х-*оо

I

Обозначим

<“ > " р { т у т ( “ + Т ” *) •= “ } ■

Имеем

Fi ( « ) =

Т т Г jj ехр { “

d xd y '

(6Л Л 0)

•4jc2

3 < 16 V ~ u

7™

7 s)) =

S

00

=

П( J

[п(х |а(1), c(i>)

— п (х) ]2 dх =

£= I

-- 00

y

5

1

(

i

щ

V

1 2 и (сФ)1/2

_

V T - у

n i Uj

К - Д / ) 2

11

П

JmJ

(7<5; +

^Г/))1/2

2 ( с(') + cfft)

J J ’

где

i'./= 1

п =

« г n(‘>(х |а, с ) .

Из теорем 5.8 и 6.2 следует

Т е о р е м а

6.3

[44].

Предельное распределение

G<p(и)

с. к. р. s параметрических

оценок

плотности

п(х \а, с)

зада-

ется соотношением

G<? (и) = Иш

V { V

г'Ф (с(1),

с*1»

.., .^ s>, > > ) <

и) = Л *-1»* (и) ,

ГШП П / --

(6.1..13)

i

где

Рг(и) определяется’ из (6.1.11)..

В частностиг [35]

ОО

G(*>(u)

=

Иш

Р ( — lHJ -.

Г [л(х| Л 1* ,^ 1» ) -

« 1, n2-*co [ п-у + п2 J

— п (х ); а^У,

е<2> ) ]2 dx <

и |

— Fx (и) ..

Н т

Р \V

С Ф ( aw

, ^

2>,..., aW . ? U ) ) < m} = fif - D*

(и) .

min щ

(6.1.15)

Последнее соотношение ценно тем,

что с. к. р. с

множи­

телем

V с

не

зависит

от

параметров

а и с. С помощью

(6.1.15)

можно

построить критерий для

проверки

гипотезы об

однородности

нескольких

независимых

нормальных

совокуп­

ностей.

Выше мы записали F1(u) в виде интеграла (6.1.11).

Ана­

логичное выражение

можно получить и для G(p (и)

при

s > 2,

т. е. для сверток Fr(u) с самим собой.

Так как

F1(u)

является

функцией

распределения случай­

ной величины

------\ = - { £2 +

tj2 V где £ и я — независимые

4у

к

\

4 )

случайные

величины

со

стандартным нормальным распределе­

нием, то F^-1)* (и)

представляет собой

функцию

распределе­

ния суммы

Здесь случайные

величины

независимы

и имеют стандартное нормальное распределение. Итак,

S— 1

(g? + yfd< UJ=

л - 1)* (и) = G<|> (U) = Р

{

2

2(s—1)

/ = 1

=

(2 tc)~(s-1>J •••Jexp

— L ^ ( u ? + u f )

йиг' •-dUg^ dv-L••■dvs_1.

i= 1

Переход к

полярным

координатам приводит к: форму­

ле

[44]: